Лабораторные / UP_Nelineynye_sistemy_upravlenia

линии M const соответствует значению этого показателя колебательности. Запретную зону построим методом гармонической линеаризации.

Передаточная функция разомкнутой системы после коррекции может быть определена как W p, a q0 a Wск p , где Wск p u jv – передаточная функция скорректированной линейной части.

Для замкнутой системы

стью. Но так как q0 a может меняться в некоторых пределах, то координата центра u0 и радиус R будут так же меняться в определенных пределах для каждой нелинейности. Следовательно, линия M const будет представлять собой огибающую семейства окружностей. Дальше необходимо перенести линию равных значений M const на фазовую характеристику по правилу

arctg v ,

u

причем значения u и v берутся из линий равного уровня плоскости u и v . Пример такой фазочастотной характеристики приведен на рис. 5.2.

71

φ(ω)

M1

M2

M3

1800

Рис. 5.2. Фазочастотная характеристика

Показатель колебательности скорректированной системы будет соответствовать линии M const, которой касается . Для изменения показателя колебательности синтез необходимо повторять до желаемого результата.

5.2. Нелинейная коррекция

Нелинейное корректирующее устройство можно ввести в линейные и нелинейные автоматические системы. Нелинейная коррекция обладает более широкими возможностями, чем линейная, так как дает большее разнообразие форм частотных характеристик и позволяет менять форму частотных характеристик в зависимости от амплитуды сигнала.

Задачи нелинейной коррекции могут заключаться в достижении желаемых свойств процессов управления. Кроме того, если в заданной нелинейной системе имеются вредные для процесса нелинейности, то путем введения специальной нелинейной коррекции можно в известной мере ослабить вредные влияния имеющихся в системе неизбежных нелинейностей.

Сначала рассмотрим основные методы устранения или компенсации вредного влияния нелинейностей.

Первый метод заключается в коррекции нелинейной характеристики параллельными корректирующими устройствами, как показано на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Компенсация нелинейностей

72

На рис. 5.3, а приведен пример компенсации действия нелинейного элемента согласно-параллельным включением корректирующего устройства, а на рис. 5.3, б – встречно-параллельного. Вторая схема более эффективна. Оказывается, что введение местной отрицательной обратной связи приводит к ослаблению влияния нелинейности.

Второй метод носит название вибрационной линеаризации. Суть вибрационной линеаризации можно пояснить структурной схемой, приведенной на рис. 5.4.

x′(t) = Asin(ωt)

x0

Рис. 5.4. Структурная схема нелинейной системы

В реальной системе на вход подаются медленно изменяющийся сигнал x0 и периодический сигнал x , спектр которого смещен относительно спек-

Рис. 5.5. Пояснение к методу вибрационной линеаризации

Ранее было оговорено, что в нелинейных системах не выполняется принцип суперпозиции, т. е. подаваемый высокочастотный сигнал x будет влиять на выход нелинейного элемента z , т. е. z x0, x . Рассмотрим, как именно влияет сигнал x на нелинейное звено с зоной нечувствительности. На рис. 5.6 показан процесс прохождения суммы сигналов через нелинейный элемент.

Построение выполнено для входного сигнала x0 , равного по величине зоне нечувствительности, т. е. в исходной системе без дополнительного высокочастотного сигнала x на выходе нелинейного элемента мы должны были бы наблюдать z 0 . Однако если на вход нелинейного элемента дополни-

73

тельно подать высокочастотный сигнал x , то на выходе будет наблюдаться сигнал со средним значением z , не равным нулю.

z0 z z

ωt

Рис. 5.6. Пояснение по вибрационной линеаризации

Далее рассмотрим пример коррекции процессов в линейной системе нелинейной обратной связью на примере схемы, приведенной на рис. 5.7.

uос

kосp

Рис. 5.7. Коррекция линейной системы нелинейной обратной связью

Согласно структурной схеме (рис. 5.7) сигнал обратной связи зависит от величины ε следующим образом: uос 1 k0 kос px2 .

При условии k0 1 при больших рассогласованиях демпфирующая обратная связь мало влияет на характер переходных процессов, и тем самым достигается высокое быстродействие.

При малых значениях рассогласования влияние демпфирующей обратной связи – наибольшее, что обеспечивает требуемые запасы устойчивости системы и достаточное демпфирование колебаний в системе.

5.3. Системы с переменной структурой

Применение систем с переменной структурой позволяет получить высокое быстродействие, т. е. протекание процессов за минимальное время при

74

незначительных колебаниях, а в отдельных случаях и при отсутствии колебаний выходных координат в установившихся режимах.

Допустим, что в системе предусмотрены два различных закона управления, как показано на рис. 5.8.

xвх

k1

УО xвых

k2

УУ

Рис. 5.8. Система с переменной структурой

Допустим, что в замкнутом состоянии при замыкании управляемого объекта на регуляторы k1 или k2 система неустойчива. При быстром переключении управляющего устройства (УУ) одного регулятора на другой можно добиться того, что при совместном их действии система окажется асимптотически устойчивой.

Допустим, управляемый объект – это система второго порядка, не обладающая при постоянной структуре собственной устойчивостью:

(5.3)

Фазовые траектории системы (5.3) будут представлять собой концентрические эллипсы. С помощью регулятора k1 обеспечим системе такое движение, при котором фазовая траектория будет представлять собой эллипс, вытянутый вдоль оси y x . Такая система неустойчива. С регулятором k2 система тоже неустойчива, а ее фазовой траекторией будет эллипс, вытянутый вдоль оси x .

Если УУ обеспечит переключения по следующему алгоритму: при попадании изображающей точки на ось x включается регулятор k2 , а на ось x – регулятор k1 , то система будет асимптотически устойчивой. Математическая форма записи описанного алгоритма управления для управляемого объекта (5.3) имеет вид:

75

Таким образом, первый регулятор будет действовать в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости, а второй – во втором и четвертом. Движение изображающей точки на фазовой плоскости будет происходить так, как показано на рис. 5.9.

Из приведенного рисунка следует, что система становится асимптотически устойчивой, но устойчивого положения равновесия она достигает только

при t .

Наибольшее распространение получили системы со скользящим режимом, который позволяет привести изображающую точку в начало координат за минимальное число переклю-

чений, т. е. устранить колебательные процессы. При этом изменяется не структура системы, а закон переключения. Два регулятора по-прежнему являются неустойчивыми. Один регулятор должен обеспечить движение изображающей точки по фазовой траектории типа «седло», а второй – по

фазовой траектории типа «устойчивый центр». Например, организуем переключения в системе (5.3) таким образом, что

В данном случае линиями раздела между областями действия регуляторов будут оси ординат и наклонная прямая на фазовой плоскости, определяемая выражением x kx и называемая линией скольжения.

Движение изображающей точки на фазовой плоскости из точки на оси абсцисс x0 будет происходить так, как показано на рис. 5.10.

76

y(t)

x0 x(t)

s kx

Рис. 5.10. Фазовые траектории системы с переменной структурой

Как видно из приведенных фазовых траекторий (рис. 5.10), движение изображающей точки в идеальном случае происходит с одним переключением, после чего наблюдается скольжение вдоль прямой линии kx к началу координат.

6.ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

6.1.Исследование следящей системы с двухпозиционным реле

Рассматривается следящая система с релейным управлением исполнительным двигателем. Схема системы управления представлена на рис. 6.1.

Следящая система может использоваться для передачи на расстояние механических перемещений электрическим путем. Оператор, перемещая ползунок потенциометра R1, задает требуемое положение, которое должен занять ползунок ведомого потенциометра R2 . Рассогласованное положение ползунков формирует электрический сигнал зад тек , который подается на вход усилителя с большим коэффициентом усиления.

Разнополярное выходное напряжение усилителя меняется скачкообразно в ту или иную сторону в зависимости от знака . Полярность выходного напряжения определяет, какое из двух электромагнитных реле Р1 или Р2 за-

мкнет свои контакты Р11, Р12 или Р12 , Р22 соответственно. При замыкании па-

ры контактов реле Р1 двигатель вращается в одну сторону, а при замыкании Р2 – в другую. Одновременное срабатывание Р1 и Р2 в рассматриваемой

77

схеме невозможно. Направление вращения двигателя, который перемещает ползунок R2 , должно быть таким, чтобы 0 .

Uус

Рис. 6.1. Релейная следящая система управления

Для исследования особенностей системы составим ее математическую модель. При якорном способе управления двигателем постоянного тока уравнение, описывающее вращение, имеет вид

где J – момент инерции двигателя, – угловая частота вращения; – угол поворота вала; M дв – момент на валу двигателя, развиваемый электромагнитными силами при протекании тока по якорю двигателя; M c – момент со-

78

противления на валу двигателя, создаваемый нагрузкой, аэродинамическими силами, возникающими при вращении якоря, трением в подшипниках и т. д.

Если не учитывать переходные процессы в якорной обмотке двигателя, то можно считать, что M дв KдвUя , где U я – напряжение на обмотке якоря, а момент сопротивления пропорционален частоте вращения Mc K . В этих выражениях Kдв и K – коэффициенты, являющиеся параметрами двигателя, применяемого в системе.

С учетом того, что нас интересует угол поворота вала двигателя , уравнение двигателя можно записать следующим образом:

Часто при исследовании динамических процессов в электромеханических системах применяют масштабирование величин, вводя относительные единицы. За относительное время примем tT , или t T . Тогда dt Td ,

а d 2t T 2d 2 .

При переходе к относительному времени уравнение движения (6.1) запишется в виде:

Величину x KT будем считать относительным углом поворота,

Для анализа динамических процессов в рассматриваемой системе необходимо найти решение уравнения (6.2) относительно x и dxd y . Запишем дифференциальное уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений:

Считается, что 1 при x 0 и 1 при x 0 .

Найдем решение y y из второго уравнения системы (6.3), имея в виду, что 1. Решение дифференциального уравнения представляет собой в данном случае сумму свободной и вынужденной составляющих

y yсв yвын.

Свободная составляющая решения yсв находится как решение однородного уравнения

dyсв yсв 0 .

d

Решением этого уравнения будет выражение

yсв Сe ,

где С – постоянная интегрирования, определяемая по начальному значению y 0 y0 .

Составляющая yвын в данном случае равна , поэтому

y С1e .

При 0 будет y0 С1 , поэтому С1 y0 , а решение уравнения y y0 e

или

y y0e 1 e .

80