Скачиваний:
3
Добавлен:
27.04.2021
Размер:
293.4 Кб
Скачать

Л А Б О Р А Т О Р Н А Р О Б О Т А № 3

ВИКОРИСТАННЯ ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕСОРА EXCEL ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ

Мета роботи:

1.Опанування методами розв’язування систем лінійних та нелінійних алгебраїчних рівнянь.

2.Набуття практичних навичок роботи з матричними функціями.

3.Опанування методами ітераційного обчислювального процесу.

Перед виконанням лабораторної роботи слід ознайомитися з теоретичним матеріалом, поданим у методичному посібнику [1].

1.ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

1.1.Отримайте завдання до виконання лабораторної роботи у викладача.

1.2.Ознайомтеся з умовами задачі і методичними вказівками їх вико-

нання.

1.3.Підготуйте проект електронної таблиці на папері з номерами рядків, назвами стовпців, основними формулами, текстовими і числовими даними.

1.4.Визначте основні кроки послідовності оптимального виконання ро-

боти.

1.5.Внесіть та відредагуйте данні у комірках електронної таблиці згідно

зпідготованим заздалегідь її проектом.

1.6.Отримайте результати обчислень.

1.7.Підготуйте електронні таблиці до друку.

1.8.Надрукуйте результати роботи.

1.9.Виконайте звіт до лабораторної роботи та здайте викладачу на пере-

вірку.

1

2. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ МАТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Сукупність систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які відрізняються лише правими частинами, можна представити у вигляді одного лінійного матричного рівняння

A X = B .

Тут A - квадратна матриця розміру n ×n , В – прямокутна матриця розміру n ×m . Розв’язком рівняння є матриця Х такого ж розміру, як і матриця

В.

Якщо визначник матриці A не дорівнює нулю, то існує обернена до неї матриця A1 і можна отримати розв’язок матричного рівняння.

Знаходимо обернену матрицю до матриці A і помножимо зліва матричне

рівняння на A1

A1A X = A1B .

Оскільки A1A = E – одинична матриця, то A1A X = E X = X , і шукана матриця Х знаходиться за формулою

X = A1B .

Усі зазначені дії можна виконати використовуючи функції Excel для операцій з матрицями.

Нагадаємо, що визначник матриці повертає функція Excel МОПРЕД, обернену матрицю – функція МОБР, а для множення матриць призначена функція МУМНОЖ.

Більш детальні відомості про матричні функції приведені у розділі 2 посібника [1].

Приклад.

Нехай задані наступні матриці

1

3

5

4

6

2

8

 

5

2

2

2

 

 

3

5

5

 

 

 

 

 

A =

3

1

2

4

 

B =

1

6

 

.

 

 

 

1

 

2

1

2

2

 

 

4

3

4

 

 

 

 

 

Побудувати електронну таблицю для обчислення матриці Х, як розв’язку матричного рівняння A X = B .

2

Розв’язування. На робочому аркуші потрібно визначити діапазони комірок, у які внесемо елементи заданих матриць A та В, а також для обчислених оберненої матриці A1 і матриці Х.

Сплануємо наступне заповнення робочого аркуша (рис. 1).

Таким чином, вхідні дані розмістимо у діапазонах комірок В3:Е6 – матриця A і G3:I6 – матриця В.

 

A

B

 

С

 

D

E

F

 

G

 

H

 

I

J

1

 

Розв

’язування матричного рівняння АХ=В

 

 

2

 

 

 

Матриця А

 

 

 

 

Матриця В

 

 

3

 

1

3

 

5

4

 

 

6

2

 

8

 

4

 

5

2

 

-2

2

 

 

3

5

 

5

 

5

 

3

1

 

-2

4

 

 

1

6

 

-1

 

6

 

2

1

 

2

2

 

 

4

3

 

4

 

7

Визначник матриці А:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

Обернена матриця А-1

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

Перевірка розв’язку

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

Матриця Х

 

 

 

 

Матриця А·Х

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Розташування даних у комірках робочого аркуша

Проміжні результати – визначник матриці A у комірці Е8 і обернена матриця A1 у діапазоні В11:Е14.

Розв’язок задачі отримаємо у діапазоні В17:D20 – матриця Х.

Крім того, виділимо діапазон комірок G17:I20 для добутку матриць A X , тобто для перевірки отриманого розв’язку підстановкою його в рівняння. Значення у комірках цього діапазону повинні збігатися зі значеннями діапазону G3:I6, у якому розміщена матриця В.

3

Відповідно до такої структури таблиці внесемо вхідні дані в комірки, запишемо розрахункові формули та виконаємо такі дії.

1. Обчислимо визначник матриці A.

У комірку Е8 внесемо формулу = МОПРЕД(В3:Е6) для обчислення визначника. Якщо отримане значення не дорівнюватиме нулю, то продовжимо вносити формули в комірки. В іншому випадку роботу завершуємо.

2. Обчислимо обернену матрицюA1 .

У комірку В11 внесемо формулу = МОБР(В3:Е6), яка обчислить перший елемент оберненої матриці. Після цього виділимо мишею діапазон комірок В11:Е14. Натискаємо клавішу F2, і у комірці висвітлюється внесена у неї формула. На завершення натискаємо комбінацію клавіш Ctrl+Shift+

Enter. У

кожній

комірці виділеного діапазону маємо формулу вигляду

{= МОБР(В3:Е6)}, що дозволить отримати у діапазоні комірок В11:Е14

об-

числені за цими формулами елементи оберненої матриці.

 

 

3. Знаходимо матрицю Х.

 

 

 

У комірку В17

внесемо формулу = МУМНОЖ( В11:Е14 ; G3:I6 ),

щоб

отримати

перший

елемент

добуткуA1B . Виділимо

діапазон комірок

В17:D20, натискаємо клавішу

F2 і комбінацію клавіш

Ctrl+Shift+Enter. У

діапазоні комірок матимемо формули {= МУМНОЖ( В11:Е14 ; G3:I6 )}, які дають значення елементів матриці Х.

4. Перевіримо отриманий розв’язок підстановкою його у рівняння.

У комірку G17 внесемо формулу = МУМНОЖ( В3:Е6 ; В17:D20 ), щоб обчислити перший елемент масиву добуткуA X . Інші елементи цього добутку отримаємо так, як і у попередньому пункті. Виділимо діапазон комірок G17:I20, натискаємо клавішу F2 і комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter. У діапазоні комірок матимемо формули {= МУМНОЖ( В3:Е6 ; В17:D20 )}. У разі правильного розв’язання задачі значення у комірках повинні дорівнювати значенням матриці В.

5. Надаємо таблиці вигляду, придатного для звіту про виконання роботи. Змінюємо формати відображення числових значень у комірках та діапа-

зонах комірок таблиці, а також наводимо межі комірок (рис. 2).

6. Друкуємо отримані результати.

Виділяємо діапазон комірок A1:J21 і виконаємо команду Файл | Печать . Поставимо перемикач в позицію Выделеный диапазон і надрукуємо виділений діапазон – ОК.

4

 

A

B

С

D

E

F

 

G

 

H

 

I

J

1

 

Розв

’язування матричного рівняння АХ=В

 

 

2

 

 

Матриця А

 

 

 

 

Матриця В

 

 

3

 

1

3

5

4

 

 

6

2

 

8

 

4

 

5

2

-2

2

 

 

3

5

 

5

 

5

 

3

1

-2

4

 

 

1

6

 

-1

 

6

 

2

1

2

2

 

 

4

3

 

4

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Визначник матриці А:

100

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

Обернена матриця А-1

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

-0,2

0,1

-0,1

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

0,44

0,38

-0,18

-0,9

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

-0,04 -0,08 -0,12

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

0,02

-0,21

0,31 0,05

 

Перевірка розв’язку

 

15

 

 

 

 

 

 

 

16

 

Матриця Х

 

 

 

Матриця А·Х

 

17

 

1

1

1

 

 

 

6

2

 

8

 

18

 

0

-1

2

 

 

 

3

5

 

5

 

19

 

1

0

1

 

 

 

1

6

 

-1

 

20

 

0

1

-1

 

 

 

4

3

 

4

 

Рис. 2. Результати обчислень за внесеними формулами

3. ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНОГО МАТРИЧНОГО РІВНЯННЯ

Задані матриці А та В . Розробити структуру таблиці на робочому аркуші та, використовуючи табличний процесор Excel, отримати розв’язок матричного лінійного рівняння

A X = B .

Результати роботи видрукувати.

Варіанти матриць А та В для проведення обчислень:

1

3

5

2

17

3

1. A = 5

2

2 ,

B =

2

7

16

3

1

2

 

1

6

10

5

 

1

 

2

 

3

 

 

 

7

 

3

 

 

 

2. A =

1

3

 

2 ,

 

B =

5 3

 

 

 

 

2

 

1 1

 

 

 

0

4

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

 

 

 

1

6

 

 

3. A =

1

4 1 ,

 

 

B =

3 4

 

 

 

2

1 5

 

 

 

2

 

5

 

 

 

3

2

 

 

3

 

 

 

3

4

4

 

 

4. A =

1

1

 

2 ,

 

 

B =

1 2 0

 

 

 

2

1 1

 

 

 

0 0

6

 

 

5.

1

 

2

 

 

 

 

3

 

0

 

7

 

A =

 

 

,

 

 

B =

3

6

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

11

 

 

 

 

1 3

2

 

 

 

 

7

 

8 2

6. A = −2 0

 

2 ,

B =

6 4 4

 

 

 

2 2 1

 

 

 

 

5 3

 

5

7.

3

 

2

 

 

 

1

1

 

1

 

 

A =

1

 

,

 

 

B =

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3 3

 

 

 

4

2

3

 

 

 

 

5

2

 

 

 

8.

 

1

2

 

 

,

 

 

 

3

 

 

 

 

A =

 

1

 

B =

1

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

9.

3

 

2

 

 

 

8

3

11

 

 

A =

5

 

2

,

 

B =

8 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

2

2

 

 

 

 

5

 

2

 

 

10.

 

1

4

 

,

 

 

 

1

 

4

 

 

 

A =

2

 

B =

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 6

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

1

 

 

 

 

2 11

6

11.

 

2

1

 

 

 

 

 

3

6

6

 

A =

2 ,

 

 

B =

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

0 5

6

 

3

2

1

 

 

 

 

12.

 

2

5

2

 

 

 

 

 

A =

,

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

13.

5

7

 

 

 

 

 

 

A =

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

5

2

 

4

 

 

14.

 

1

2

 

 

,

 

A =

 

1

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

3

 

5

 

15.

 

4

2

2

 

 

A =

,

 

 

 

3

1

2

 

 

 

 

 

 

 

6

2

3

 

 

 

 

16.

 

1

1

 

 

 

 

 

 

A =

3 ,

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

17.

3

5

 

 

 

 

 

 

A =

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

3

 

 

18.

 

0

3

 

2

 

,

 

A =

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4

0

 

 

 

3

 

19.

 

2

3

 

 

 

 

 

,

A =

 

 

 

2

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

3

 

5

 

 

20.

 

5

2

2

 

,

 

A =

 

 

 

 

3

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

7

 

 

 

 

1

7

 

 

 

 

B =

 

 

 

 

 

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

9

8

 

 

B =

5

1

 

 

 

 

 

8

 

 

 

5

 

3

 

 

 

2

4

 

 

 

B =

 

 

 

 

4

6

 

 

 

 

 

 

 

3

2

1

 

 

0

0

 

8

 

 

B =

 

 

 

 

0

1

 

6

 

 

 

 

 

 

7

5

 

 

 

7

 

 

 

 

B =

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

9

2

 

 

B =

0

4

 

 

 

 

 

1

 

 

20

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

B =

14

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

15

 

7

 

 

 

5

 

 

 

 

B =

 

0

 

 

 

5

 

 

 

 

 

1

 

 

2

17

 

3

 

2

7

16

 

B =

 

 

1

6

10

 

 

 

7

4. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

У практиці інженерних обчислень досить часто доводиться розв’язувати алгебраїчні рівняння

F (x)= 0,

де функція F(x) - задана.

Складність задачі полягає у тому, що рівняння може мати один чи декілька дійсних розв’язків, або не мати жодного розв’язку. Зробити попередні висновки про кількість і наближені значення розв’язків рівняння можна, побу-

дувавши таблицю і графік функції y = F(x) для області визначення F(x),

ви-

користовуючи графічні можливості Excel. Точки перетину функції

y = F(x)

з віссю х

відповідають розв’язкам рівняння F(x) = 0.

 

 

 

Наприклад, рівняння

10sin

x = 3x +5 ,

яке

можна записати

як

10sin x 3x 5 = 0 , має

два

розв’язки,

тому

що графік

функції

y =10sin

x 3x 5 двічі перетинає вісь х (рис. 3).

 

 

хі,

У випадку, якщо розв’язок існує, потрібно визначити такі значення

підставивши які у рівняння замість х, отримаємо тотожності. На прикладі функції, показаної на рис. 3, видно, що розв’язки слід шукати в околі 0,5 та дещо більше ніж 1,4.

0,6

y

 

 

 

 

 

 

 

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x

-0,2 0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

-0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Графік функції y =10sin

x 3x 5

Якщо розв’язок не вдається отримати аналітично, використовуємо методи наближеного розв’язання рівняння. Табличне представлення даних і результатів проміжних обчислень в Excel дозволяє реалізувати ітераційні розрахункові схеми, які виникають при застосуванні чисельних методів. Крім того, алгебраїчні рівняння можна розв’язувати в Excel, використовуючи вбудований у програму допоміжний засіб – “Пошук розв’язку”.

8

4.1. Реалізація ітераційної розрахункової схеми в електронній таблиці

Для того, щоб застосувати відомі методи чисельного розв’язання рівняння F(x) = 0, потрібно спочатку перетворити його до вигляду

x = f (x) .

Іноді це досить легко зробити. Наприклад, рівняння 10sin x 3x 5 = 0 відповідним перетворенням рівняння набуває вигляду

x =

10sin x 5

, тобто f (x) = 10sin

x 5 .

 

3

 

3

Тоді з області визначення функції f(x) вибирається певне значення x = x0 , яке відіграє роль початкового наближення. Це значення підставляємо у праву частину рівняння і отримуємо наближення x = x1

x1 = f (x0 ) .

Наступні наближення обчислюються подібним чином xn+1 = f (xn ) .

Якщо із зростанням n попереднє і наступне значення х зближуються, тобто xn+1 xn 0, то ітераційний процес збігається і наближений

розв’язок отримано.

Сплануємо наступне заповнення робочого аркуша для реалізації цієї розрахункової схеми (рис. 4.)

 

A

B

С

1

Ітераційний метод розв'

язування рівняння x = f(x)

2

Послідовні наближення розв’язку

 

3

Попереднє значення

 

Наступне значення

Похибка розв’язку

 

хn

 

хn+1

хn+1хn

4

х0

 

f(х0)

х1 х0

5

х1

 

f(х1)

х2 х1

6

 

7

 

 

 

 

 

Рис. 4. Розташування даних і формул у комірках таблиці

При такому розташуванні даних у комірку А4 вносимо початкове значення х0. У комірці В4 обчислюємо значення f(х0). Це значення вносимо в комірку А5 і у комірці В5 обчислюємо наступне значення f(х1). Наближення розв’язку рівняння контролюємо у комірках стовпчика С. Рядки таблиці заповнюємо доти, поки у стовпчику С отримаємо мале значення, яке відповідає задовільній точності розв’язання рівняння.

9

Приклад. Застосуємо таку структуру таблиці для розв’язання рівняння

10sin x 3x 5 = 0 , записаного у вигляді

x =

10sin x 5 .

 

 

3

Допустимими значеннями х тут є значення x 0 , з яких вибираємо початкове наближення x = x0 , наприклад x0 =1, і далі отримуємо наступні наближення згідно з формулою

 

xn+1 =

10sin

 

xn 5

.

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Для цього прикладу створюємо електронну таблицю (рис. 5).

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

 

 

 

С

1Ітераційний метод розв'язування рівняння 10sin x 3x 5 = 0

2Послідовні наближення розв’язку

3

Попереднє значення

Наступне значення хn+1

Похибка розв’язку

 

 

хn

 

хn+1- хn

4

 

1

=(10*SIN(КОРЕНЬ(A4))-5)/3

=ABS(A4-B4)

5

 

=B4

=(10*SIN(КОРЕНЬ (A5))-5)/3

=ABS(A5-B5)

6

 

=B5

=(10*SIN(КОРЕНЬ (A6))-5)/3

=ABS(A6-B6)

7

 

Рис. 5. Розрахункові формули задачі в комірках робочого аркуша

Послідовність заповнення таблиці.

 

1. Вносимо дані у комірки таблиці

 

 

А4

1

 

 

 

В4

=(10*SIN(КОРЕНЬ(A4))-5)/3

 

 

С4

=ABS(B4-A4)

 

 

А5

=B4

 

 

Функцію КОРЕНЬ вносимо у формулу, використовуючи майстер функцій.

2. Копіюємо формули у стовпчиках А, В, та С у наступні рядки таблиці, використовуючи автозаповнення. Для цього наводимо курсор миші на нижній кут комірки з формулою і при натиснутій лівій клавіші миші протягуємо маркер заповнення на кілька комірок вниз. Після цього відпускаємо клавішу миші. Формули скопіюються з модифікацією у них відносних адрес комірок. Кількість рядків таблиці збільшуємо поки не досягнемо потрібної точності обчислень, тобто коли похибка розв’язку у стовпчику С достатньо мала. При цьому значення у стовпчиках А та В достатньо близькі і отримане значення у стовпчику В приймаємо за розв’язок рівняння (рис. 6).

З таблиці (рис. 6) випливає, що ітераційний процес збіжний, оскільки у стовпчику С відхилення лівої і правої частин рівняння спадає. Розв’язок рів-

10

Соседние файлы в предмете Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах