Уравнения перечисленных простейших и любых других термодинамических процессов могут быть представлены одним уравнением. Это уравнение назы- вается уравнением политропы, а термодинамические процессы, описываемые этим уравнением, называются
политропными.
Политропные процессы
Политропным процессом с постоянным показателем
называется обратимый термодинамический процесс изменения состояния простого тела, подчиняющийся
уравнению |
p1/ n v idem C1; |
||
pvn idem C; |
|||
p vn p |
vn |
||
1 |
1 |
2 |
2 |
где п – показатель политропы, являющий в рассматриваемом процессе постоянной величиной, которая может иметь любые частные значения - положительные и отрицательные (- n + ).
Физический смысл показателя политропы п
определяется после дифференцирования уравнения политропы pvn idem C;
vn dp n vn 1 pdv 0
n vdp w w1,2 pdv l l1,2
Это значит, что постоянный показатель политропы определяется соотношением потенциальной и термодинамической работ в элементарном или конечном процессах. Значения этих работ могут быть определены графически в координатах p v
В логарифмических координатах политропный процесс (политропа) с постоянным показателем
представляет собой прямую линию
log p n log v log C
При этом, постоянный показатель политропы определяется как тангенс угла наклона линии процесса к оси абсцисс ( )
n |
w |
|
vdp |
d log p |
tg |
log( p1 / p2 ) |
l |
|
pdv |
d log v |
log( v2 / v1 ) |
Из соотношения показателя политропи следует, что для изобарного процесса np 0 , для изохорного процесса nv = ± ∞, для изопотенциальног процесса npv = 1 (для идеального газа npv nt nu nh =1 , это означает, что для
идеального газа изоротенциальный, изотермический, изоэнергетический и изоэнтальпийный процессы совпа дают), для адиабатного процесс n = k.
Работа в политропных процессах Выражения конечных (интегральных) величин
термодинамической и потенциальных работ в политро- пных процессах
l1,2 |
|
p1v1 |
|
1 1,2 ; w1,2 n l1,2 |
|
|
n |
|
|
p1v1 1 1,2 |
|||||||
|
n 1 |
||||||||||||||||
n 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
p2v2 |
|
p2 |
|
n 1 |
|
v1 |
n 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
p1v1 |
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
||||||||||
для идеального газа pv = RT и
1,2 p2v2 T2
p1v1 T1
Теплообмен в политропном процессе для простых
тел выводится также на основе рассмотрения выражения первого начала термодинамики
q du l.
Удельная внутренняя энергия для простых тел может быть представлена в виде функции u =и (p, v).
Тогда дифференциал внутренней энергии запишется в следующем виде:
u |
dv |
|
u |
dp |
|
du |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dv p |
|
dp v |
|
||
Последнее выражение можно представить в виде
du |
1 |
u |
pdv |
|
1 |
|
u |
vdp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||||||
|
p |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
dv p |
|
|
dp v |
|
|||
Введем следующие обозначения:
a |
|
|
1 |
|
u |
, |
a |
|
|
1 |
|
u |
v |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||
|
|
|||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
v |
|
|
|||
|
|
|
|
dv p |
|
|
|
|
dp v |
|||
При этом выражение примет вид:
du av l ap w
av l ap n l ( av n ap ) l
Подставив полученное уравнение в выражение первого начала термодинамики
q du l. получим
q ( av n ap 1) l.
Для определения величин (ap и av ) рассмотрим два
термодинамических процесса: Изоэнергетический процесс (u = idem, du = 0 ,n = nu.)
Так как в изоэнергетическом процессе |
l 0, |
|
av nu ap 0, |
av nu ap |
|
Адиабатный процесс ( q = 0). Для этого процесса
показатель политропы принимает значение n = k и элемен- тарная термодинамическая работа также не равна нулю
av k ap 1 0, nuap kap 1 отсюда
ap |
1 |
|
, |
av |
|
nu |
k |
nu |
|
k nu |
|||
|
|
|
|
С учетом полученных соотношений для определения av и ap, находим выражения для расчета удельных значений изменения внутренней энергии и теплообмена в элементарном
процессе: |
nu |
|
n |
|
|
k n |
|
|
|
q |
l |
||||
|
du k nu |
l , |
|
||||
|
k nu |
||||||
Соотношения для расчета удельных значений изменения
внутренней энергии и теплообмена в конечном процессе имеют следующий вид:
u1,2 |
nu n l1,2 ; |
q1,2 |
|
k n |
l1,2 |
|
|||||
|
k nu |
|
|
k nu |
|
Для идеального газа nu = 1