456
.pdf
КОНТРО.Іі:ЬНА РОБОТА Jil б
:3асh.ІІь11І рекомен.цацl І
І. ІІовторити основи тсхнlки .цкфере1111.І10в.шня ТА Інтегрува.ю1н, ос нов~~::: DЛа<.:тизостІ диС::f'осtщІалІв та ІнтеІ"ра.1Ів.
:1. Ко;тсно прочи-:-;:тv nосІ6ник Р.С.rутер, А •.Р.Р.~.mс.11.ськиА. Дифе рен:,1,1льнr рІвнлння': ( "~Іи'Ца школа", 197Ь р.), в 11коwу неРеденІ чис лен1-іl прнхда.ци зacrocyua.нr.11 диференцІал:~.нмх рІ 1>н11н1о для розв'язання nра;<тичю1х зца.~ наую~ І 'lсхн.І.1щ.
Ш. Не..,бхlдно добре засвQІти ).10.Цenl (зага.щ,ЮІІ\ вигляц) рlзнмх к;:ас І~ диференuІал;.них pl ВНJІНЬ. НаJІчнтися ототоЖ1-1JОвати ( спl ввlдноси ти) задане рlвняння з п~в~оё моде.1!.ІШ. ТодІ cпoclG розв•язаІ-!Нн визна
Чаf.;Ті>СІ! |
вlд.ловІдно цІй wо.целІ д;~ференцlальвого рІвнянм. |
|||||||||||||
|
ІУ. |
Основнl КJІаси диіj)сренцІал~.нмх р~внян:~. та cnuco6и Іх ]ЮЗІІ'І!зан- |
||||||||||||
liJ!: |
r. Рlвнлнн11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 вІ.цокреWЛКІІШН:\МИ ЗІІЇННЮІИ. Розв•язуютьсл те..кІ рІвнн |
|||||||||||||
ННJІ ІІJІЮС:оw |
Іх Інтегр:vванкя: |
|
|
:j(cx)tlx '+- |
|
|
||||||||
|
|
а) |
|
у'· / (x)<f(J). |
~ J~) |
С |
|
|||||||
|
|
б) |
|
/. (х)(.,.(у)ах +'fH:J:) (/.,.fyJdj •О |
.,. f$,1:fdx |
:: |
||||||||
|
|
|
|
= - |
f |
(/;, (}'_) |
dr + |
с . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-/.l(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
ОднорlднІ |
рlвКІІння: |
1j'" 'f |
( ~) |
|
розв'11зуют1ос11 за допомо- |
|||||||
гою nlдстановІ(JІ |
!/ = х uc~) |
• |
Заідки |
~ '== |
u • :Xt.t' |
|
||||||||
|
Щоб упевнитиса. в тоwу, що за,ц.sне рlвняЮUІ нuе.ить до однорlдн11х, |
|||||||||||||
необхlдно |
в дос.11І.ц11уваному рІвня:ннl замlнитм |
х |
І 'і |
вlдr.овlдно |
||||||||||
н~ |
t;1: |
І |
|
tt |
. |
Якщо в |
одеµааному пІсм ПІцсаановки |
plвt{l!Hhl зник |
||||||
ме |
ви раз |
t |
( 11оно |
схорочу~п.ся) , то |
11е |
pl вн11ння |
однорlдне. |
|||||||
РІ ВНJІННJІ, |
'OZ"+~CtФ(' |
|
:цо waioтi. ВИІ"JІ~ ц = |
- ' --' ' |
|
|
tl |
О;:Х + "у_•<:&. |
за г..опоwого;о |
пІ,цстановки х.,. и ".,,..._ |
, у: if•J3 |
wv11нa звестІ'
, до о.цнорlднJІ"О.
Тут |
,;.. "/3 |
розв'.RЗО~ сис..-еwи |
а,х ... с,у+с.~ о |
||||
11..tx "(,у+с, =о |
(якщо о,11 |
-о.zЄ, |
ФО |
). |
|
||
|
З. Jіlн!йнІ ;:~lвняннл |
'J'-'"f(x}~ "9-- (х} |
|
рсзв•11зуют1.с11 за |
|||
,цоnомогою пІдстановки |
~ "f.l(;r). t/"(r} |
, звІ.цки |
~ '" u(,,;)t/'{x) •V(x)~~- |
||||
|
4. РІВJіяиНІІ Берн:v~~r |
|
|
|
|
||
|
';/ |
+f(:x)1;j |
-. 'J..(x) lj" |
|
п l'L |
|
|
µозв'11зує·•~.с.11 поцlбно до тоr-о, .кк |
розв'ЯЗ:'-'е·r1ос11 |
лlнlй~іе - за .цоnоwо- |
|||||
гою |
пІ.ц:::тановни |
';f = «ц.J. v(x-). |
|
|
|
|
|
з
5.РІвt<Я11Н11., nоряцок 1rки:.t: ~ 3Н111змtw а) ':1 ,", " { {:к:) .
~озv•.язуєrьс~ аuяхск Інтеrрув&JfКА а paзlu nocAIAOBHG:
у,,,", .. .fy'",1")o·x +~. ,ff('X)ar +с>,,
6) /r"·. ::: ':('J ··~ • 3acтoc:>BJ'8'~"t:" ;~рк розr;'ІІЗl'..н.кІ
nІдстановка |
у'~р{ж) , у''~ j~ ; |
в)" f("ff·lf·'•:/'J~Q . За.стосовуєrt.СА аІдстан~в~~
JІ'"f t:;J , V"·?dJ·""
б. РІвн.яння з сtмІІWІС кoeфlцlcir.lUC11, npae11 часnка r.r.ol.'o ~сав...:nе
:jадьиий DJ\'ГJІ,:Щ |
|
{' •p:J' •<J-Y, ~~[Р..(:ж)Со$0Z -. f:iм(r)..:irt 1.r]. |
(й) |
, 3arм1o11.1i1n розв•.ІІ;)ок таtс:0го р!ВІUUІКІІ ма~ n1:r.A'f!Д ~•f •і |
. _це |
'і - 3аrаІІ•НМ!t ро38'АЗОІС од,норІАКОrо ~lВЮІЮіІІ ~·"ру ""Ч~;::О
'і -деnмй Ч&СТІОМІІА po38 8 .lf3011 З~t>!'О рlіКІUІНЯ. •ІtКІ 31CaJtOJ:ICTJl.CЯ
способам. ~цо nрмве.1tен1111. мач-е.
RІІок-сrема розв•.Я1'У88J\НІt ОдІ(орІ,цноrо д1Іференці:&JІ.ноrо pl ВКRЮtЯ
.цpyrero nopм,цic:v з С"І'&ІІІІІОІ к()('Jф[цlе 1rа:11м.
D(*IC'l'8pttC'!'lltlltfeр}ІІWtКІІ ]
к& " <• •D
.._"~""'{~oqк+t;,-S:11!9,
І1оа1t11ченм: ад ~ об'ІІІСАМО('І( АІІСІtРІІМІМІНrа 9' • Р1 - ~J |
• |
,,,t; іІ,~(рl '/i) - imp&нl харе~-"І~•JІІІС:t•Ч!іоrо рІВН:t!О!к.
4
Cnoclб визнач~нн!-! ча~тинного розв•язr.у зсt.цвкого неоднорІдного рlВі-!Р.t'.НЯ llliUIXO::i.t .цо~ОJ.1~' Aoi•o (1tсТ'Jд невкsн:\•~енюс к?еф1цІєнтІв) wожна застосувати тlл~.ки у uи:lа,цх_.,, ко.ан r.рзьв цастипа рІ11нл1шя frxJ
мав спецІL11оний виrп;щ.
|
Наво~11мо |
в таблмц! |
аагал~.ний вмІ'лЯд част11икоrо роз!І'язкv в за - |
||
JІe.J!OCTi від ВИГR~ |
ттраеоt частм~ рЇВНJІН~Я. |
||||
|
|
|
|
|
Таб.nиuя |
Jfi : |
Пра»а |
: |
Корн! |
ха;»УТtфистичноrо |
:Загая~.н'!tt виrщщ |
n/n: |
ЧЗСТІ!:іа |
: |
рІf>ІLЧННА |
:частинноrо розв'язку |
|
-·---------..;---------~----·--·----~------------------------------
І. Р,.(ж)- ІІІНОЧисло О не е корlн1t характе- ~-=Q.{r).Aox"•J,r•·~...•J,"r+J~,
гоІtЯен п-го р:сстичного р!вняння |
. |
|
стеnення |
· |
А~- "еви.щаченl коефІцІ- |
с іТИ·.
З. Аем~.t" • +бsіп~:r.
А,6, -.i - дІА
снІ \QІСЛ&
Число О - |
кор!но. харак-:ерис~ |
9= Q.(7). xfA.>'"•J,,,-it·'.." •J..,:r",Ц |
|||||
ТИЧНL РО .рlвшщня |
.· |
|
|
|
|
||
Число у не е !';ОрІн1t характе |
~= ()"(r) .et,,.. |
|
|||||
ристичного |
р!1111яиня |
|
і= Q. {"J~~r' |
|
|||
Чис.1101' - кор!н1t харак1ерис |
|
||||||
тичноrо |
рlвкяния |
|
t |
= ! . |
, ІІК',!(О |
К, І ~.L |
|
|
|
|
|
. |
·"""'•, (1/;Q |
/'а Са |
|
|
|
|
|
't • 2. |
, ЯК1/ІО |
fft = ~.t. |
|
Чис.10 ~ |
не |
8 корlн:. характе:.. |
;:; =НемJ:r "№sіп ~::r |
||||
рнстичноrо |
рІаняННІІ |
|
'м,ІІІ - невизначен! |
||||
|
|
|
|
|
|
коефІцІенти |
|
КоренІ харttК'l'еристичноrо |
~:(миJJ:К •1tlt:n1:k),: |
||||||
pl ВtіЯННЯ. t\1, ~ ~ :!, і.і1 |
|
|
|
|
|
||
4 •[І:.(х)(#І~Х" |
'імсла t :t iJ |
не |
в |
коренІ |
і. rP. f:r)иs1.ж + · |
||||
• Q"f:x)r;" ~.;cr.r |
характери~тичноrо рІвкяюtя |
• q"rxJr•"~r]~. &r~),~rr) |
|||||||
P.,(r) ,Q,.,(z)- |
|
|
|
|
- мноrоЧJІен• з невиз- |
||||
мноrочлени |
|
|
|
|
наченими коефlцІен |
||||
вІдловІ ц.но |
|
. |
|
|
тами |
к ~ m•:r (,.,"..,1 |
|||
n--го |
1 m-ro |
|
|
|
|
|
|
||
стед ~1в· |
Кореи! хаРаr.терисwичного |
|
|
|
|||||
~'[· |
- |
д1й- |
рlвняння_ t:"l ".- ~ і.1 |
|
|
|
|||
сн |
числа |
:· |
' |
|
|
|
|
|
|
.Невизначенl |
коефlцІr.кти |
.40 |
• |
А1 1 .А2 |
4" |
М • rt |
|||
знацщят"ся із системи лІнІАнкх алгебрзІчних |
рІвняні.. я1.:у одержу1m. |
||||||||
шr.яхом nрирlвнювання ста.1их коефlцrвнтІв nодІбних чпенІв в правlа |
|||||||||
І лІвІя |
частинах |
тотоJІНос·1·І, |
в .г.ку nеретвоР.:е·n.ся задано рІвкяюtя |
||||||
( о. . > nІ~я'nІдстІUІов~-.-и в |
н"сІt•о |
|
ij , iJ', |
ij~' |
ЗамІст" ~~~', |
||||
' 1f |
' • |
. |
|
(~ |
|
. |
|
||
У тому |
виnа.цку, колм права частина « .цов.Іл1она функЦ!я, |
це рІвнян- |
|||||||
.1я можна розв•лзувати методом варІацІІ доЕІльиих сталих, зrl,цно яхогс
заrа.~іІ>ниR розв'язок рlвнлння mvкaмi. у вигляд!
:J' = (',lx) 'J• + '8,а(.х) JІ~
5
де |
с, (:х) • |
C'.z. (:ж) |
- неаІдОІІІІ |
фуtощІJ; |
:І• |
• Y.i. |
- JІ~ііІйно |
tte3UQИI |
роз"•11зк-.f oд;iopl,цtforo рІвІСІntІtя. |
що віАnовІ.ца• ~адІіІНОІІІУ (еонм вwзкачаотr.с11 за наее~еноо |
•~~е б~~а~хз- |
||||
1100 в ~вл~остl _вІд. в11r.JІЦУ хоронl• хароктерксn;чноrо |
рІ11к.яки"). |
||||
Д.:tя |
ВJ'!значенщ |
~,lЖ) |
І ·(,l"(:r_} |
розв•.11зуmt.. cмc'tev,y JilHil1~мit |
|
рІвкян. |
аІ.цнос:но nохІ.цнмх цмх фyиmtllt |
t;'f,-) (. <.j'(:.-): |
|
||
{~'у, +~)'":::.О
с,'у.' ~<·/у/ ~1(~.
!10'1':U., |
1К'І'еrруDЧ11 амаденІ |
t,' |
І ~' |
• tilll3H&'417'ta.c11с:е.1111 |
фуи~щ!І |
(", (х) · І t" (:к) |
• |
|
|
У. IIpis С:меданкІ .цІІференцІ~uu.нкх рІак.11ма. :)А умо8&МИ ~ометркчк.>І
•C:SC фlзичкоІ 3"1.4Чl npмXONІ'f• ·1'Ф ОАМQІ."О·:і.з трІІоОх зазна-.<е/1ІСХ -иnlв
рІ1кян":
а) ДІІферемцІа.'1...К;
б) nохІднм:мк;
з) наАnростІ111І Інтеrра.1111оиl р!вняки"! а aoc:JІI.ц.W)\DOI дІферекцІ~омМНІІМ Іх.
а) Мето)\ дмфвронцІuІа Q6)1WOВJIІІC'l'a.C..'I 'fl'INtщо :sa уа!ОІІОІІ 3~ач1
сІUІААu:а.ся сnІавІдносзекия wix дІІ\ференцІа..:~•. Так, в f'e<*4''1't"*Ч100C
sцачах JU'l'М38Мlk00tr.cя хор·wм, що Іх с'.І'Я~Jа , тоСіrо npиplc"I' A!J
з '.І'ОЧНІс'm до несхІнчеко мuмх вкщоrо nорядку замІнХжоf" на
J!J. .
0} Пpir с:ІСJІАЦа.ниІ рІакяю., а якІ ахо.ІІЯf"' nохІ.ц.кІ. зac'toco8)'10'fr.c1!
rеаметркчш1А за.~Іс'І' nохІ.м-оІ (ІСУ"Ю•ІІR хоефІцІ•К'І' ,1to't1NНOI) або !І
фІекЧн1tА засІс-r (ІІІІІfІДкІст• змlн11 нерІвномlркоJ'О процесу).
в) Роа11•113уванк11 де11кюс З"1,4Ч мОІUІ nркмсти 11.0 p!в.кriifi., яхl мІс
ТІІ'І'Іо невІдоwІ фуd1щІ1 оІ.ц ака1«111 Imerpua. Щt 'fак :.вані Iмerpan.кl
р.Івняюur. Воюі ІІІІКІСІUWт•. иаnрк1t11~. JCOJPr :~рм ро3в•муиеюtl· 8'1Коркс
'f08j'И" rеоме-rрмЧІОІІt або фlзкчюrІ :osмic'f в11знзчеиоrо llf'ferpe.na (доа~
JOrИA д,уrк. МО'41\, об•Ф• І !'.п.). В 1111iipocтI1t11n вІіІ'Іад,Ках цІ· ІмеІ'
рus.кІ рІвккии.ч ~4Оаі!ІСN nai:м-вopnJt • ,IU\фepeнцiit.ttwd llJISIJCQI& 11,Rферои-
;) цІІ)JІаНКR Iic.
3al"Ur.11a 111ет::1~wа poea'a&J'NIOU(3ac<foccaн1ti 3\ІАІІЧ аа aon'*°roD
N')eP8JщIUWІІtJC рІамка. ~Ідсу;н,........ ДeaitI рtЮ:*8І0~4Щ,11"-- 1ж
ро:-.а•113,УМНІUІ lc1~"·
1. Дос..аІ"еюі.'! І аІОІ.І13 ,..088 идач.t·, С'f'ЗО(*ІМ ІСрtемtна.. "~••
6
2. Смада'sИІІ цфере;щlu~..ноrо рlак1нUfя. ~а.nис початхоеn: або грв
нм~11х :Wf:.'1'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;). 1Н'І'еrРУ11:»1НSІ |
w.ого рІзн1нІІ!я. визначеКІUІ |
A.oro зara.:a.:-ioro розз• |
||||||||
язку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Ьизне.ченtUІ' |
11ас1инноrо р>з11• .ІJ:tк:'І. |
|
|
|
||||||
|
5. Обчмс.11еикА' дonor.tl11tlnflt лар.wстрІв. яи:цо ue необхlдн:о (кoeфILrl- |
||||||||||
~.ittlB nропор.u.lонале.чос'J'І |
|
І т.п.). |
з додаткових умов зацачІ. |
||||||||
|
б. ОСSчмсяе.н!UІ ~а,:;.11кюс ве1шwк. |
|
|
|
|
||||||
|
? • .АнuІз вІ.ц.nоаlдІ І nере•ІркА ~~мх yuoa :щцачІ. |
||||||||||
|
УІ. Н11б.!!nен11А частм1111Я розв•язо~t д.иференцІалr.ноrD |
рІr;иnню~: у |
|||||||||
виrJІSІ,Цl сте11е.мо:оrо pir;цy |
|
i.oa;ta амзиач~r::-к, застосовуючи |
ряди ТеІUІора |
||||||||
(cnoclб послІАсвного диферен.u.lован.кя) або cnocl6 невизначених xoo- |
|||||||||||
фluI!:lfТ'Ie. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 nер!ІКМ способом ДІ)fІ~каu'fь, |
~о розв'язок |
|
у |
мо.на зобрази- |
||||||
'tн |
у виr..11~щІ ~ 'r'e:t.:tor.ia в |
око.о~І |
поча·rковоІ 1'Очкм:r =<Хо |
||||||||
|
и- [ |
;1"1rx") А-- |
J" |
|
|
|
|
||||
|
4- |
"," |
|
І |
|
~.... |
-z. |
|
|
|
|
|
|
|
". |
|
|
. |
|
|
|
|
|
де |
(jf'1'.) ":µ |
|
, |
у |
' |
|
r |
<І.г, |
І 1 |
tt" |
І т.д. |
|
|
(:ll'•)"':fo |
, 4J '"•/ |
(Те |
|||||||
В залеJ:Костl вІд кІл"кост! за.цанкях початкових уuов перпІ коефІ.u.lемтн
'f> |
, ';/•' , :;" ~ |
І т.д. |
вва.1W)та.ся yze вІдо.wИNИ. Наступи! |
|||||||
всl знаходю• |
nос.111.цоаню.t диференцlІ)&аюtІDІІ за.о,аиноrо рlвКJІння 1 nІц- |
|||||||||
ста.иовІtОD зам1с1'Іt z |
· • |
~. • |
t/' |
. |
, ~ •. , . . . |
вІдоІІИХ '!&3наЯ.Ценях |
||||
зкачен~. |
:r. |
, -:/•. |
, |
._,. |
|
':!• |
~ |
, ..• |
|
|
(/~ |
, |
|
|
|||||||
Cnocl6 неекзка11ених коефlцl9!1-rІв наАчас'l'Іше застосо&}'D'%'1t nрм lн t'erp:vaaюtI JІІнІJІІККХ дv.ферен.u.lаJІWІМХ рlвня~n., наnрмк.д.а,А дpyroro no-
PiwtY•
PtC2)~• • Р,(~):/ • f'. Му ~ ftz).
За ЦІІМ способом розв•яз~к, |
яккИ потрІбно |
визначм<nJ, зобраааот~. у |
|
|||
вкr.цдІ степеневого ря,цу з |
кевм3наІІеНJОІи |
ноефІцІвиtакк |
о" |
|
||
fj(r) ::: |
t. о" (r-x.)• |
(а') |
|
|
||
fioтl• фуихцlІ) |
ІJf") |
І |
П похІднІ. а такса функц!D |
/ (:.:.) |
(як |
|
що це нео~.х1.цно), у в•rmщІ ряд!в niдcтUJillD'fa. в дмференцlа.nне р!в
някия І порlвІfІСІЮ'І'1> кoeфiule.rrx прw одкакоnх степенях Afl!Oll: ('Z-:r") •
O.цepsyrra. несв:Ікчениу скс'rасу а.пrебраІчнu рІВ'ІtЯНь. яка доз11ом8,
врвхоВУІІЧ11 nоча'fІ<ОвІ уuовх, анаhк 111:оефІц1внrм а" (" ,.с, 1, z... ) УІІ. Ho}IUU!wta система Д)Іференutелькмх рівнянь nep11oro пор~
{розв•язаюrх: вІдносно rюхІдна:).
7
|
іІ |
• /. |
(/_ІZt1J/j 1 •. • :r") |
|
|
|
.t |
·-t |
(і..~,.~,." :11'") |
|
|
|
[.і-~.:,~f-t:~,,~;.:.: ~), |
|
|||
де |
т.:. 'tf- · . |
ім (r•t)".n) |
- не111.цомІ °'1fщll. |
||
Розв•.11sy$ ~i.c11 чeiies аведениJІІ систе"" д~ одно~ , plВIOQUui n-ro nopiQкy
вІд.носко .-д.кІеІ фукщІl ~ ..• ·rake -rІ'ВИІDtКЯ oдepayvt• аwа:ом ,,,,__
1t9peнцll)twneA рІвияю. ciaetein:; 8 no'l'Iw nocaI:noВІtOro r;мJСтNеНИІІ не&І
дом.кх: функцІа. до~;111 ке о.Цёрu"і'Jо plt1!WWI 11-ro no~ вІд.нос!fо 11sа бJ*иоІ функцІІ. ·
РОЗіNіЗУВАИНЯ ТШОІШХ. ЗАІ&АЧ
І• Роза•JІ:)а'1111 .д,І!форанцІа.і11>ке |
pIIНt.R'НIOt rl8Ji81(1rc nopiwry: |
|
а) |
(lj - :t•!IJj; 4- xy.t -1 r |
~() |
б) Зке.ІІ':~r І;рву. дu ахоІ ІUОІТІ&. обwеnяа 1;Ісе1> Ох. цІu ~rрмвоІ)
"._ ДJІІDМа npmoaa1. аа~nюосм оеІ Оу (.&Ім з npignar; фtкС.)міtа. а
ОрІUІ& IWn аересува'l'JІСІІ) дорІІІНDе &ЦitOUlftf'&I ~ saitllllfoI ОІЩІІН8ТІt
до змІЮіоІ абсц~ссw~ Крі&& npo~ череоз -r. А(2.2).
•> (~ -ty. .,.!J)ay +{е:к- "" -t)d~ .:ао
r) Cua с~іа uen~ ІІСО.ІІ а сndqнкм onopo!ll І'іхоефІцІ
е.tтом с~І~І t.· за.\0800"'"9 Д1Іф8рекцlаАІWСУ рІІИІІНна>
·L~ • IU. "! • Е - uеnііою'ІІІІ:іка оІUІа. ЗІвйт• CtsJІY С'І'руму
i.tt) оІс.ц уаlм.кненм. АІІЩО Е • to~ ~t
д) Уао•І.nиІІDЧІІ .dя 'NVfІІ на д,ІЮХ, 8'> oCSevreerІІU у рІяккІ. про
рорцlоІСІ.JІJоИ& кyro•Ir:t ~ОС'І'І обер№ІЮІ. 3каІr11 ~ааанІс,.. Jey't'08ol
IDDЦKOO'rl .ц Ч&СУt «.ЩО вІ.Аомо. "°-··СОЧ*І:!ІІІt o!Se~nc.n $ uид
UC'll) ІОО об/u, че~s І аиuку уа odeptU"..a з uмдкІсТD 60 об/хе~
РQЗВtfіЗJВАННЯ
а) Ц& р!внnкя а вІ.ЦоRрем№NЮОІІ: wюмm •111oro nopщ1icy. В.
•окае.•о СJІ~чl .uiredpt.lчнl пе~аоренм
1j{І-;;rJ}lf? •Z (f 1•t)tZ'X • С |
(д,Jnl. |
~u•) |
Роц:Ід.аео ~~І ч&е'l'ІСНІІ рlВWІІ!ІМ |
КJJ.(t-:x'}(f+!J') |
• |
8
ІнтеrруОuо
Jf~Uldj' " J;-:;-Q'~ '
()
-fп/ f +~/ "" fп /:жz-1/ ·r fп С.
Дпя зручнсстІ ПQТенцІюва/іНЯ тут доuІл•на стала Інтегрування записана
у вмrццІ .fп ~
ТодІ
І+ yz. =- С (:л·l.- t)
Це зага..1•кмА Iкrerpa..'l розв•язку задач!. А заrал•ниЯ розв•язок мо.на
записа'l'и в 1'акІ~ ФО;...Р"=l'----- |
|
|
|
|||
/1;// .:V І! (х: -1J |
::? |
|
|
|
||
б) Нехай тоЧкз. ),((.%,у) - змІнна точкА на кривІА.• Іlяо)Р" крив~лІ |
||||||
А |
|
нІяноІ |
трапецІІ |
цорІ11Нk18 |
J. -уd~ |
|
М.(х,,\ |
Із ~111ови за.цачІ |
ш.емо |
• |
|||
|
||||||
|
|
3t |
j |
|
|
|
|
|
1'1 d:r :: : |
|
|
||
|
|
ж. |
: |
|
|
|
Диференц!Dючи~бидвІ частини рІвкяиня по
~.одерамо
|
|
|
|
|
|
- |
з t.11.f/~ |
- t,.~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ - |
<V ~І. |
- • |
|
|
|
о |
|
|
х. |
|
|
|
|
|
|
|
Розв•яzеuо рІвняіекІі :аlдкосно |
|
V' |
. ТодІ |
|
|
|
||||
, |
zlq" t,/.J. |
|
|
|
|
|
|
|
||
:J |
" . |
|
\?ol:r |
|
|
|
|
|
|
|
Це одкорl.ц.че |
рІвИІІННЯ, тОNу що |
nІсJІЯ nІ,цотановии |
замІс'І'• ;t" |
І JI |
||||||
вІцпов!Дно |
іх |
|
1 ty |
, |
о.цермuо |
|
|
|
||
ц'= |
t2xr.t!i"'...!:~ = r2JІ +у3_ |
|
|
|
||||||
(/ |
|
|
3i'Jltд |
|
|
3~1%;:. |
|
|
|
|
тобто те • рrвняЮІJІ. |
|
|
, |
4;f '= v'x + и |
, аводимс |
|
||||
ПІдстаковкоD |
у:;- tlf:x) х |
Яоrо |
||||||||
до рlвняюur |
з вІ,цокремJІDванІDІІІ змІНИЮІІІ. |
|
|
|
||||||
, |
|
х"епс + uJ:.r 3 |
= |
І - u 2 |
|
|
|
|||
u:x:-+ и = |
|
. |
|
_.._. |
|
|
|
|||
|
|
|
3и~х•х. |
|
зи |
|
|
|
||
~ du. |
:: { - !l.8 - с.с |
" |
t |
- гиr. |
|
|
|
|||
d~ |
|
3а. |
|
|
Зи |
|
|
|
|
|
~= ~
:ж f-lul.
9
Іитеrр)Є:dо йоrо І о.церюсо
{rr. /.т( = - / ·(" / 211: - f / + :- -fп |
С. |
|
ДовІ..а•ма c·rua 3МЯсана у в~сr.мд! |
; (п С |
дм ЗР.І~С.с'І'І на<:'!'у:)- |
коrо поте.нцІюванкя.
Згrеn~кмR Іктеrраа МОJІИ& зе.nиса7w 'l'&R:
чє~ 13(1 + , е" І ~1 -11 "r," с.
З11Ідхм |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.:r<- { ~Yl -жt) :::- |
С |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
~.i |
І |
, |
|
|
|
|
|
або |
(г(/~. ,r2}~ =Ск"' |
|
|
|
|
х,,, Z І y~t . |
||||||
|
|
.; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ЗІщов~л~ю.е•о nоqатков~ )'МоNІІІІ. 1йяставУ.ВІІи |
|||||||||||
·rодІ |
4( 0 fG |
|
І |
С •'І |
. s |
|
|
|
|
|
||
Остатоцно |
од~р!ІЮСО |
(2.31 - 71} |
" f6 r'- |
|
|
|
||||||
|
в) |
tlopemn11ewo рІВНЯЮІЯ у ви-"JIRAl |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1J:.::: _ 2х •y-t . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
(/:{' |
|
:x-J.'j "! |
|
|
|
|
|
|||
Визкачнкх |
1-1 |
:; / t () |
• |
це означаю, 2t0 даке |
р!внякка моJІШ |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nepeт11op:i1n« в сщнорІдке. |
Зробимо |
замІну |
:і' 0 t.І • "'1.. |
|
• ' "'"'""fl |
|||||||
звІдки |
d!JC :.du. |
|
• |
dj = dv- |
|
• Шдс-rеаІDСо |
в рrвкяюut |
|||||
|
|
_" - |
2и +v |
~ (2J. "JJ-i) |
|
|
|
|||||
|
|
Jtr |
|
|
|
|
||||||
|
|
<Jц |
|
u-2v-+(.t.-lp+JJ |
|
|
|
|||||
Знахuдr.мо |
4'. |
І р |
Із смстwи |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2~фр• 1а() |
9 |
tl. " |
- |
s.!..; '": . |
|
|
||||
|
J.. |
- ~" •3:::. <> |
|
|
|
|
" |
|
|
|||
Зацане рlви11ння nІсм переtвороККІІ мм а.мrпя.ц |
|
|
||||||||||
|
!!!.'::: |
- ~ : - ~ . |
|
|
|
|
||||||
|
dfA |
U-lll" |
|
f-2 ~ |
|
|
|
|
|
|||
Це |
оцнорlлн~ рlnкяиня. розв•п&У'JW::> ioro пІДстанvвхою |
~"' l.(«}· :.І |
||||||||||
І.!": = l~ 11 |
+ .! |
|
• |
Тодl |
|
|
|
|
|
|
||
|
11 dl |
+ і |
:; _l...!;.L. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
«и |
|
|
J' ~1... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.J~ |
і +z.. |
|
~ ",г -tl••i _ |
-z?:t.~г'f:•l. |
|
|
||||
|
Udи |
:: 2~ |
-1. - |
~ "' 2. i - L |
- |
2 і - і. |
|
|
||||
ІО