Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Частина4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.04.2021

Размер:

467.05 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

M y

z .

(8.2)

tg a = -

M z

J y

Максимальних

значень

нормальні

напруження

досягають

точках, найбільш

віддалених від нейтральної лінії

smax =

M y

(8.3)

Умова міцності

smax =

M y

£[s

]

або

M y

]

(8.4)

z ç1+

÷ £

z è

При

підборі

розмірів

перері

використовують вираз

рис.8.2.

³ M z

M y × Wz

(8.5)

ç1+

÷,

M z

[s ]è

причому відношення Wz задається наперед.

Приклад 8.1.

Для

консолі (рис.8.3) з

умови

міцності

підібрати

прямокутний

переріз з

відношенням h = 2 , якщо [s ]=10 кН см2 .

Розкладаємо

силу F

на

складові

Fy = F cos j =17.4 кН ,

= F sin j =10 кН .

q = 10 kH м

вертикальній

площині

виникає

22,4kH × м

момент M z

(від

сил Fy

q ), а в

= 1м

горизонтальній

площині – момент

M z

(від

сили

F ).

Епюри

цих

M y

моментів

показані

на

рисунку.

Оскільки

небезпечній

точціB

j = 30o

10kH × м

балки

верти-кальний

момент

F = 20 kH

M z = 22.4 кН × м

більший

від

горизонтального

M y =10 кН × м ,

то

більшу

сторону

прямокутника

доцільно

розташувати

рис. 8.3

вертикально.

Тоді

Wz = h = 2 . Із

формули

(8.5)

Wz ³

22.4 ×100 кН ×см æ

×2

Для

заданого

прямокутного

10 кН см2

22.4

÷ = 424 см

- 61 -

перерізу Wz =

b h2

b3 . Отже,

b3 ³ 424 см3 . Звідси b ³8.6 см , h = 2 b ³17.2 см .

8.3 Позацентровий розтяг (стиск) стержня великої жорсткості.

Позацентровий розтяг (стиск) зумовлений навантаженням, рівнодійна якого F , що

паралельна до осі x , прикладена в точці з координатами zF ,

(рис. 8.4 а). У цьому випадку

перерізах

стержня

виникає

поздовжня N = Fсила та

згинальні

моменти

M z = F × yF

, M y = F × zF . Нормальне напруження в точці B ( z , y )

перерізу дорівнює

s (

y , z )

M y

× z

M z × y

zF z

yF y

= ±

ç 1

÷ ,

J y

J z

(8.6)

де iy2

J y

, iz2 =

- квадрати радіусів інерції перерізу.

		N		y						az
										az	z
			M y			z					z
	C		M y
	C
y				M z						ay
B z				M z						ay
B z
											нейтральна
											лінія
	а)						рис.8.4			б)
При позацентровому розтягу у формулі (8.6) залишають знак “ + “, а при стиску “ – “.
У випадку, коли			позацентрова сила F проходить							через одну з головних центральних
осей, наприклад через вісь z , то yF =0 і формула (8.6) набирає вигляду
				æ				zF z	ö
				s ( z )= ±	F	ç	1+	zF z	÷ .		(8.7)
				s ( z )= ±		ç	1+	i2	÷ .		(8.7)
					A ç			i2	÷
				è				y	ø

Лінію, на якій нормальні напруження дорівнюють нулю, називають нейтральною лінією. Це – пряма лінія, що відсікає на осях y , z відрізки (рис. 8.4 б):

- 62 -

	i 2		iy2
ay =-	z	, az =-		.	(8.8)

	yF		zF
В залежності від координат yF , zF	точки прикладання сили F , нейтральна лінія може

проходити поза перерізом, дотикатися до нього або перетинати його. В останньому випадку в

перерізі	виникають	якрозтягуючі, так і	стискуючі напруження. Найбільші значення
напружень виникають у точках, які найбільш віддалені від нейтральної лінії.
Для позацентрово стиснутих стержнів, виготовлених з крихких матеріалів, небажана
поява	в точках	перерізу розтягуючих	напружень, оскільки в цьому випадку можливе

виникнення тріщин. Для того, щоб цих напружень не було, позацентрову силу потрібно намагатися прикладати в межах ядра перерізу. Ядро перерізу – це область навколо центра ваги перерізу, яка характерна тим, що всяка позацентрово прикладена в ній сила породжує по всьому перерізі напруження того самого знаку, що і прикладена сила. Координати точок контура ядра перерізу визначаються з умов

iy2

(8.9)

yЯ = -

, zЯ = -

де ay , az - відстані, що

відтинаються

нейтральною

лінією на осяхy , z ,

коли

ця лінія

дотикається до контура поперечного перерізу стержня.

Умови міцності:

а) для матеріалу, що неоднаково працює на розтяг і стиск

maxs p £ [s ]p , max sст £[s ]ст ;

б) для матеріалу, в якого [s ]р = [s ]ст =[s ]

max s

£[s ],

де [s ]p , [s ]ст

- допустимі напруження на розтяг і

стиск.

Приклад 8.2.

Для

позацентрово

стиснутого

силою

F =10000 кН

стержня

прямокутного

поперечного

перерізу (рис. 8.5)

розмірами

h = 60 см

yF z

b = 40см ,

h = 60 см

(координати

точки

прикладання

сили zF = 8см, yF =10см ) знайти

положення нейтральної

лінії, визначити

maxs p і

b = 40см

нейтральна

max sст

та

перевірити

, міцністьякщо

[s ]=16 кН см2 .

лінія

Квадрати радіусів інерції перерізу:

bh3

hb3

=300см , i

=133,3см .

A 12(bh

)

A 12(bh )

Відрізки

300

iy2

133,3

= -

= -30см, a

= -

= -16.7см .

= - z

100

Нейтральна лінія показана на рисунку. Найбільші

рис.8.5

- 63 -

розтягуючі напруження виникатимуть в точці C , а стискуючі – в точці B :

F æ

10000

8 ×(-20)

10 ×(-30)ù

кН

maxs

= -

ç1+

= -

= 5.0

40 ×60

133.3

300

см

A è

F æ

10000

8 ×20

10 ×30 ù

кН

maxs

= -

ç1+

÷ = -

= -13.3

ст

40 ×60

133.3

см

A è

300 û

Перевірка міцності:

max s

=13.3 кН см2

£[s ].

Міцність забезпечена.

8.4 Сумісний згин з крученням.

s зг

б)

s зг

= tmax	A
	s зг = smax

Сумісний згин з крученням має місце, коли в стержні

одночасно

виникають

згинальнийM зг і

крутнийM k

моменти. З наявністю цих

моментів пов’язані напруження

sзг , tk .

Матеріал

стержня

перебуває

плоском

напруженому стані (рис. 8.6 а) з головними напруженнями

s1 ü

зг

æ s

зг

+ tk2 .

s3 þ

Умови міцності:

а) за III теорією

£[s ]

sIII

= s - s

+ 4 t2

(8.10.1)

екв

зг

б) за IV теорією

£[s ]

sеквIV

s2зг + 3 tk2

(8.10.2)

У випадку стержня з круглим(кільцевим) перерізом перевірка міцності здійснюється в небезпечній точці A (рис. 8.6 б), де

рис. 8.6

1 м

					B
					B
	C
	F = 50 kH			0, 4 м
		A
		A
50		20
C				B
					M зг
			A
20		20
C				B

зг

= s

max

M зг

, t

= t

max

M k

, W = 2W . (8.11)

Умови міцності (8.10) набирають вигляду

sекв

M екв

£[s ]

(8.12)

де M екв - еквівалентні (розрахункові) моменти за вибраною теорією міцності:

M еквIII = M зг2 + M k2 , MеквIV = M зг2 + 0,75 M k2 . (8.13)

Приклад 8.3 Для стержня з ламаною віссю (рис. 8.7) круглого поперечного перерізу з діаметром d =15 см перевірити міцність за III теорією, якщо

[s ]=16 кН см2 .

Епюри M зг , M k показані на рисунку. Небезпечним перерізом є переріз в точці C , де

M кр

рис. 8.7 A

- 64 -

і Q ( x )) і

M зг =50 кН × м , M k = 20 кН × м . Розрахунковий момент за III теорією

M екв = 502 + 202 =53.9 кН × м .

Напруження sеквIII	=	M еквIII	=	53.9 ×100 кН ×см	=15.97 кН см2 <[s ].
		0.1d 3		0.1×153 см3

Міцність забезпечена.
				8.5 Плоскі статично визначені рами.
Рамами	називаються стержневі				системи, окремі стержні яких з’єднані між собою

жорстко (рис. 8.8 а). Якщо осі стержнів рами і навантаження на раму лежать в одній площині, що є головною площиною поперечних перерізів стержнів, раму називають плоскою.

M (x) > 0

Q(x) > 0

N (x ) > 0

в)

б)

F a

M - F a

г)	д)	е)
г)	рис. 8.8
	рис. 8.8

При навантаженні плоскої рами в її поперечних перерізах виникають згинальні моменти( M ), повздовжні ( N ) та поперечні ( Q ) сили. Для визначення цих величин у довільному перерізі

використовують ті самі правила, що приймались для балок(при визначенні M ( x )

для розтягу-стиску стержнів(при визначення N (x) ) (рис. 8.8 б). Для встановлення знаку згинального моменту M ( x ) проводять з однієї сторони кожного стержня рами пунктирну лінію (рис. 8.8 б) і вважають додатними ті моменти, що зумовлюють розтяг сторони стержня з боку пунктирної лінії (знак моменту не має надалі жодного значення, оскільки на епюрі M ( x )

він не проставляється, а епюра відкладається зі сторони розтягнутих волокон). Вирази для внутрішніх сил у рамі, що показана на рис. 8.8 а, мають вигляд:

- 65 -

AB (0 £ x £ a) M (x) = -F × x ; Q (x) = -F ; N (x) = 0 ,

BC (0 £ x £ b) M (x) = M - F × a ; Q (x) = 0; N (x) = -F .

Епюри внутрішніх сил показані на рис. 8.8 г, д, е. В поперечних перерізах рами виникають

нормальні і дотичні напруження. Останніми, при розрахунках рам на міцність, найчастіше

нехтують. Нормальні напруження

s = sN + sM = N + M × y .

(8.14)

Умова міцності

J z

= N + M £[s ] ,

smax

(8.15)

де N , M - значення поздовжньої сили та згинального моменту у небезпечному перерізі рами.

Приклад 8.4 Для рами, що зображена на рис. 8.9 а, побудувати епюри силових факторів,

підібрати і перевірити на міцність круглий переріз, якщо [s ]=10 кН см2 .

q = 20 kH

x =0,5м

1 м

2 м

H A

32,5

3 м

F = 10 kH

г)

б)

в)

рис. 8.9

Реакції в опорах:

å X =0 Þ H A - F = 0 ; H A =10 кН

å M A = 0 Þ RB ×2 + F ×2 - q ×2 ×1= 0 ; RB =10 кН

å Y = 0 Þ RA + RB - q ×2 = 0 ; RA = 30 кН

Вирази для внутрішніх сил на ділянках рами (рис. 8.9 а)

AC (0 £ x £1 м)

BD ( 0 £ x £3 м )

ì N (x )= -RA = -30 кН ;

ì N (x )=- RB = -10 кН ;

Q (x )= H A =10 кН ;

( x )=- F = -10 кН

;

ï Q

íM (x )= H

× x =10 × x ,

M ( x )= F ×x =10×x ,

(

)

(

)

(

)

= 0; M 1

=10 кН × м

(

0 =0 ; M

(

3 =30 кН × м

( )

)

- 66 -


							DC (0 £ x £ 2 м)
ì										N = F =10 кН ;
ï				Q (x )= -RB + q x = -10 + 20 x
ï				Q (x )= -RB + q x = -10 + 20 x
ï				(	Q		(	0	)	= -10 кН ;		Q		(		)		)	;
ï				(			(		)					(		)		)
í															2 = 30 кН
í											q x2
ïïM (x )= RB									x + F ×3 -		q x2			=10 × x + 30 -10 x2 ,
ïïM (x )= RB									x + F ×3 -					=10 × x + 30 -10 x2 ,
ï	(									2									)
ï		M	(	0		)	= 30 кН × м ; M					(	2		)	=10 кН	× м
î			(			)						(			)
ï

Екстремум:

d M

= 20 x -10 = 0

Þ x = 0.5 м ,

M (0.5 =) 32.5 кН × м .

d x

За цими даними побудовані епюри N , Q ,

M (рис. 8.9 б, в, г).

Підбір розмірів

перерізу здійснюється з

умови(8.15), без врахування напруження sN =

[s ].

тобто

умови max

даному

випадку

M max = 32.5 кН × м .

Тоді

M max

32.5×100 кН ×см

= 325 см3 .

Для

круглого

перерізуW

= 0.1d 3 .

Отже,

[s ]

10 кН см2

0.1d 3 ³325

;

d ³ 14.8 см . Приймаємо d =15 см .

Перевірка міцності здійснюється в небезпечному перерізі, де M ( x )= 32.5 кН × м , N =10 кН .

Умова міцності (8.14) приводить до результату

smax

10 ×4 кН

32.5×100 кН ×см

= 9.62 кН см2

< 10 кН см2 .

3.14 ×152 см2

0.1×153 см3

Міцність забезпечена.

8.6 Криві стержні.

Поряд

прямими

стержнями

в деяких інженерних конструкціях зустрічаються

криволінійні стержні. Осі цих стержнів– плоскі криві. Вважатимемо, що переріз стержня

сталий та симетричний відносно площини осі стержня і навантаження лежить в цій площині.

Радіус кривизни стержня R вважатимемо сталим.

В поперечних перерізах плоских кривих стержнів виникають: повздовжня сила N , поперечна сила Q , згинальний момент M . Вони визначаються за наступними правилами (рис.

		y
y		1
y	h
	h	C	y1
	y0	y	z
	R		y2
	C	2	y2
	C
x
x	j
	j

б)

рис. 8.10

8.10 а):

Повздовжня сила N у довільному перерізі рівна сумі проекцій на вісь x (що дотична до осі стержня) сил, які розміщені з однієї сторони від перерізу. Сили, які діють від перерізу (на розтяг) вважаються додатними.

Поперечна сила Q рівна сумі проекцій на вісь y (що перпендикулярна до осіx стержня) сил, які розміщені з однієї сторони від перерізу. Правила знаків для сили Q - як і для балки.

Згинальний момент M рівний сумі

- 67 -

моментів лівих або правих сил відносно центра“ C “ перерізу. Моменти прийнято вважати додатними, якщо вони збільшують кривизну стержня. В залежності від відношення радіуса кривизни осі стержня R до висоти перерізу h криві стержні діляться на:

а) стержні малої кривизни, для яких R ³ 5 ; h

б) стержні великої кривизни, для яких R < 5 . h

Напруження в поперечних перерізахкривих стержнів малої кривизниобчислюють за формулами для прямих стержнів

sN =

sM =

M × y

, tq =

Q × Sz

(8.16)

J z

b × J z

Для стержнів великої кривизни напруженняsN і tq

обчислюють

за

формулами (8.16).

Напруження sM визначають за формулою

M × y

(8.17)

(R0 + y )

де (рис. 8.10 б)

: R0 - радіус

кривизни

нейтрального шару

волокон(які

при згині не

деформуються);

y - координата точки, в якій визначають напруження відносно нейтральної

осі z ;

S = A× y0

- статичний момент площі перерізу відносно осі

z ;

y0 - координата центра

перерізу відносно нейтральної осі z .

напруження sM

формули (8.17) видно,

що

змінюється

по

висоті

перерізу за

криволінійним законом. Екстремальні значення напруження досягає в крайніх точках перерізу

“I” і “II” (рис. 8.11 а)

M ×

, sII =

M ×

yII

(8.18)

S ×

RII

s I

s I = s max

sC ¹ 0 sC = 0

yII

R I

s II

s II =

smin

R II

R 0

б)

в)

рис. 8.11

- 68 -

де yI , yII - координати точок “I” і “II” відносно осі z ; RI , RII - радіуси кривизни крайніх волокон.

Епюра sM для стержня великої кривизни показана на рис. 8.11 б. Для порівняння, на рис. 8.11в показана епюра sM для стержня малої кривизни. Відмінність між епюрами очевидна і ця відмінність збільшується при зростанні кривизни стержня.

Формулою (8.17) можна скористатись тоді, коли відомий радіус кривизни нейтрального шару R0 . Тоді координата центра y0 = R - R0 . Цей радіус визначається із формули

R =

(8.19)

d A

де r - радіус кривизни довільного шару.

Для конкретних форм перерізів вираз(8.19) проінтегрований і отримано аналітичні

вирази для визначення R0

для прямокутного перерізу з розмірами b ´h : R0

;

(8.20)

RII

для круглого перерізу з діаметром d : R0

d 2

(8.21)

4 é2 R

4 R2 - d 2 ù

Приклад 8.5. Кривий

стержень (рис.

8.12

а)

має

прямокутний

переріз

з розмірами

b = 4 см , h =8 см . Радіус осі стержня R = 20 см . Побудувати епюри N , Q , M та визначити у

небезпечному перерізі sN , max sM , min sM .

F = 40kH

M = 20kH × м

34,8

17 7

60o

R = 0, 2 м

б)

в)

г)

рис. 8.12

Вирази для внутрішніх сил:

)

AB (0o £ j £ 60o

ì N (j )= - F sin j = - 40 sin j ;

N (0o

=)0

, N (60o

= -) 34.8 кН

Q (j )= F cos j = 40 cos j ;

Q (0o

=)40

, Q (60o

= 20)

кН

M (j )= F R sin j =8sin j ;

M (0

=)0

M (60

= 7)

кН

× м

- 69 -

BC (60o £ j £ 90o

)

N (j )= - F sin j = - 40 sin j ; N (60o

= -) 34.8 кН

, N (90o = -) 40 кН

Q (j )= F cos j = 40 cos j ;

Q (60o

= 20)

кН

Q (90o = 0)

кН

îïM (j )= F R sin j + M = 8 sin j +10 ;

M (60o

=17) кН × м , M (90o

=18) кН × м

Епюри N ,

Q , M показані на рис. 8.12 б, в, г.

Небезпечним

перерізом

переріз

. в C ,т де

N = 40 кН , M =18 кН × м .

Напруження

40 кН

=1.25

кН

4 ×8 см2

см2

Оскільки

відношення

= 2.5 < 5 ,

то

заданий стержень є стержнем

великої

кривизни.

Напруження max

= sI ,

min

= sII

(рис. 8.11 а) визначаються за формулами (8.18).

Радіус кривизни нейтрального шаруR0

для

стержня

прямокутного

перерізу

визначається за

формулою (8.20).

= 19.75 см .

1.5

RII

Тоді

y0 = R - R0 = 20 -19.75 =0.25 см ,

S = A× y0 = (8×4 )×0.25 =8 см3 .

Координати точок:

= 4.25

см ,

yII

= -

3.75

см .

Напруження:

18 ×

100

кН

см

× 4.25

см

кН

= 39.84

max

см3

см

см2

yII

× 100 кН ×

см

(

3.75 ) см

= -52.73

кН

min

см3

см

см2

IX. Енергетичні способи визначення переміщень та розрахунок статично невизначних рам.

9.1. Інтеграли Мора.

Як відомо з теоретичної механіки, для систем, що перебувають у рівновазі, справедливий

принцип можливих переміщень, згідно з яким:

якщо система перебуває у рівновазі під дією прикладених до неї ,силто робота цих сил на будь-якому можливому безмежно малому переміщенні системи з положення рівноваг дорівнює нулеві.

Використовуючи цей принцип для визначення переміщень у пружних системах, отримуємо формули інтегралів Мора для визначення переміщень від повздовжніх, згсинальних і крутильних моментів. Вони мають вигляд:

l	N F N1
а) переміщення від повздовжньої сили N : D 1F = ò	N F N1		dx	;		(9.1)
а) переміщення від повздовжньої сили N : D 1F = ò	E A		dx	;		(9.1)
0
	l	M M		1
б) переміщення від згинального моменту M : D 1F = ò		F		1	dx ;	(9.2)
б) переміщення від згинального моменту M : D 1F = ò		E J z			dx ;	(9.2)
	0

- 70 -

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
27.04.2021307.12 Кб6Розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість.pdf
#
27.04.2021420.21 Кб1Розрахунок стрижнів при крученнi.pdf
#
27.04.2021314.72 Кб7Частина1.pdf
#
27.04.2021302.3 Кб2Частина2.pdf
#
27.04.2021367.64 Кб3Частина3.pdf
#
27.04.2021467.05 Кб1Частина4.pdf
#
27.04.2021352.49 Кб2Частина5.pdf