§ 3. Cистемы трех уравнений

3.1. Теория и примеры

50 70 Докажем теорему Виета для случая многочлена

3-й степени. Пусть многочлен представлен в виде

и имеет вещественные корни 1, 2 и 3. Тогда его можно разложить в произведение линейных членов:

3 + 2 + + = ( − 1)( − 2)( − 3).

Раскроем скобки и приведем подобные:

( − 1)( − 2)( − 3) =

= 3 − ( 1 + 2 + 3) 2 + ( 1 2 + 1 3 + 2 3) − 1 2 3.

Приравняем коэффициенты при степенях :

Теорема 5 (теорема Виета). Если 1, 2 и 3 – корни многочлена (4), то их сумма равна коэффициенту при 2 с противоположным знаком, сумма попарных произведений – коэффициенту при , а произведение 1 2 3 – свободному члену с противоположным знаком (5).

Теорема 6 (обратная теорема Виета). Если перемен- ные 1, 2 и 3 удовлетворяют условиям (5), то они являются корнями многочлена (4).

Определение 7. Многочлен ( , , ) от трех переменных

, и будем называть симметрическим, если в результате любых перестановок входящих в него переменных , и получается многочлен, тождественный исходному.

Например, ( , , ) ≡ ( , , ). Следует обратить внимание на то, что симметричностью многочлен обладает только относительно заданного набора переменных. Так, многочлен + симметричен относительно и , но несимметричен относительно , и .

Как и в случае двух переменных, симметрическими мо-

гут быть не только многочлены, но и другие выражения,

2 + 2 + 2 √ √ √

например: + + , 2 + 2 + 2 , 2 + 2 + 2 . Определение 8. Выражение ( , , ) от трех перемен-

ных , и будем называть симметрическим, если

в результате любых перестановок входящих в него

56 Теория, примеры и задачи

переменных , и получается выражение, тождествен-

ное исходному.

Определение 9. Многочлены 1 = + + ,

2 = + + и 3 = – элементарные симметрические многочлены от переменных , и .

Приведем без доказательства две теоремы.

Теорема 6. Если в любом многочлене ( 1, 2, 3) вместо

1, 2 и 3 подставить соответственно + + , + +

и , то получится симметрический многочлен.

Теорема 7. Любой симметрический многочлен от , и

можно представить в виде многочлена от 1 = + + ,

2 = + + и 3 = . В частности:

+ + = 1,

Еще три полезных тождества:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 2 − 3 3,

2 2 + 2 2 + 2 2 = 22 − 2 1 3,

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12 2 − 2 22 − 1 3.

(7)

Определение 10. Уравнение, в которое входят только симметрические по заданному набору переменных выражения, будем называть симметрическим.

Пример 24.

+ + = −2,

+ + = −5,

= 6.

Решение. Согласно обратной теореме Виета , и долж-

ны быть корнями многочлена 3 + 2 2 −5 −6. Ищем целые

корни среди делителей свободного члена (−6). Подстанов-

ка показывает, что одним из корней будет 1 = −1. В таком случае наш многочлен должен без остатка делиться на + 1.

Найдем корни частного 2 + − 6 и запишем:

3 + 2 2 − 5 − 6 = ( + 1)( 2 + − 6) = ( + 1)( + 3)( − 2).

Таким образом, многочлен имеет три корня: 1 = −1,2 = −3 и 3 = 2. В силу симметричности системы уравнений, ее решениями будут все возможные перестановки этих значений: 1 = −1, 1 = −3, 1 = 2; 2 = −1, 2 = 2,2 = −3 и т. д.

Ответ: (−1; −3; 2), (−1; 2; −3), (−3; −1; 2), (−3; 2; −1),

(2; −1; −3), (2; −3; −1).

Пример 25.

+ + = 3,

+ + = 1,

= −2.

Решение: , и должны быть корнями многочлена3−3 2+ +2. Ищем целые корни среди делителей свободного члена 2. Подстановка показывает, что одним из корней будет 1 = 2. В таком случае наш многочлен должен без остатка делиться на ( − 2).

− 2 + − 2+2

− +2

− +2

0

( √ )( √ )

3 − 3 2 + + 2 = ( − 2) − 1 − 5 − 1 + 5 . 2 2

В силу симметричности системы уравнений, ее решениями

= = . Из условия + + = 3 следует = = = 1.

Ответ: (1; 1; 1).

Пример 27.

+ + = 6,

2 + 2 + 2 = 12,

4 + 4 + 4 = 48.

Применяя поочередную подстановку, находим 1, 2, 3.

Значения , и должны быть корнями многочлена

3 − 6 2 + 12 − 8 ( − 2)3 = 0. Три совпадающих корня. Следовательно, = = = 2.

Ответ: (2; 2; 2).

Пример 28.

+ + = 2,

( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) = 1,

2( + ) + 2( + ) + 2( + ) = −6.

Решение. Раскроем скобки во втором и третьем уравнениях системы и обратимся к формулам (6) и (7) на с. 56.

3 − 2 2 − 3 = ( 2 − 2 − 3) 1 = 0, 2 = −1, 3 = 3.

Ответ: (−1; 0; 3), (−1; 3; 0), (0; −1; 3), (0; 3; −1), (3; −1; 0),

(3; 0; −1).

Пример 29.

2 + 2 + 2 = 12,

+ + = 12.

Решение. Вычтем из левой части первого уравнения левую часть второго, соответственно – из правой правую.

2 + 2 + 2 − + + = 0,

+ + = 12.

Умножим левую и правую части первого уравнения на 2.

2 2 + 2 2 + 2 2 − 2 + 2 + 2 = 0

( 2 − 2 + 2) + ( 2 − 2 + 2) + ( 2 − 2 + 2) = 0

( − )2 + ( − )2 + ( − )2 = 0 = = . Подставив

Следующие три примера рассчитаны на «продвинутого» старшеклассника, дружащего с комплексными числами и производными.

Пример 31. Определить, при каких значениях параметров и система имеет ровно одно вещественное решение и найти это решение.

+ + = 3 ,

+ + = 3 ,

= 1.

Решение. Рассмотрим многочлен

Из теории известно, что многочлен 3-й степени может иметь один или три вещественных корня. Если вещественный корень один (два других комплексные), то система не имеет вещественных решений. Если многочлен имеет три вещественных корня: 1, 2 и 3, то решениями исход- ной системы уравнений будут тройки ( ; ; ), полученные из всех возможных перестановок 1, 2 и 3. В частности, если мы имеем три различных корня, система будет иметь 3! = 6 решений. Одно решение возможно только тогда,

А что если задать возмущение одного из параметров, т. е. изменить его на небольшую величину? Например, пусть= 1.001. Построим график уравнения с возмущенным

параметром: ( ) = 3 − 3 2 + 3 · 1.001 − 1. Окажется,

что он визуально неотличим от изображенного на рис. 7 и также пересекает ось абсцисс только в одной точке. Может, и в этом случае у системы будет единственное решение? Нет! Многочлен с возмущенным коэффициентом имеет один вещественный и два комплексных корня. При любом малом возмущении параметров и появляются комплексные корни, и потому система не имеет вещественного решения.

Пример 32. Определить, при каких значениях параметра система не имеет вещественных решений; имеет ровно три; ровно шесть вещественных решений.

+ + = −32 ,

+ + = −6,

= .

Решение. Решениями системы уравнений будут все вещественные тройки чисел ( ; ; ), являющиеся корнями мно-

гочлена ( ) = 3+ 32 2−6 − . Определим вспомогательный многочлен ( ) = 3 + 32 2 − 6 . Его график представлен на

рис. 8. Очевидно, ( ) = ( ) − .

Рис. 8. График многочлена ( )

Производная ′( ) = 3 2 − 3 − 6 = 3( − 2)( + 1). Отсюда

(−∞; −1) (2; +∞) – область возрастания функции; (−1; 2)

– область убывания функции; (−1) – точка максимума;

2 – точка минимума. График ( ) получается смещением графика ( ) вверх или вниз в зависимости от знака . На рис. 9а показан график функции ( ) − 3.5, а на рис. 9б – график функции ( ) + 10. Графики соответствуют случаям, когда ( ) имеет три вещественных корня, два из которых кратны (при = 3.5 или = −10). Тогда при

(−10; 3.5) ось пересечет график функции в трех точках – три различных корня, а при (−∞; −10) (3.5; +∞) – только один вещественный корень. Теперь мы можем сформулировать ответ.

Рис. 9. Графики многочленов: а) ( ) − 3.5; б) ( ) + 10

Ответ: при (−∞; −10) (3.5; +∞) система не имеет

вещественных решений; при = 3.5 и = −10 имеет ров-

но три вещественных решения; при (−10; 3.5) – ровно

шесть.

Пример 33. При каких значениях параметра система имеет ровно одно решение?

+ + = 3 ,

+ + = 6 ,

= 4 .

Решение. Решение будет единственным, если все три корня многочлена 3 −3 2 +6 −4 совпадают. В таком

Таким образом, возможны два случая: при = 0 существует единственное решение (0; 0; 0) и при = 2 – (2; 2; 2).

Ответ: = 0 и = 2.

Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени. Так, для корней многочлена четвертой степени

4 + 3 + 2 + + = ( − 1)( − 2)( − 3)( − 4)

имеют место равенства:

Предоставляем читателю возможность самому определить принцип построения таких систем уравнений.