MathCad_3
.pdf
Міністерство транспорту та зв’язку України Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені акад. В.Лазаряна
Львівська філія
ІНТЕГРОВАНА МАТЕМАТИЧНА СИСТЕМА
MathCAD 2000
ч. 3
“ОБЧИСЛЕННЯ СУМ , ДОБУТКІВ,ГРАНИЦЬ, ПОХІДНИХ ТА ІНТЕГРАЛІВ. СИМВОЛЬНІ ОБЧИСЛЕННЯ.”
Інструкція до лабораторної роботи з курсу “Обчислювальна техніка та програмування”
Львів 2002
Лабораторна робота № 3.
Тема: Обчислення сум , добутків,границь, похідних та інтегралів. Символьні обчислення. Мета: Навчитись короистуватись палітрами математичних операцій i символьних операцій та
відповідними командами меню в середовищі MathCAD.
Для обчислення сум і добутків скористаємося палітрою обчислень. Наприклад
100 |
|
|
20 |
(−1)n |
|
1000 |
|
|
|
|
∑ |
1 |
= 1.635 |
∑ |
= 0.54 |
∑ |
|
1 |
= 0.5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
n =1 |
n |
n =0 |
(2 n)! |
k =1 |
(2 k − 1) (2 k + 1) |
|
|
|||
Тут ми використали значок суми з границями сумування або команду Ctrl+Shift+4 |
З прикладів |
|||||||||
видно, що система обробляє ситуації (−1)0 |
= 1 0! = 1 |
, проте не може рахувати суми з |
||||||||
безмежними границями. Значок сумування тільки вказанням індекса (Shift+4)використовується для роботи з матрицями і функціями залежними від індексу, тобто в тих випадках, коли границі зміни індекса вказуються в вигляді змінної інтервального типу.
Наприклад:
0.282 |
|
|
|
|
|
i := 0 ..2 |
∑Xi = 1.154 |
||
X := 0.359 |
||||
0.513 |
|
i |
||
n := 1 ..100 |
y(n) := n2 + 2 n + 1 |
∑ |
1 |
= 0.635 |
y(n) |
||||
|
|
n |
||
n
Аналогічно обчислюються добутки. За означенням: ∏ (ai 
a1 a2 .... an).
i = 1
Використовують значок добутку з границями множення або команду Ctrl+Shift+3, або значок добутку вказанням індекса Shift+3.
Наприклад:
10000 |
|
|
|
10000 |
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
1000 |
(1 + x2 |
k |
) = 2 |
||
∏ |
1 − |
1 |
= 0.5 |
∏ |
|
1 |
+ |
|
(−1) |
|
= 1.414 |
x := 0.5 |
∏ |
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
k = 2 |
|
k |
|
n = 1 |
|
|
|
|
2 n − 1 |
|
k = 0 |
|
|
|
|
|
||
Обчислення інтегралів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Використовують значок означеного інтегралу або команду Shift+7. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) := x3 − 3.1 x2 + 2.05 x + 1 |
|
|
|
TOL := 10− 8 |
⌠2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f(x) dx = 0.591667 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡1 |
|
|
|
|
|
|
Означений інтеграл - це площа криволінійної трапеції.Тут ми вивели результат з 6 значащими цифрами.Інтеграл достатньо добре обчислюється, якщо підінтегральна функція не має особливостей. Точність обчислень задається системною змінною TOL, яку можна перевизначити в меню
Math\Options... Встановимо, наприклад 10− 8 .
Символьні обчислення.
Суми , добутки , похідні та неозначені інтеграли (первісні функцій) можна обчислювати в символьному вигляді, Замість знаку рівності "=" використовуть знак " 
→ " палітри символьних операцій (команда
Ctrl+>).
Наприклад:
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n z2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ |
|
1 |
→ |
1 |
π2 |
|
|
|
|
∑ |
→ cos(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
(2 n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
n |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
або для скінчених границь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
1 |
15895086941330378731122979285175538597023834985437098598894328348038181310903 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
→ 9721861444343810305896579766726231441619755839957462417827203547055179861652 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
(−1)n z2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∑ |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
4 |
|
1 |
|
6 |
|
1 |
8 |
1 |
10 |
|
1 |
12 |
|
1 |
14 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ 1 − |
|
z + |
|
|
z − |
|
|
|
z + |
|
z |
− |
|
z |
+ |
|
z |
− |
|
z |
||||||
|
|
|
(2 n)! |
|
2 |
24 |
|
720 |
40320 |
3628800 |
479001600 |
87178291200 |
|||||||||||||||||||||
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отримуємо просто ряд з 8 доданків, це значить, що система не змогла спростити вираз. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Тепер спробуємо обчислити добуток: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏ |
1 − |
1 |
|
|
→ |
10001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
20000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
k = 2 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
∏ (1 + x2k)→ 2.000000000000000000
k = 0
Обчислення границь.
Використовують значок границі або при необхідності правосторонньої (лівосторонньої) границі з палітри математичнич операцій.
1. |
|
lim |
sin(x) |
→ 1 |
2. |
|
|
lim |
|
1 |
+ |
1 x |
→ exp(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тепер складніші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
ln(1 + sin(x)) |
→ |
|
1 |
|
|
|
lim |
x2 − 1 |
→ 2 |
lim |
2cos (x)2 − 1 |
→ −2 ln(2) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin(4 x) |
|
|
4 |
|
|
|
ln(x) |
|
ln(sin(x)) |
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
x→ |
π |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обчислення похідних. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для обчислення похідної достатньо поставити функцію під знак |
d |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
f(x) |
:= |
|
|
( 2) |
|
|
|
|
d |
f(x) → sin(.25) + .50 cos(.25) |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
d2 |
|
f(x) → 3.0 cos(.25) − .500 sin(.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
xx → .70710678118654752440ln(.5) + .7071067811865475244 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо перед цим задати значення змінної, то отримаємо числове значення. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x := |
0.5 |
|
d |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 → .7698003589195010193 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d |
xx → .70710678118654752440ln(.5) + .7071067811865475244 |
Перевіримо: |
xx (ln(x) + 1) = 0.217 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислення означеного інтегралу(первісної).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
|
Для обчислення означеного інтегралу достатньо поставити функцію під знак |
|
d |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
⌠ |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
(cos(x)) |
dx → |
cos(x) sin(x) + |
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Хід роботи
1.Обчислити значення суми:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
x := 0.855 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
1 + |
n |
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
1 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
750 |
|
cos(2 i − 1) xi |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) x := 0.555 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2 i + |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.Обчислити значення добутку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
15 |
|
|
|
(i + 2) ( i − 3) |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) ∏ |
|
|
|
|
б) ∏ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(i + 14) (i + 5) |
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
i = 10 |
|
|
|
n = 1 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.Обчислити значення визначеного інтегралу: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
atan( |
|
x − 1)dx |
||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
− 3 x + 2 |
|
|
⌡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
⌡ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Обчислити значення границі: |
|
|
lim |
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
f(x) := |
|
xn − 1 |
|
|
б) |
f(x) := |
|
x + 1 − 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
x − 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a := 1 |
|
|
|
n := 8 |
|
|
|
|
a := 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.Обчислити значення похідної: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) f(x) := |
|
x |
|
|
x + 3.5 |
|
б) f(x) := |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5 |
|
x3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
f(x) := |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
г) |
4 |
ln 1 − x − |
2 arctg(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольні запитання
в) f(x) := x2 − 4 x − 2
a := 2
в) f(x) := ln(x sin(x 1 − x2))
1.Якими командами можна відкрити текстову і математичну область?
2.Які функції виконує хрестовидний курсор (візир) і маркер і як їх можна переміщати по екрану ?
3.Якими командами можна відкрити шаблони для обчислення сум, добутків, границь?
4.Які дії виконують оператори '' := ", " = ", " 
→ " ?
5.За допомогою яких клавіш можна збільшувати розміри об'єднуючого курсора (виділяючої рамки) ?
6.В якому порядку треба кодувати в математичному виразі арифметичні операції, операції піднесення до степеня і добування кореня ?
7.Чим відрізняються чисельні обчислення похідних та інтегралів від символьних обчислень ?