11. Дифракция Френеля от простейших преград

Дифракция света- явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий.

а) Дифракция от круглого отверстия

Поставим на пути сфериче­ской световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем круг­лым отверстием радиуса  . Расположим экран так, чтобы перпен­дикуляр, опущенный из источника света , попал в центр отверстия (рис.3.3. 6). На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку . При радиусе отверстия , значительно меньшем, чем указанные на рисунке длины  и , длину  можно считать равной расстоянию от источника  до преграды, а длину - расстоянию от преграды до точки  . Если расстояния и удовлетворяют соотношению:

где  - целое число, то отверстие оставит открытыми ровно первых зон Френеля, построенных для точки  .

Число открытых зон Френеля определяется выражением

Амплитуда в точке  будет равна

Перед  берется знак плюс, если нечетное, и минус, если чет­ное. Положив выражения в скобках равными нулю, придем к формулам

m нечетное

m четное

Амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы. Поэтому можно заменить через

В результате получится

Картина дифракции на круглом отверстии: 1-отверстие открывает нечетное число зон, в центре - свет, 2- отверстие открывает четное число зон, в центре - темнота.

б) Дифракция от круглого диска

Поместим между источником света  и точкой наблюдения непрозрачный круглый диск радиуса  (рис.3.3.8). Если диск закроет

первых зон Френеля, амплитуда в точке  будет равна

Выражения, стоящие в скобках, можно положить равными 0, значит

Картина дифракции на круглом диске: Светлое пятно в центре- пятно Пуассона

12. Дифракция Френеля на полуплоскости. Спираль Корню.

Поместим на пути световой волны (которую для простоты будем считать плоской) непрозрачную полуплоскость с прямолинейным краем. Расположим эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. На расстоянии  за полуплоскостью поставим параллельный ей экран, на котором возьмем точку  (рис. 3.3.9). Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны, имеющие вид очень узких прямолинейных полосок, парал­лельных краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точки  до краев любой зоны отличались на одинаковую величину  . При этом условии колебания, создаваемые в точке  соседними зонами, бу­дут отличаться по фазе на постоянную величину.

Зонам, расположенным справа от точки  , припишем номера1, 2, 3 и т. д., расположенным слева - номера 1', 2', 3' и т. д. Зоны с номерами  и имеют одинаковую ширину и расположе­ны относительно точки симметрично. Поэтому создаваемые имив  колебания совпадают по амплитуде и по фазе.

Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны , оценим площади зон. Из рис. 3.3.10 видно, что суммарная ширина первых  зон равна

 Вследствие узости зон . Поэтому при не очень больших квадратичным членом под корнем можно пренебречь. Тогда .

Положив в этой формуле  , получим, что . Следовательно, выражению для суммарной ширины первых зон можно придать вид

.

Отсюда .

Расчет по последней формуле дает, что В таких же соотношениях находятся и площади зон.

Из последнего соотношения вытекает, что амплитуда колебаний, создаваемых в точке  отдельными зонами, в начале (для первых зон) убывает очень быстро, затем это убывание становится медленным. По этой причине ломаная линия, получающаяся при графическом сложе­нии колебаний, возбуждаемых прямолинейными зонами, идет сна­чала более полого, чем в случае кольцевых зон (площади которых при аналогичном построении примерно равны). На рис. 3.3.11 со­поставлены обе векторные диаграммы. В обоих случаях отставание по фазе каждого следующего колебания взято одним и тем же.

Значение амплитуды для кольцевых зон (рис.3.3.11, а) принято постоянным, а для прямолинейных зон (рис.3.3.11, б) - убываю­щим в соответствии с последним соотношением. Графики на рис.3.3.11 являются приближенными. При точном построении графиков нуж­но учитывать зависимость амплитуды от  и .Однако на общем характере диаграмм это не отразится.

На рис.3.3.11, б показаны только колебания, обусловленные зонами, лежащими справа от точки . Зоны с номерами и расположены симметрично относительно  .

Поэтому естественно при построении диаграммы векторы, изображающие соответст­вующие этим зонам колебания, располагать симметрично относи­тельно начала координат  (рис.3.3.12). Если ширину зон устре­мить к нулю, ломаная линия, изображенная на рис. 3.3.12, превра­тится в плавную кривую (рис. 3.3.13), которая называется спи­ралью Корню.

У равнение спирали Корню в параметрической форме

Эти интегралы называются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разных  .

Смысл параметра   заключается в том, что  дает длину дугикривой Корню, измеряемую от начала координат.

Числа, отмеченные вдоль кривой на рис. 3.3.13, дают значения параметра  . Точки  и , к которым асимптотически приближа­ется кривая при стремлении   к  и , называются фоку­сами или полюсами спирали Корню. Их координаты равны

для точки F1

для точки F2

Правый завиток спирали (участок  ) соответствует зонам, рас­положенным справа от точки  , левый завиток (участок ) -зонам, расположенным слева от точки  .

Найдем производную  в точке кривой, отвечающей дан­ному значению параметра  . Приращению   на  соответствует

Следовательно,  . Вместе с тем , где - угол наклона касательной к кривой в данной точке. Таким образом, .

Отсюда следует, что в точке, отвечающей  , касательная к кри­вой Корню перпендикулярна к оси  . При угол равен ,так что касательная параллельна оси  . При угол равен , так что касательная снова перпендикулярна к оси  , и т. д.

Спираль Корню дает возможность найти амплитуду светового колебания в любой точке экрана. Положение точки будем характе­ризовать координатой  , отсчитываемой от границы геометрической тени (см. рис. 3.3.9).Для точки  , лежащей на границе геометриче­ской тени  , все штрихованные зоны будут закрыты. Колеба­ниям от не штрихованных зон соответствует правый завиток спи­рали. Следовательно, результирующее колебание изобразится век­тором, начало которого находится в точке , а конец - в точке (рис. 3.3.14, а). При смещении точки в область геометрической тени полуплоскость закрывает все большее число не штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении полюса F₁ (рис. 3.3.14, б). В ре­зультате амплитуда колебания монотонно стремится к нулю.

Если точка  смещается от границы геометрической тени впра­во, в дополнение к не штрихованным зонам открывается все возрас­тающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирую­щего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсу  . При этом амплитуда проходит через ряд максимумов(первый из них равен длине отрезка  на рис.3.3.14, в) и минимумов (первый из них равен длине отрезка  на рис. 3.3.14, г).При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка  (рис. 3.3.14, д), т. е. ровно в два раза превыша­ет амплитуду на границе геометрической тени (см. рис. 3.3.14, а). Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет 1/4 интенсивности  , получающейся на экране в отсут­ствие преград.

Зависимость интенсивности света  от координаты дана нарис. 3.3.15. При переходе в область геомет­рической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени распо­ложен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности.