1. Числовые ряды – основные понятия: определение числового ряда, сходимость и сумма ряда.

Числовой ряд – бесконечная последовательность чисел u1;u2;…un;…, соединённых знаком сложения u1+u2+u3+…+un+…=

ui-члены ряда, un-общий член ряда (n-ный)

S=

Ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм, а это число называется суммой ряда S.

u1+u2+u3+…+un+…=

S1=u1

Частичные суммы

S2=u1+u2

S3=u1+u2+u3

Sn=u1+u2+..+un

S-сумма ряда

Ряд расходящийся, если предел частичных сумм не существует (например, равен бесконечности). У расходящегося ряда сумма не определена.

2. Эталонные ряды: геометрический ряд, гармонический ряд и условия их сходимости.

Эталонный ряд - это ряд, сходимость которого нам известна.

3. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то предел его общего члена un при n равен нулю, т.е. =0.

Следствие: Если предел у un не равен нулю, то ряд расходится.

. 0, то расход.

Пример:

Замечание: Данная теорема выражает необходимый, но не достаточный признак сходимости: если =0, n , то из этого не следует, что ряд сходится.

4. Положительные ряды: определение, достаточные признаки сходимости(перечислить).

Положительные ряды – ряды, все члены которых неотрицательны. У такого ряда последовательность ( его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательность ( была ограниченной. 

Достаточные признаки сходимости:

1. Признак Даламбера

Пусть для ряда un с положительными членами (от n=1 до бесконечности) существует предел

Д=

Тогда если Д<1 – ряд сходится;

Д>1 – ряд расходится;

Д=1 –признак не применяется

Признак Даламбера работает хорошо, когда есть степени и факториалы !!

2. Признак сравнения

пусть даны два ряда с положительными членами (ряд 1) (ряд 2)

причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом n un ≤ vn,

тогда: а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1;

б) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

Для сравнения используют ряды:

1. если α>1 – сходится (например )

если α≤1 – расходится (например )

2. |q|<1 – ряд сходится

3. Предельный признак сравнения

Если И – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов(не равных 0) К= ≠ 0 ,то ряды одновременно сходятся, либо расходятся. Должен быть конечный предел.

4. Радикальный признак Коши

Если для ряда un существует предел = K,

то при K<1 – ряд сходится,

K>1 – ряд расходится,

K=1 – не идет.

5. Интегральный признак сходимости

Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е un >un+1 , а функция f(x), определенная при х≥1, непрерывная и невозрастает.

Полагаем что f(1)=u1, F(2)=u2, …f(n)=un,… тогда для сходимости ряда ряд необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл: .

5. Свойства сходящихся числовых рядов.

1. Если ряд u1+u2+…un+… сходится и имеет сумму S, то и ряд λu1+λu2+…λun+… (полученный умножением данного ряда на число λ (лямбда)) также сходится и имеет сумму λS.

2. Если ряды u1+u2+…un+… и v1+v2+…vn+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то и ряд (u1+v1)+(u2+v2)+..(представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна S1+S2.

Свойства 1 и 2 вытекают из свойств пределов числовых последовательностей

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

4. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n→∞ остаток ряда стремился к 0 т.е. чтобы