5 Лекция 11 Переменное электромагнитное поле в диэлектрике
В переменном электромагнитном поле наблюдаются одновременно обе, рассмотренные ранее нами в отдельности, его стороны. Связь между ними дают первое и второе уравнения Максвелла – закон полного тока и закон электромагнитной индукции:
, 
.
Анализируя переменное электромагнитное поле в диэлектрике, считаем диэлектрик идеальным (=0) и предполагаем отсутствие в нем объемных зарядов (=0). Тогда:
Запишем оба уравнения в проекциях на оси декартовой системы координат:
Рассмотрим случай плоско поляризованной электромагнитной волны, в которой все характеризующие ее величины зависят только от одной из координат (z), а от остальных координат (x, y) не зависят. Такой характер имеют электромагнитные волны, излучаемые антенной, на больших (z>>) расстояниях от антенны, где - длина электромагнитной волны в диэлектрике. Часто такую волну называют плоской.
В плоской электромагнитной волне производные от любых проекций векторов поля по координатам x и y равны нулю, поэтому система уравнений упрощается и принимает вид:
Из последних уравнений каждой системы ввиду равенства нулю производных получаем, что проекции векторов Ez и Hz не зависят от времени: Ez=const и Hz=const. Принимаем их равными нулю, так как переменное поле, излученное антенной, не содержит постоянных составляющих. Кроме того, мы уже рассматривали ранее постоянные электрические и магнитные поля, и в случае необходимости можем, если потребуется учесть их вместе с переменным полем, применив принцип наложения.
Рассматривая оставшиеся четыре уравнения для проекций, направим ось x декартовой системы координат вдоль вектора напряженности электрического поля (Ey=0). В этом случае остается единственная составляющая вектора напряженности электрического поля: E=Ex. В этом случае уравнения еще больше упрощаются:
Из полученных уравнений
следует, что 
,
т.е.
=const=0,
и при выбранном направлении осей координат, вектор напряженности магнитного поля имеет лишь единственную составляющую, направленную вдоль оси y: H=Hy. Это означает, что в плоско поляризованной электромагнитной волне в диэлектрике в любой точке векторы напряженности электрического и магнитного поля расположены взаимно перпендикулярно.
Н
айдем
решение системы двух оставшихся
уравнений:
Дифференцируя первое уравнение по времени, а второе по координате z, получим:
; 
,
откуда:
,
и обозначив
,
запишем уравнение для вектора напряженности
электрического поля, которое называется
волновым уравнением:
При рассмотрении режимов в цепях с распределенными параметрами нами были получены аналогичные уравнения для напряжения в произвольной точке линии без потерь, в которой координата x отсчитывается от начала линии:
.
Решение для волнового уравнения в линии мы получили в виде суммы прямой и обратной бегущих волн напряжения:
u = u + u = u/(x-vt) + u//(x+vt).
Решение для напряженности электрического поля запишем по аналогии:
Ex = E/(z-vt) + E//(z+vt).
Коэффициенты
и
в обоих уравнениях имеют одинаковые
размерности, так как в цепях с
распределенными параметрами эти
параметры задаются на единицу длины
линии:
[L] = [] = Гн/м; [C] = []= Ф/м
Выражение для волн тока в линии мы получали с помощью волнового сопротивления:
,
здесь через Z обозначено волновое сопротивление линии без потерь, которое по аналогии эквивалентно волновому сопротивлению идеального диэлектрика для электромагнитных волн:
.
Применив аналогичное преобразование для решения волнового уравнения относительно напряженности электрического поля, получим решения для напряженности магнитного поля:
.
Полученные решения означают, что векторы E и H в любой точке переменного электромагнитного поля взаимно перпендикулярны, связаны между собой через волновое сопротивление, а электромагнитные волны распространяются в диэлектрике со скоростью v, которая называется скоростью света и в пустоте равна:
В любых диэлектриках ≥0 и ≥0, поэтому скорость распространения электромагнитных волн в них меньше или равна скорости света в пустоте vc.
Волновое сопротивление, связывающее между собой напряженности электрического и магнитного поля в прямой и обратной волнах:
,
также зависит от свойств диэлектрика и для пустоты равно:
Ом
Для прямой (или обратной) волны в отдельности можем записать соотношение:
; 
; 
.
Это означает, что плотности энергии электрического и магнитного поля в любой точке для прямой (или обратной) электромагнитной волны равны друг другу:
.
Для электромагнитных волн в идеальном диэлектрике можно использовать по аналогии все ранее полученные соотношения для бегущих волн в однородной линии без потерь. В частности, справедливы формулы для определения отраженной и преломленной волн на границе диэлектриков с различными волновыми сопротивлениями. При этом соблюдаются все граничные условия для составляющих векторов напряженности электрического и магнитного поля. Вообще, решение волнового уравнения может быть получено, если заданы граничные и начальные условия для векторов.