Лабораторные / UP_Nelineynye_sistemy_upravlenia

s

f(s)

M

N

L

Рис. 2.12. Графическое изображение функции последования

Возьмем теперь исходную точку s0 левее sц и тем же способом проследим ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 2.12. Очевидно, что этот процесс тоже сходится к тому же предельному циклу sц . Следовательно, мы имеем устойчивый предельный цикл (автоколебания).

Отсюда условие устойчивости предельного цикла имеет вид:

В противном случае, изображенном на рис. 2.13, а, получается неустойчивый предельный цикл. На других графиках рис. 2.13 показаны: б – случай двух предельных циклов, где один – устойчивый, а второй – неустойчивый; в – случай расходящихся колебаний; г – случай затухающих колебаний.

Такого типа графики называются диаграммами точечного преобразова-

ния. Изображение хода точечного преобразования на такой диаграмме эквивалентно сопряжению начальных и конечных условий соседних участков в методе припасовывания. Но производится это специальным и довольно простым геометрическим построением.

31

Рис. 2.13. Нарушение условия устойчивости предельного цикла:

а – неустойчивый предельный цикл; б – два предельных цикла, из которых один – устойчивый, а второй – неустойчивый; в – расходящиеся колебания;

г – затухающие колебания

Основным в методе является нахождение функции последования s f s на основе решения уравнений динамики системы (2.36). Найти эту функцию в явной форме не всегда легко. Поэтому иногда используют представление функции последования в параметрической форме.

Рассмотрим данный метод на примере генератора незатухающих прямоугольных сигналов, схема которого показана на рис. 2.14.

Данный генератор относится к классу систем с положительной обратной связью, в которых при определенных условиях могут возникать незатухающие колебания.

32

Uвых

L

iL

C

+

iк

VT

Рис. 2.14. Генератор незатухающих сигналов

Учитывая связь тока коллектора транзистора VT с токами, протекающими через вторичную обмотку трансформатора и конденсатор, которые в свою очередь образуют колебательный RLC-контур, составим систему уравнений этого контура:

С другой стороны, можно записать

Тогда с учетом (2.39) и (2.40) уравнение колебательного контура можно переписать так:

Дифференцирование обеих частей (2.41) и дальнейшая подстановка первого уравнения (2.39) даст:

При этом ток коллектора в данной схеме определяется падением напряжения на переходе база-эмиттер:

34

Система (2.50) определяет процесс преобразования точки а на положительной полуоси абсцисс в точку с на этой же полуоси. Если с < a, то траектории будут скручиваться, и генератор будет совершать затухающие колебания. Если с > a, то траектории будут раскручиваться, а колебания – нарастать. Если с = a, то колебания становятся незатухающими и траектория превращается в замкнутый цикл. Уравнения (2.50), называемые уравнениями точечного преобразования, позволяют найти параметры этого цикла. Так, положив с = a, решим систему (2.50) относительно a и b:

Если 1, то решение (2.51) единственное. Таким образом, найденный замкнутый цикл является изолированным. Изолированную замкнутую траекторию называют предельным циклом. Предельный цикл окружен навивающимися на него или скручивающимися с него траекториями. Если в результате малого отклонения от цикла в любом направлении изображающая точка попадает на траекторию, неограниченно приближающуюся к циклу, то цикл устойчив. Устойчивый предельный цикл соответствует устойчивым колебаниям, называемым автоколебаниями.

Пусть связь между точками с и a определяется из (2.50) как c T a . Для рассматриваемого случая

Соответственно, если dTda 1, то c a , т. е. начальное отклонение уменьшается и предельный цикл устойчивый, в противном случае – неустойчивый.

Для (2.52) T a 2 e2h 0 1, т. е. цикл устойчивый.

36

2.3.4. Метод припасовывания (сшивания) граничных условий

Метод припасовывания заключается в том, что нелинейное уравнение системы разбивается на ряд линейных уравнений, соответствующих некоторым участкам движения системы. Представление нелинейного уравнения несколькими линейными уравнениями возможно при наличии в системе кусоч- но-линейных статических нелинейностей.

ния этих постоянных интегрирования необходимо знание начальных условий. Этот вопрос разрешается следующим образом. Конечные значения решения для предыдущего участка принимаются за начальные значения реше-

37

Таким образом, все постоянные интегрирования выражены через известные коэффициенты и полюсы передаточной функции и через неизвестный период колебаний T. Для нахождения периода автоколебаний составим уравнение периодов, для чего используем условия переключения: на границах интервалов x проходит через нуль. С учетом этого, а также выражения (2.53) для конца первого интервала в момент времени t T2 справедливо равенство

Уравнение (2.61) содержит только одно неизвестное T. После нахождения периода автоколебаний необходимо сделать проверку выполнения условий переключения. Если окажется, что период автоколебаний является вещественным числом, то автоколебания существует, если же комплексным, то вероятно, что колебания искомой формы отсутствуют.

2.3.5. Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным аналитическим методам исследования нелинейных систем. Метод гармонической линеаризации предназначен прежде всего для исследования периодических (автоколебательных) процессов в нелинейных системах, однако возможно применение метода и для исследования колебательных переходных процессов, а также для решения широкого круга других задач.

Для рассмотрения метода гармониче- y ской линеаризации на рис. 2.18 приведем структурную схему нелинейной системы с одним нелинейным блоком в обратной связи.

39

В основе метода гармонической линеаризации лежат две гипотезы:

гипотеза о порождающей системе;

гипотеза фильтра.

Гипотеза о порождающей системе говорит о том, что если в нелинейной системе существуют незатухающие колебания, то можно подобрать такую линейную систему, в которой будут наблюдаться колебания той же формы и той же частоты, что и в нелинейной системе. Если порождающая система существует, то исходное нелинейное дифференциальное уравнение может быть разложено на сумму линейного с чисто мнимыми корнями и нелинейного уравнения, которое обычно представляют как нелинейную функцию координаты и ее производных, умноженную на малый параметр

(2.62)

При обращении малого параметра в нуль уравнение (2.62) вырождается в порождающее линейное.

Гипотеза фильтра говорит о том, что любая устойчивая система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями, является фильтром низких частот. Это дает основание считать, что такая система пропускает без ослабления основную гармонику и существенно ослабляет высшие гармоники. Математически гипотеза фильтра может быть выражена следующим образом. Для амплитудно-частотной характеристики линейной части системы

должно быть выполнено неравенство H H k , где k 2, 3, 4 ..., т. е. коэффициент передачи для основной частоты значительно превосходит коэффициент передачи для высших частот.

Уравнения, описывающие приведенную систему (рис. 2.18), имеют следующий вид:

где W p – передаточная функция линейной части системы от входа y к выходу x ; x R – выход линейной части системы; y R – поступающий на вход линейной части выход нелинейной части со статической характеристикой x .

Пусть в системе, задаваемой уравнениями (2.63) и (2.64), имеет место периодический процесс с некоторой частотой и периодом T 2 . Прежде всего интересно определение характеристик этого процесса (ампли-

40