Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B
.pdf
|
Модель поляга¹ в тому, що матричнi елементи оператора збу- |
||
|
ííÿ (äèâ. [20 ) |
|
|
решта |
|
V0n = Vn0 = U 6= 0, |
|
Випишемо рiвняння для Vmn = 0. |
|||
|
|
|
Cn ïðè n = 0, |
|
|
|
N |
|
|
(0) |
X |
|
також рiвняння, коли |
||
à |
|
E0 |
− E C0 + U m=1 Cm = 0, |
n 6= 0,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з якого ма¹мо |
En(0) − E |
Cn + U C0 = 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U C0 |
|
|
|
|
|
|
Тепер |
iз попереднього |
рiвняння |
äëÿ |
(0) . |
|
|
|
|||||||
|
|
Cn = |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
E − En |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn ïðè n = 0 отриму¹мо |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
X − |
|
|
|
|||
Уведемо густину станiвE − E0 |
= U 2 |
m=1 |
E |
|
Em(0) |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
постiйною величиною в межах |
|
|
ρ (äèâ. рис. 45), вибравши ¨¨ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
||
i перепишемо наше рiвнянняρ(E) = òàê:δ(E − Em(0)) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
m=1 |
Z−∞ E − E |
|
|
||||||
|
|
− |
|
0 |
|
|
|
E |
||||||
|
|
|
|
(0) |
|
|
2 |
∞ |
ρ |
E |
) |
|
|
|
Змоделюймо теперE густинуE =ñòàíiâU |
|
|
|
d . |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
нулевi поза ними: |
|
|
|
|
|
E0(0) − |
≤ E ≤ E0(0) + i ðiâíîþ |
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
E0(0)+Δ |
|
|
|
|
||
422 |
Z−∞ |
ρ( ) d |
= ρ |
ZE0(0)− |
|
d = 2ρ . |
||||||||
|
E |
E |
|
|
|
E |
|
|
||||||
|
|
|
ис. 45. Модель густини станiв. |
|
|
|
|
|||||||||||||
З iншого боку, за означенням, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
||
Îòæå, |
−∞ |
|
X |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 = N. |
||||||
Z ∞ |
ρ(E) dE = n=1 Z |
∞ |
δ |
E − En(0) |
dE = n=1 |
|||||||||||||||
|
N = 2ρ |
, àáî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепер |
|
|
|
|
|
ρ = |
N |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2Δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(0) |
|
U |
2N |
E0(0)+Δ |
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||
величиниIнте ру¹мо |
i отриму¹моE E |
òðà= íñöåндентне р |
|
|
E . |
|
||||||||||||||
|
− |
0 |
|
|
|
ZE0(0)− |
|
|
iâíÿííÿ äëÿ íåâiäîìî¨ |
|||||||||||
|
|
|
|
2Δ |
|
E − E |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
E: |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
|
+ |
|
|
|||||||
|
|
|
(0) |
|
U 2N |
|
E |
− |
E(0) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
E − E0 |
= − 2Δ |
ln |
|
− |
|
0 |
|
− |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
||||||||||
Звiдси знайдемо найнижче çíà÷åííÿ åíåð i¨ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êîëè |
|||
|
|
|
|
|
E − E0(0) − . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
423 |
|||||
Îòæå,
= |
U 2N |
ln |
|
−2Δ |
|
Очевидно, |
|||
|
|
E − E0(0) + |
λ |
||||||
збуреньимиезульзбуренняE |
|
|
|
||||||
|
2Δ |
|
! |
|
|
||||
дезвiдкионстанта вза¹модi¨E |
E(0) = |
− − |
2Δe−1/λ, |
|
|
||||
− |
0 |
|
|
|
|
|
|||
Миi¨ отримали цiкавий резульλàòè= |
U 2N |
|
|
|
|
||||
|
неаналiтичну. |
залеж iсть енер- |
|||||||
|
|
|
|
|
2Δ2 |
|
|
|
|
нокБКШ)електронiвтьсра Модель,станаминашо¨моделi.атПонижензалежнiстьелеяяку¹мо-надпровiдникнульдежШрединомiннимияонно¨ивоово¨евiдерзглянули,одержзадаконстантивза¹моераi¨вiдоснчi.Барнуля(iдi¨вногоколивсiдiназвичайнимядкучастотвза¹модi¨лишевониматричнiКуператвоенеранувнiженнязастосуванняммоделiосновним.Шрiмiжелементикуперiвськихсобою),БКШератемператуоператоза(мозбущостосутеорi¨рахудельма¹жцейр-
àêó æ |
ер i¹ювiдзв'язкуонстантипор зв'язку тично¨ щiлини |
||
шли. Причому |
ωD |
|
λ, яку ми щойно знай |
куперiвськiногопар, |
, äå |
ωD |
|
рiв'язкуабсолютногоякiзаряду.Тпри.пари,iяннiIзйпiдвищеннямнуляспостерiгпринадпровiдннетемпературiа¹тьсясприйбезутратнийаютьпературицеенерсукупнiстьДебаятепловийi¨траме. шо¨,споПринадпровiднiстькрухнiжперiвськихелектричрозрива¹енерiя-
зникдженими,а¹озглянемо.Ÿтобто50. Теорiянезбуренурiвнюенерзбуреньсистемуi¨ випадку, енер етичвиродження−i1/λðiâíi ÿêî¨ ¹ âèðî
Tc = 2Δe
êöiÿ, à äåêiëüêà: |
|
En(0) |
âiäïîâiä๠íе одна власна ун- |
|
|
ˆ |
(0) |
(0) |
(0) |
424 |
H0 |
ψn,α = En |
ψn,α, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дезагалiдругийкажучи,iндексзалежитьстану α =âiä1,квантового. . . , s. Кратнiчиñлать виродження s |
||||||||||||||||||||||
ó т орi¨ атомаквантовогодню енер iя |
|
|
|
|
n. Наприклад, |
|||||||||||||||||
ãî |
овного |
|
|
|
числа |
|
|
|
En(0) |
= −me4/2~2n2 залежить вiд |
||||||||||||
çàëåæàòü íå ëèøå âiä |
|
|
|
n = 1, 2, . .ального., хвильовi ункцi¨ ψ |
0) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n,l,m |
||||||||
кв нтових чисел, |
n, |
|
|
é âiä îðáiò |
|
|
l та магнiтного m |
|||||||||||||||
óðàЗбурехуван |
няспiну електро . |
|
|
вироджрозщепленняs = n |
2 (áåç |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α = (l, m . Кратнiс |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
завданняприводитизадачi. знайтиВихдолiнiйно¨частковогодимоцерiвнянняабоповногоШрединенерзняттяетичера- |
||||||||||||||||
íèродженняхрiвнiвдля.НашеV збурено¨мож |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Зобразимо ункцiю |
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(H0 |
+ V )ψ = Eψ. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
що вiдповiдають енерψ i¨у виглядi |
|
êîìáiíàöi¨ |
s óíêöié, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
En(0) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хвильово¨ ункцi¨, |
скiльки сукупнiсть |
|||||||||||||
лЦеше¹наближений виглядψ = |
|
Cαψn,α. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðîiíòåâ s |
óíêöié |
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ψn,α |
|
|
|
|
ðа,ю¹iцi¹нтiвпомнопов жимогонабéîãîру. Пiдставимозлiвана цей |
||||||||||||||
è |
з у рiвнярiвнянняШрединнеутвоое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
çíàйдемору¹мо |
|
|
|
|
|
|
|
вiд яких залежрозкл тьду |
|
|
|
|
ψ |
(0) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
за змiнними,дляк |
|
|
|
|
|
|
|
хвильовi |
|
óíêöi¨, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n,α′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cα: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де матричний елемент оператора збурення |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
α=1 h En |
|
− E δα′α |
+ Vα′ |
αi Cα |
= 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
йогУмîâîþ |
|
|
|
Vα′ |
α |
= Z |
(0) |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ψn,α′ |
V ψn,α dq. |
рiвняння ¹ рiвнiсть |
|||||||||||||||||
|
визнаетрчнèквiальногонулевi: розв'язку отриманогоˆ |
|||||||||||||||||||||
тут уведено позначення| −äëÿEδзсуву′ + Våíåð′ | =i¨ 0,
α α α α
E = E − En(0). |
425 |
якщонiМи отрималиого |
рiзними, |
|
E, êîðå |
|
ал ебра¨чне рiвняння s-го степеня для |
||||
ð âíiâ. |
E1, . . . Es |
|
|
|
|
Залежно вiд с метрi¨даютьоператорашуканерозщепленнязбурення енер |
етичних |
||
|
|
|
ˆ |
- |
жутьНаступчастковобутидеякiвсiкоренiий.крокрiвнiполяга¹тодiмiжвирособзнахдженняю,дженнiвирше джвнiстюкоеiцi¹нтiвVзнiма¹ться,,цiкоренiрозкладуабомоли
Cα ç ðiâíÿíня для них з урахуванням умови нормування
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
Покладаючи |
|
|
|Cα|2 = 1. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
α=1 |
|
|
|
|
|
|
|
óíêöiþ, ç èõ |
рiвнянь |
знаходимо |
Cα = Cα(ΔE1) |
||||
i вiдповiдну хвильовуE = E1 |
X |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
Послiдовно |
продовжу¹мо цю процедуру i, нарештi, |
поклада чи |
|||||||
|
ψ1 |
= |
Cα(ΔE1) ψn,α. |
|
|||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
E = Es, çíàõ äèìî Cα = Cα(ΔEs) i s-ту хвильову ункцiþ |
|||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
алисьдженняiз хвильоспершохвильовiовимиiлькиу повиннiнаближеннiдномуункцiямиправильнимирiв¨ ну.юнезбуреНагадаенеровогоi¨ |
||||||
¹мо,о¨Поставленазадачiщопри.яУпростовiдсутностiвипадкузадачазбiгψвиродження,розв'язана= C (ΔE ) ψ . |
|
|
|||||||
|
|
s |
|
|
α |
s |
n,α |
|
|
α
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
поменервомусу |
|
|
|
|
|
|
|
íóöi¹þ |
|
|
|
|
тилiнiйнаьдохвильувагихвильовкомбiнацiявсiих ункцi¨ункцiй,наближтцi¨.опису¹Згiдно станзпринцз |
|
|
||||
|
óíêöiÿìèайденi |
|
|
|
|
|
||
|
âç |
|
|
|
|
|
|
|
аближеннi.вiдповiдаюОже,¨хн |
|
|
|
|
|
|
||
íi¹þ |
|
|
s |
|
|
|
|
|
перпозицi¨, |
|
|
|
|
|
|
|
|
En |
|
|
|
|
|
|
|
|
можнахвильовимиЯк |
|
|
|
|
ψ1, . . . , ψs |
|
|
|
теперприкладрозðозглянемоаховуватинульовогоповиправдок двищогоокенняпор.огоНаядку¹(цих. ункцiях |
||||||||
дження. Для зсуву енер i¨ |
|
|
s = 2) âèðî- |
|||||
|
|
|
E ìà¹ìî ê àäðàòíе iвняння: |
|
||||
426 |
|
− E + V11 |
− |
V12 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V21 |
|
E + V22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
коренi якого
|
|
|
V11 + V22 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
Система рiвнянь дëÿ êîå iöi¹íòiв розкладу 2 |
|
||||||||||||||||||
|
E1,2 |
= |
2 |
|
|
|
± |
2 p(V11 − V22) + 4|V12| . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cα ма¹ такий вигляд: |
|||||||
|
|
|
(V11 − E)C1 + V12C2 = 0, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
V21C1 + (V22 − E)C2 = 0, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|C2| |
2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|C1| + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
З другого рiвняння знаходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тепер iз третього рiвняння |
|
|
|
V21 |
|
|
|
|
|||||||||||
−V22 − E C1. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
C2 = |
|
|
|
|||||||||||||
Îòæå, ìà¹ìî: |
|C1|2 = |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 + |V12|2/(V22 − E)2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
C1 = ± |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 + |V12|2/(V22 − E)2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V21 |
|
|
|
|||||
озгляньмооператдлярапростотизбуреннявипадок,дорiвнюютьколинулевi:дiагональнi м |
атричнi еле- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
менти |
C2 = (V22 − |
E)p1 + |V12|2/(V22 − |
E)2 . |
||||||||||||||||
зсуву енер i¨ îтрима¹мо |
|
|
|
|
|
|
V11 = V22 = 0. Äëÿ |
||||||||||||
Тепер при |
|
|
|
|
|
E1,2 = ±|V12|. |
|
|
|
||||||||||
|
E = |
E1 = |V12| знаходимо |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
C1 |
= ±√2 |
, |
|
|
|
C2 = ±|V12| √2. |
427 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
V21 |
|
|
|
|
|
||||
Припустимо, що матричнi елåменти оператоðа збурень ¹ дiйсними
величинами i V12 < 0, òîäi
|
|
C1 |
= 1 , |
|
C2 = |
1 |
|
||||||
i правильна хвильова |
ункцiя нульового наближення |
||||||||||||
√2 |
|
|
−√2 |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
(0) |
(0) |
|
|
|
||
ßêùî |
ψ1 = √ |
|
|
|
|
ψn1 − ψn2 . |
|
||||||
2 |
|
||||||||||||
|
E = E2 = −|V12|, òî |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
а хвильова ункцiя |
C1 = √ |
|
, |
C2 = |
√ |
|
, |
|
|||||
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
(0) |
(0) |
|
|
|
||
|
двомаЦi.тЕвирази¨:ект.стамолекулярнийíàШтаркабулими виписанiвикористанiв атомiйон водню,ормуливоднюв Ÿ3 длямолекуладаютьiлюстрацi¨точнийети- |
||||||||||||
|
ií |
||||||||||||
лену,принципурозв'язокДляявищесистемзадачiсуперпозицбиттяŸ 51iз. ψ2 |
= √2 |
ψn1 + ψn2 . |
|
||||||||||
ìà |
Е ект Штарка це розщеплення |
нер тичних |
àòî- |
||||||||||
çîâíiøíüî |
|
|
|
|
|
|
|
ïîëi. |
5 |
атомрiвнiв дню |
|||
Виберемозовнiшн¹ пос |
|
|
|
|
електричнеак, щоб вНакладемоктпрнапруженiстюполем. |
||||||||
|
системуiйне електричномуднорiднединат |
|
|
|
|
E |
|||||||
уздовж осi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E áóâ |
апрямлений |
|
|
z. Операт |
енер i¨ вза¹модi¨ атома iз зовнiшнiм |
|||||||||||
ˆ −
де електричний дипольний моментV = dEатома,
(1905завiдував428Вплив1958),канеоднорiднихякийедроюпрацювавтеоретично¨полiвуdнаЛьвiвському=атомнieiçèêèr = спектри.−|eунiверситетi| r, дослiджувавй1946В.С.1958Мiлiянчукроках
аричнийr радiусквадрупольний-вектор електронавищi. Тутмоментими неатомаберемо. Отже,до увагиоператорелект-
дорiвнюють нулевi: θ. I âçàãàëi, ñóíêöi¨дiагональнi матричнi елеме ти |
|||||
|
|
ˆ |
|
|
|
де полярний кут V = |e|rE = |e|Ez = |e|rE cos θ, |
|
||||
ченняполярнотрза çàìiíi r |
(−r) |
|
|
|
|
воднюозраху¹мо першуθ цепопркут вкумiждовiссюнерz i¨радiуосновного-векторомстану rатома. |
|||||
|
4 |
2 , розглядаючи опåратор ˆ |
|
||
(−me /2~ |
) |
|
V як збурення: |
|
|
óò |
E0(1) = h1, 0, 0|Vˆ |1 0 0 = Z |
ψ12,0,0(r)|e|rE dr, |
|
||
|n, l, m |
= ψn,l,m |
|
|
|
|
òщои, прищоперша поправкахвильовiдорiвню¹ нулевi.атомаЦевидноводнюхоча.Легкбиовезбачитого, |
|||||
|
|
|
|
|
- |
èìу¹мокутомнапри iнтеонаруваннiзмiню¹ знаксеричнiй.Формальносистемiнульоордизнаат |
|||||
|
|
ˆ |
пропорцiйний |
- |
|
джпмiннОтжьслякеннятобтоцього,å.для,Цейвiдвихенератомiвзсувнуляпропорцiйнимквадратичнийдить,акетичнихенерзвалише.Виняткщоетичнихрозщепленняврiвнiв,другому¹ рiвнiв,атомспостерiга¹мопорядкуводню,енераенапружектеорi¨ичнихякому,лiнiйнийШтаркеностiзбуреньрiвнiввнаслiдокелектричногоенапруженосспостерiга¹атомiвект¹,внаслiШтарвировiд |
|||||
êà, |
|
hn, l, m|V |
|n, l, m |
= 0. |
|
водню,E. озглянемо,колиголовнедляприкладуквантое |
числоперший збуджений рiвень атома |
||||
тепер вiдповiдають чотири хвильовi nóíêöi¨:= 2. Åíåð i¨ (−me4/8~2)
|1i = ψ2,0,0, |2i = ψ2,1,0,
|
ïîòðiáíi|3i =äëÿψ2,1,−1, |
|4i = ψ2,1,1. |
|
|
елемеозрахути¹мо |
|
розв'язку секуляр о¨ задачiористовуюмачнi |
||
÷è íiøåVприйнятiα′α операторавтеорi¨збуренняатома воднюнацихпознастанахчення,.Викзнах |
äèìî- |
|||
hn, l′, m′|Vˆ |n, l, mi |
= |e| E Z0 |
∞ Rn,l′(r)rRn,l(r)r2dr |
429 |
|
Zπ
×Θl′,m′(θ) cos θ Θl,m(θ) sin θ dθ
0
|
|
|
2π e−im′ϕ eimϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Символ Кронекера |
× |
Z0 |
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
dϕ = const × δm′,m. |
||||||||||||||||
|
2π |
|
|
2π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
δm′,m да¹ iнте рування за азимутальним кутом |
||||||||||||||||||||||||||
, âíàñ |
iдок чого з усiх матричних елементiв |
Vα′α |
|
вiдмiнними вiд |
||||||||||||||||||||||||
íóëÿ ¹ ëèøå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ϕ |
матриця |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V12 |
V21: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким чином,V12 = V21 =оператораh1|V |2i =збуренняh2, 0, 0|V |ìà¹2, 1,такий0i. вигляд: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
V12 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Матричний елементVˆ = |
V21 |
0 |
|
0 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
V12 легко розрахувати: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
V12 = |e|E Z0∞ R2,0(r)rR2,1(r)r2 dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
× Z0 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Θ0,0(θ) cos θ Θ1,0(θ) sin θ dθ Z0 |
|
|
2π dϕ. |
||||||||||||||||||||||||
Ìà¹ìî iíòå ðàëè: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z0 |
∞ |
|
|
|
|
aB |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|||||||
R2,0(r)rR2,1(r)r2dr = |
|
4√ |
|
|
|
Z0 |
e−ρρ4 1 − |
|
|
|
dρ |
|||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
aB |
|
|
|
5! |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= |
|
4√ |
|
|
|
4! − |
|
|
−3√3aB, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
Îòæå, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z0 Θ0,0(θ) cos θ Θ1,0(θ) sin θ dθ = |
2 |
|
sin θ cos |
|
|
θ dθ = √3 . |
||||||||||||||||||||||
430 |
|
V12 = −3|e| EaB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Запишемо секулярне рiвняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
äëÿ |
|
|
|
|
− E |
− |
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V12 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
E |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V21 |
|
E |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
озкриваючизсувуенервизначник,i¨ Випишемознахдимо рiвняння четвертого порядку |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
− |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ±|V12|, |
ðîçâ'ÿçêè: |
|
|
|
|
|
|||||
ßê |
|
|
|
|
|
|
E1,2 |
|
|
E3,4 |
= 0. |
|
|
|
|||||
|
Випишемобачимо,виродженнятеперрiвнянняз iма¹тьсядля коелишеiцi¹нтiвчастково. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cα: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− EC1 + V12C2 = 0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V21C1 − |
EC2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
òîãî, |
E E3 |
|
|
|
|
|
виплива¹, |
|
|
C1 |
C2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− EC3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
та умову нормування для них− EC4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Eäî= |
E4 |
= 0 Мiркування, |
|
|
|
|
||||||
Нехай |
|
|
|
|C1|2 + |C2 |
|2 + |
|C3 |
|2 + |
|C4 |
|2 |
= 1. |
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
=0. З рiвнянь |
|
|
|
ùî |
=0, |
|
|
=0. Êðiì |
||||||
|
|
покладемо |
|
|
=0, а з умови нормування ма¹мо |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
óíêöiÿ |
|
|
=1. Îòæå, |
||||||||||||
хвильова |
|
|
C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
||||
ðåäíiõ,¨éâiäïîâiä๠åíåð |
iÿ |
ψ3 = |3i = ψ2 1,−1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Нехай тепер |
|
|
|
E3 = −me4/8~2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
приводять хвильово¨. ункцi¨ |
|
|
аналогiчнi до попе- |
||||||||||||||
що опису¹ стан з такою жψ4åíåð= |4ii¹þ= ψ2,1,1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E4 = −me4/8~2. |
|
|
431 |
||||