Лабораторные / UP_Nelineynye_sistemy_upravlenia

асимптотически устойчивым периодическим движением (автоколебательным) будем понимать такое движение, для которого выполняется условие

3.2. Прямой метод Ляпунова оценки устойчивости нелинейных систем

А. М. Ляпунов предложил метод, позволяющий получить достаточные условия устойчивости нелинейных систем, названный прямым методом Ляпунова, который в основном используется для анализа устойчивости равновесия.

Рассмотрим нелинейную систему, движение которой описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка

Согласно прямому методу Ляпунова в фазовом пространстве x1, …, xn вводится функция векторного аргумента V x1, ..., xn , обладающая следующими свойствами:

функция V x1, ..., xn непрерывна вместе со своими частными производными V xi в некоторой области фазового пространства, содержащей начало координат;

V x1, ..., xn отлична от нуля и имеет значения одного и того же знака.

51

Такая функция, обладающая указанными выше свойствами, называется знакоопределенной. Если функция V x1, ..., xn внутри области принимает нулевые значения в других точках, кроме начала координат, то такая функция называется знакопостоянной.

А. М. Ляпунов доказал справедливость следующего утверждения: если дифференциальные уравнения вида (3.7) таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V x1, ..., xn , производная от которой dV dt , вычисленная в силу дифференциальных уравнений системы, является знакопостоянной функцией противоположного с V x1, ..., xn знака или тождественно равна нулю, то равновесие системы в начале координат устойчиво. Если производная dV dt – знакоопределенная функция, то равновесие системы в начале координат асимптотически устойчиво.

Устойчивость положения равновесия при выполнении условий теоремы Ляпунова связана с тем, что для функции V x1, ..., xn , обладающей перечисленными свойствами, всегда можно построить в некоторой окрестности начала координат семейство замкнутых поверхностей равных значений, описываемых уравнением V x1, ..., xn C .

Примеры поведения функции V x1, ..., xn при различных видах устойчивости показаны на рис. 3.2.

V(x) = C

x1

Рис. 3.2. Изменение уровня функции Ляпунова устойчивой системы

Если функция V x1, ..., xn не зависит от времени явным образом, то ее производная по времени, вычисленная в силу уравнений (3.7), такова:

52

Основным недостатком метода функций Ляпунова является трудность выбора функции. Существует несколько подходов: энергетический (функция Ляпунова выбирается в виде полной энергии системы, представляющей собой сумму потенциальной и кинетической энергии); разделения переменных (функция Ляпунова, как и ее производная по времени в силу уравнений системы, представляют собой сумму функций, каждая из которых зависит только от одной фазовой переменной); метод Лурье–Постникова (функция Ляпунова представляет собой сумму из квадратичной формы и интеграла от нелинейной функции) и др. Однако наибольшее распространение получила практика выбора функции Ляпунова в виде квадратичной формы.

Приведем пример использования функции Ляпунова для исследования системы на устойчивость. Пусть нелинейная система описывается уравнениями

где f x3 – функция насыщения, const 0 .

Задание: обеспечивая устойчивость нелинейной системы (3.8), найти значение параметра r.

Функцию Ляпунова определим согласно методу Лурье–Постникова:

Очевидно, что V 0 . Найдем производную функции Ляпунова (3.9) в силу системы (3.8):

dV x x1 x1 x2 x2 f x3 x3 dt

x1 x1 f x3 x2 f x3 f x3 x1 x2 rf x3

x12 x1 f x3 x2 f x3 x1 f x3 x2 f x3 rf 2 x3

x1 f x3 2 r f 2 x3 .

53

r f 2 x3 0 , если r 0.

Тогда dV x dt 0 , если r . Значит, система (3.8) устойчива при r .

Замечания по методу функций Ляпунова:

формулировка предполагает подбор функции Ляпунова, но не существует общей методики выбора таких функций;

теорема Ляпунова обеспечивает получение только достаточных условий устойчивости.

3.3. Критерий абсолютной устойчивости равновесного состояния В. М. Попова

Под абсолютной устойчивостью понимается асимптотическая устойчивость равновесия нелинейных систем, содержащих нелинейные элементы определенного класса. Нелинейные элементы можно классифицировать по различным критериям, однако в данном случае речь идет о нелинейностях, характеристики которых заключены внутри угла, ограниченного двумя прямыми z kx, z rx , в частности, если r 0 , k , то нелинейность лежит в первом и третьем квадрантах. Случай секторных ограничений, когда r 0 и k 0, приведен на рис. 3.3.

Здесь, как и раньше, будем полагать, что

54

т. е. нелинейная характеристика имеет очертания, при которых она не выходит за пределы заданного угла (характеристика принадлежит заданному сектору, см. рис. 3.3).

Пусть можно найти такое вещественное число q , что при всех , таких что 0 , выполняется частотное неравенство

л k

где Wл j – амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы. Тогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого равновесного состояния функция x t останется ограниченной при t 0 и x t 0 при t .

Здесь следует отметить, что критерий Попова является лишь достаточным условием устойчивости: он может не выполняться, тем не менее устойчивость в целом будет иметь место. При интерпретации данного критерия возможны два подхода:

1) предполагается, что исследуемая система – с явно заданной характеристикой z x нелинейного звена, которую можно заключить в сектор 0; k , подобрав значение k ;

2) предполагается, что изучается сразу целый класс систем, различающихся по виду нелинейности, но так, что все они удовлетворяют одному и тому же условию, например условию принадлежности заданному сектору.

В последнем случае говорят, что критерий определяет абсолютную устойчивость указанного класса.

Замечания. Если существуют нулевые полюсы, то требуется выполнение дополнительных условий: при одном нулевом полюсе необходимо, чтобы

55

Существует и другая формулировка теоремы, которая дает удобную графическую интерпретацию. Для этого амплитудно-фазовую характеристику представляют в виде

Критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова (3.11) можно с учетом (3.13) представить в виде

Re Pл j q Qл j jQл j 1k 0

или, что то же самое,

Pл j q Qл j 1k 0 .

Введем понятие преобразованной частотной характеристики линейной системы, а именно:

Wлп j Pл j j Qл j .

Далее построим на комплексной плоскости годограф Wлп j и проведем прямую

Pл j q Qл j 1k .

Тогда окажется, что для абсолютной устойчивости необходимо, чтобы Wлп j располагалась правее линии, проведенной через точку 1k .

Приведем на рис. 3.4 различные варианты расположения годографа Wлп j и точки минус 1k .

На приведенных графиках в случаях а и б критерий Попова выполняется при многих значениях параметра q . Что касается случаев в и г, то критерий Попова не может быть выполнен ни при одном значении параметра q .

Приведем пример аналитического применения критерия абсолютной устойчивости В. М. Попова для анализа нелинейной системы. Рассмотрим систему, в которой имеется один нулевой полюс. Пусть объект является телом, движущимся в среде с вязким трением (коэффициент вязкого трения равен единице) вдоль оси y под действием силы u t . Тогда уравнение движения можно записать так:

в г

Рис. 3.4. Графическая интерпретация критерия Попова

Управляющее воздействие u t осуществлено в виде обратной связи по

неидеален и имеет зону нечувствительности, а усилитель – ограниченную зону линейности. Характеристики датчика и усилителя представлены на рис. 3.5, а и б. Причем обе нелинейности соединены последовательно. Отсюда следует, что преобразование u можно описать одной нелинейной зависимостью, приведенной на рис. 3.5, в.

57

Рис. 3.5. Нелинейности исследуемой системы:

а– нечувствительность датчика; б – насыщение усилителя;

в– результирующая нелинейность

Структурная схема системы приведена на рис. 3.6.

1 p

Рис. 3.6. Структурная схема нелинейной системы

Из структурной схемы можно найти передаточную функцию линейной части системы

Wл p 1 p .

p p 1

Поскольку Wл p имеет один нулевой полюс, то для устойчивости системы кроме выполнения критерия Попова дополнительно необходимо выполнение условия (3.12). Проверим условия теоремы. Вычислим амплитудно-

Условие (3.12) выполнено. Таким образом, можно воспользоваться частотным критерием Попова. Для этого необходимо сформулировать сектор-

58

ные ограничения (3.10), которые достигаются выбором верхней границы, равной k k y .

Вычислим левую часть частотного условия (3.11):

Перепишем частотное условие (3.10), умножив обе части неравенства на

1 2 с учетом того, что 1 2 1 0 при любых значениях :

1 q 1 2 k y1 1 2 0 .

Слева в неравенстве стоит двучлен от множителя 2 . Выделим коэффициен-

ты при 2 и свободный член:

Частотное неравенство (3.15) справедливо при всех 0 , если и только если неотрицательны оба коэффициента двучлена, т. е.

1 q k y1 0 q 1 k y1

или

q k y1 0 q k y1.

Величину q 0 , удовлетворяющую этим условиям, можно подобрать при любых k y 0 , 0. Тем самым выполнены все условия критерия По-

пова, и исследуемая система является устойчивой, т. е. при любых начальных отклонениях установится режим, в котором t , 1 в силу (3.14)

4. КАЧЕСТВО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Качество функционирования нелинейных систем оценивается теми же понятиями, что и качество линейных систем. Качество функционирования

59

систем отдельно рассматривается для статических, или стационарных, режимов и для динамических, или переходных, режимов.

4.1. Качество нелинейных систем в статических режимах

Для нелинейных систем выполняются некоторые результаты, справедливые для линейных систем автоматического управления: влияние на точность системы величины коэффициента передачи системы, порядка астатизма и т. д. Вместе с тем наличие нелинейностей в системе создает определенные особенности в стационарных режимах.

Для линейной статической системы автоматического управления эта зависимость, приведенная на рис. 4.2, имеет линейный характер.

x

xmax

S

xmin

FНОМ F

Рис. 4.2. Статическая характеристика линейной системы

Статическая характеристика линейной системы определяется величиной статизма, который вычисляется согласно выражению

S xmax xmin 100% . xmin

В нелинейных системах наличие нелинейных статических характеристик у отдельных звеньев приводит к тому, что зависимость xст от Fст носит также нелинейный характер. Причем эта зависимость может быть неоднозначной.

60