Добавил:

KOT3_TWO Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петрозаводский Государственный Университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Симметрические уравнения.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2021

Размер:

663.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Теория, примеры и задачи

§ 1. Системы двух уравнений

1.1. Теория и примеры

4 35 Вспомним теорему Виета. Еще древние греки применяли ее для нахождения корней квадратного трехчлена. Но греки находили корни геометрически, с циркулем и линейкой. Нас же сейчас интересуют алгебраические методы. Пусть квадратный трехчлен представлен в виде

2 + +

(1)

и имеет вещественные корни 1 и 2. Тогда его можно разложить в произведение двух линейных членов:

2 + + = ( − 1)( − 2).

Раскроем скобки и приведем подобные:

( − 1)( − 2) = 2 − ( 1 + 2) + 1 2.

Таким образом,	1	+ 2 = − ,		(2)
	1	·	2 = .
		·

8 Теория, примеры и задачи

Теорема 1 (теорема Виета). Если 1 и 2 – корни квад- ратного трехчлена (1), то их сумма равна коэффициенту при с противоположным знаком, а произведение – свободному члену (2).

Теорема 2 (обратная теорема Виета). Если перемен- ные 1 и 2 удовлетворяют условиям (2), то они являются корнями квадратного трехчлена (1).

Прямая теорема иногда помогает нам угадать корни квадратного трехчлена. Например, только взглянув на выражение 2 − 5 + 6, мы можем сказать, что 1 = 2 и 2 = 3. Аналогично мы видим корни трехчлена 2 − 5 − 6. Это1 = −1 и 2 = 6. Обратная теорема позволяет свести процесс решения системы вида

+ = ,

к нахождению корней одного уравнения.

· =

Дадим системе геометрическую интерпретацию. График первого уравнения – прямая, второго – гипербола. Возможны три случая: графики имеют две точки пересечения, одну или не пересекаются. На рис. 1 приведен пример для = 1. Cистема уравнений имеет два решения,

одно решение или не имеет решений, когда принимает значения 3, 2 и 1 соответственно. Координаты ( ; )

§ 1. Системы двух уравнений	9

Рис. 1. Графики уравнений: два решения ( = 3); одно решение ( = 2); нет решений ( = 1)

точек пересечения графиков будут корнями квадратного трехчлена 2 − · + .

Пример 1.

+ = 5,

= 6.

Решение. Мы могли бы сразу угадать ответ.

Ответ:	= 2,	и	= 3,
	= 3,		= 2.

Но тогда нас попросят обосновать отсутствие других решений. Легко! Обратная теорема Виета утверждает, что значения и , удовлетворяющие условию задачи, долж-

ны быть корнями квадратного трехчлена 2 − 5 + 6, а он

имеет только два корня: 1 = 2 и 2 = 3. В следующем примере угадать решения не удастся.

10	Теория, примеры и задачи

Пример 2.

+ = 3,

= −1.

Решение. Найдем корни треxчлена 2 −3 −1. Дискрими-

нант = 9 + 4 = 13. Значит,

	√			√
1 =	3 − 13	,	2 =	3 + 13	.

	2			2

Теперь можно записать ответ.

Ответ:

√

3+√13

√13

3−2 13

3+ 13

−2

Поскольку

решениями системы уравнений с двумя неиз-

вестными являются пары значений и , которые интерпретируются как координаты точек на плоскости, в даль-

нейшем

мы

будем

записывать ответ

в виде

(

√

)

(

√

)

3−2

;

3−2

Пример 3.

+ = 3√

= √

+ 1.

Решение.

Найдем

корни квадратного

трехчлена

√

− 3 2 +

6 + 1

= 18 − 4 6 − 4 = 14 − 4 6

§ 1. Системы двух уравнений	11

Никто не осудил бы нас, если бы мы записали:

√ √ √

1,2 = 3 2 ± 14 − 4 6 2

и на том остановились. Однако попробуем представить

√

как полный квадрат:

√

14 − 4 6

− 4 6 = (

2 − 3)

Преобразуем правую часть равенства

√

+ 3

√

14 − 4 6 = 2

− 2 6.

Подберем такие и , чтобы выполнялись условия:

= 4

+ 3

= 14.

Подходит

= 1

. Тогда

√

= 2

= (2 3 − 2)

√

. Отсюда

= 2 3 −

1 = 2 2 −

= 2 + 3

√

Ответ:

(

2 − 3;

2 +

) ( 2

, а в

2 −

)

2 +

3; 2

3 .

Вывод: если получили =

3√

2+√

14−4√

задачнике дан

√

ответ

это

еще

не

значит,

что

вы

2 +

3√

2+√

√

14−4√

ошиблись. Просто

= 2 +

12	Теория, примеры и задачи

Пример 4 (первая Московская математическая олимпиада, 1936). Сколько действительных решений

имеет система
	+ = 2,
	− 2 = 1?

Решение. При каждом фиксированном мы имеем сим-

метричную относительно и систему уравнений

+ = 2,

2 − 2 + 1 + 2. /4 = − 2.

= 1 + 2.

/4 ≥ 0 только при = 0. Тогда квадратный трехчлен2 − 2 + 1 имеет два совпадающих корня: 1 = 2 = 1. Единственное решение: = = 1, = 0.

Ответ: одно решение.

Определение 1. Многочлен ( , ) от двух переменных

и будем называть симметрическим, если

( , ) ≡ ( , ).

Это значит, что если в многочлене поменять местами переменные, то мы получим многочлен, тождественный исходному. Симметрическими являются уже знакомые нам многочлены + и , а также 2 + 2, − 3 + ,

5 + 2 2 + 5 + 2 2 и т. д. Здесь мы акцентируем внимание

§ 1. Системы двух уравнений	13

на симметрических многочленах, но, конечно, симметрическими могут быть и другие выражения:

2 + 2	√2 + √2 , 2 + 2 . . .
6 + 2 + 6 ,

На этот случай сформулируем более общее определение. Определение 2. Выражение ( , ) от двух переменных

и будем называть симметрическим, если

( , ) ≡ ( , ).

Определение 3. Многочлены 1 = + и 2 = будем называть элементарными симметрическими.

Приведем без доказательства две теоремы, утверждения которых, возможно, многим покажутся очевидными. Теорема 3. Если в любом многочлене ( 1, 2) вместо 1

и 2 подставить соответственно + и , то получится

симметрический многочлен от и .

Теорема 4. Любой симметрический многочлен от и

можно представить в виде многочлена от + и .

Первая теорема дает нам метод конструирования симметрических многочленов. Вторая подсказывает подход к решению уравнений с такими многочленами.

Определение 4. Уравнение, в которое входят только симметрические выражения, будем называть симметрическим. Разумеется, определенный в этой книге вид симметрии

14	Теория, примеры и задачи

уравнений не единственно возможный.

Из теоремы 4, в частности, следует, что через 1 = + и 2 = можно выразить любой многочлен вида + ,

где – натуральное число. Ниже приведен ряд полезных

тождеств.

+ = 1,

2 + 2 = 12 − 2 2,3 + 3 = 13 − 3 1 2,

4 + 4 = 14 − 4 12 2 + 2 22,5 + 5 = 15 − 5 13 2 + 5 1 22,

6 + 6 = 16 − 6 14 2 + 9 12 22 − 2 23,7 + 7 = 17 − 7 15 2 + 14 13 22 − 7 1 23,

8 + 8 = 18 − 8 16 2 + 20 14 22 − 16 12 23 + 2 24,9 + 9 = 19 − 9 17 2 + 27 15 22 − 30 13 23 + 9 1 24,

10 + 10 = 110 −10 18 2 +35 16 22 −50 14 23 +25 12 24 −2 25.

(3)

Второе тождество ( 2 + 2 = 12 − 2 2) непосредственно следует из тождества 2 + 2 = ( + )2 − 2 . Умножим

его левую и правую части на + .

( 2 + 2)( + ) = ( 12 − 2 2)( + )

§ 1. Системы двух уравнений	15

3 + 3 + 2 + 2 = 13 − 2 1 2

3 + 3 = 13 − 2 1 2 − ( + ) = 13 − 3 1 2.

Также последовательно доказываются и остальные тождества (3).

Пример 5.

+ = 6,

2 + 2 = 20.

Решение:

= 6

= 6,

+ = 6,

( + )

−

2 = 20;

−

2 = 20;

= 8.

Ответ: (2; 4), (4; 2).

Пример 6.

+ + = 11,

2 + 2 = 30.

Решение:
+ + = 11,	Замена переменных:	+ = ,
( + ) = 30.		= .

Теория, примеры и задачи

+ = 11,

= 5,

2. = 6,

= 30.

= 6.

= 5.

+ = 5,

1.1.

= 2,

1.2.

= 3,

= 6.

= 3.

= 2.

+ = 6,

2.1.

= 1,

2.2.

= 5,

= 5.

= 1.

Ответ: (3; 2), (2; 3),

(5; 1).

(1; 5)

Пример 7.

= 4,

+ 2 = 17.

Решение:

4( + ) = 5 ,

( + )2

2 = 17;

= 17 + 2 ;

( + )2

−

5( + )2 = 85 + 10 ,

5( + )2 − 8( + ) = 85,

8( + ) =

10 ;

5 = 4( + ).

−

= + . Тогда

Пусть

первое уравнение в последней фи-

гурной скобке можно записать в виде

5 2

− 8 − 85 = 0.

§ 1. Системы двух уравнений

4 ± 21

/4 =

16 + 425 = 441,

21,

. Поскольку

√

, а

1,24

,5для

1 = − 5

= 5

( + )

= 5

= +

каждого корня получим систему уравнений:

+ = −17,

1. = −68, 5 где x и y – корни уравнения

2 +	17			68				0. (5 )2
			−			=						+ 17(5 ) − 68 = 0. Неизвест-
	5		−		25	=						+ 17(5 ) − 68 = 0. Неизвест-
																							√
ная величина здесь 5 . =													561. 5				=		−17 ±					561
ная величина здесь 5 . =													561. 5				=		−17 ±
				−17 ±			√									1,2					2
		=					561			. Таким образом, мы получили два

				10
1,2				10
решения:				(−17−10						10		)	и (−			10		; −						).
решения:				(−17−10				561 ; −		10		)	и (−			10		; −		17	−10			).
						√				17+√561						17+√561				17		√561
		2.		+ = 5,								решения (1; 4) и (4; 1).
				= 4.
								√			√								√						√
(1; 4) и (4; 1)(.							10			10				)		(		10						10		)
Ответ:						−17− 561 ; −17+						561			,		−17+			561 ; −17− 561						,
Пример 8.									8 + 8						41
												=			41	,

															128
									2 + 2			= 1.

18																		Теория, примеры и задачи

Решение:
( 4 + 4)2 − 2 4 4 =													41			,

														128			Повторим ту же процедуру:
2		+ 2		= 1.

	( 2 + 2)2						− 2 2 2			)		2		− 2 4			4	41
																		=		,
																		=	128	,		Так как 2+ 2 = 1,
(	2	+	2	= 1.
		+		= 1.
				2	2		2		4		4		41					4			4			2	2		87
(1 − 2						)		−	2				=				,	2				− 4				+		= 0,
(1 − 2						)		−	2				=		128		,	2				− 4				+	128	= 0,
2		+ 2		= 1;														2 + 2 = 1.
													2				2						2	− 4 +			87
Введем обозначение =																		. Тогда			2							= 0.
Введем обозначение =																		. Тогда			2						27	= 0.

(16 )2 − 32(16 ) + 87 = 0. Неизвестная величина здесь 16 .

/4 = 162			− 87 = 169 = 132. 16 1,2 = 16 ± 13
1 =	3	,	2 =	29	. Осталось рассмотреть две систе-
	16			16

мы уравнений, которые являются симметрическими отно- сительно 2 и 2. Последнее означает, что если ввести за-

мену переменных, например = 2, = 2, то получатся

системы, симметрические относительно и .

1.		16		1.1.		2	3	1.2.		2	1
	2 2 =	3	,		2		= 1 ,		2		= 3 ,
	2 + 2 = 1.				= 4 .				= 4 .
							4				4

§ 1. Системы двух уравнений														19

	2 2 =	29	,				29						29

2.		16		2	−	+		= 0.	= 1	−	4	·		< 0.

							16						16
	2 + 2	= 1.					16						16

Последняя система уравнений не имеет решения.
								√								√3								√3
					1					3			1										1
3			1	(	−2						1)	(3			;			)	,		3(		1		)
						3											1
Ответ:						; − 2					,		−2			2							2	; − 2 ,
(−	√	; −2 ),			(−		√		; 2 ),			(	√	; −2 ),					(	√		; 2 ).

	2						2						2							2

( √ )

12 ; 23 ,

Геометрический смысл последнего задания: найти координаты точек пересечения окружности 2 + 2 = 1 с кривой

8 + 8 = 12841 . Любопытства ради посмотрим, что же это за кривая (рис. 2). Уравнение + = при возраста-

Рис. 2. Графики к примеру 8

нии определяет фигуры, все более похожие на квадрат.

√

В нашем случае = 8 12841 ≈ 0.867.

20						Теория, примеры и задачи

Дружащий		с		тригонометрией			школьник увидит
в последнем		задании				подход к	решению	уравнения
cos8	+ sin8	=		41	. Если обозначить cos = , sin =

			128
и	учесть	главное				тригонометрическое		тождество
cos2	+ sin2 = 1, получим условия примера 7.

В следующем примере сведем уравнение с радикалами к

симметрической системе уравнений.

√

Пример 9. Решить уравнение

− 1 +

102 −

= 11

Решение.

Найдем

ОДЗ:

[1; 102].

Обозначим:

√

−

= 11,

+ = 11,

√

= 101;

( + )

2 = 101;

102

−

;

−

+ = 11,

1. = 1,

2. = 10,

= 10.

= 1.

= 2

= 101

первом случае получим

, во втором

Ответ: 1 = 2, 2 = 101. Пример 10.

+ + 4 = 6,

+ + | + |= 6.

Решение. Если + < 0, второе уравнение примет вид

0 = 6, и тогда система не имеет решения. Следовательно,

§ 1. Системы двух уравнений																			21

+ ≥ 0 и \| + \|= + .
+ + 4 = 6,											+		3					2	3 + 3 = 0.
													= 3,
+ = 3;									=						.			−	4
+ = 3;									=						.			−	4
													4					= 6. 2 1,2 = 3 ± √
(2 )2 − 6(2 ) + 3 =								0. /4 = 9 − 3										= 6. 2 1,2 = 3 ± √		6	.
	√
1,2 =	3± 6
2 .
Ответ: (		3−2√		;	3+√		),		(	3+√			;	3−2√			).
			6		3+√	6				3+√		6				6
					2					2						6

Пример 11.

3 + 3 + ( + ) = 13,

2 2( 2 + 2) = 468.

Решение:

( + )( 2 − + 2) + ( + ) = 13,

2 2( 2 + 2) = 468.


		2 2		2	2	2 2	(	2		2 2		= 468.
		( + )( 2 + 2) = 13,				2 2		2		+ 2)
(
(					+ ) = 468.	( + )(					+ )	13
									+ = ,
	2 2		=		36. Введем обозначения:
+			=		36. Введем обозначения:
+									= .

Теория, примеры и задачи

2 =236 ,

2 = 36 2,

(

− 2 ) = 468;

((36 ) − 2 · 36

) = 468 · 36 .

(

) = 13

36 = 0

−

363

−

2 3

−

3 .

Введем обозначение: = 3. Тогда

2 −2 ·362 −13 ·363 = 0.

1,2

= 1 296

1·

512

√

= 2 808.

216,

/4 = 364

+ 13

363

= 363

/4 = 63

· 7 = 1 512.

−

= 3 = √3

1 = −6,

2 = 6√3

1. 36 = 2,

= 1,

+ = 1,

−

= 6.

−

Откуда следуют два решения: (3; −2) и (−2; 3).

2. 36 =3 ,

= 13

+ = 131 ,

= 6√

= 6 · 133 ;

= 6 · 133 .

13;

ищем

как

корни уравнения

− 13 + 6 · 13

= 133

− 24 · 133

= 133 (13 − 24) < 0.

Решений нет.

Ответ: (3; −2) и (−2; 3).

Пример 12.

+ 2

= 49,

= 931.

§ 1. Системы двух уравнений				23

Решение:		2
2 + + 2	= 49,	2	+ + 2	= 49,

( 2 + 2)2 − ( )2 = 931; ( 2 + + 2)( 2 − + 2) = 931.

2	+ + 2 = 49,			+	2	= 34,	( + )	− 2 = 34,
2		2	2		2		2
	−	+ = 19;	= 15;				= 15.
	−

( + )2 = 64,	1.	+ = −8,	2.	+ = 8,
= 15.		= 15.		= 15.

Ответ: (3; 5), (5; 3), (−3; −5), (−5; −3).

Пример 13.

4 (			2					2
				+						) − 6			(		+			) = 2,
			2	+				2		) − 6			(		+			) = 2,
	2	+			2	= 5.
		+				= 5.

											2			2								2
Решение. Заметим, что												+				= (			+		)	− 2. Тогда
Решение. Заметим, что											2	+		2		= (			+		)	− 2. Тогда
первое уравнение примет вид
4 (		+							2	− 2)			− 6				+ = 2.
(							)		2
(							)									(				)

Теория, примеры и задачи

Пусть

= . После элементарных преобразований

= 02. Корни: 1 = −1, 2 = 25 .

получим:

4 2

− 6 − 10

Заметив, что

, рассмотрим два случая:

	2	+ 2		= −1,	2 + 2 = 5,			( + )2 = −5,
1.				= −1,	2 + 2 = 5,			( + )2 = −5,
	2	+	2	= 5;		=	5;		=	5.
		+		= 5;			−			−
							−			−

Поскольку квадрат вещественного числа не может быть отрицательной величиной, система не имеет решений.

	2	+ 2		=	5	,	2 + 2 = 5,		+ = ±3,

2.					2
	2	+	2	= 5;				= 2;		= 2.
		+		= 5;

Осталось воспользоваться теоремой Виета.

Ответ: (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).

Пример 14. Решить систему уравнений

8 + 8 + 4 + 4 = 274,

= 2.

§ 1. Системы двух уравнений																							25

Решение:					4+
		(	4		4+	) − 2								+	4		+			4	= 274
			4			4 2			4 4						4					4		,
					= 16.
				(			4+	4	)		+		4		+	4			− 306 = 0
				(		4	4+		)		+				+				− 306 = 0
						4				2												,
							= 16.

Обозначим = 4 + 4.												≥		0. 2				+			−	306 = 0. Заметим,
												≥									−
что 306 = 17 ·18. 1							= −18, 2 = 17. Отрицательный корень
отбрасываем. Тогда
4 4									2				17 + 16 = 0. 1 = 1,										2 = 16.
4	+ 4 = 17,
= 16.												−

4	= 1,	=	1,
1. 4	= 16;	=	±2.
			±

4	= 16,	=	2,
2. 4	= 1;	=	±1.
			±

Поскольку = 2, и должны иметь один знак.

Ответ: (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).

Исследуем три системы уравнений с параметром.

26	Теория, примеры и задачи

В общем случае решить систему с параметром – значит для любого значения параметра найти все решения системы или установить отсутствие решений. Но условия конкретной задачи, как в следующем примере, могут быть менее жесткими.

Пример 15 (ЕГЭ, 2020). Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

4 + 2 = 2,

2 + = | + 1|

имеет ровно четыре решения.

Решение. Введем обозначение 2 = . Теперь систему можно записать в виде

+ = + 1 ,						+ =	\|	+ 1 ,
2 + 2	=\| 2;			\|	( + )2		\|		2 \|= 2		;
							−
	2 \|			\|	2				\| 1	\|	,
+ =		+ 1 ,				+ = + 1					,
( + 1)	−		2 = ;			= + 2 .
	−

Поскольку каждому положительному значению соответствует два значения = ±√ , нам достаточно определить,

при каких значениях последняя система уравнений име-

§ 1. Системы двух уравнений	27

ет два положительных решения. Эти решения будем искать как корни квадратного трехчлена 2 −| + 1|· + + 12 .

= 2 + 2 + 1 − 4 − 2 = 2 − 2 − 1 = ( − 1)( − 2),
	= 1 ± √		.
где 1,2	= 1 ± √	2	.
1) При			√	√	получим	< 0	– трехчлен
	(1 − 2; 1 + 2)					< 0

не имеет вещественных корней;

√

2)при = 1± 2 трехчлен имеет два совпадающих корня;

√√

3) при (−∞; 1 − 2) (1 + 2; +∞) – два различных
корня 1,2 =	\| + 1\|±√	2 − 2 − 1	.
	2

Осталось исключить случаи, когда один из корней отрицателен или равен нулю.

	\| + 1\|+√
1 =	\| + 1\|+√	2 − 2 − 1	всегда неотрицателен, а также
1 =	2		всегда неотрицателен, а также
	2

не равен 0, так как выражения под модулем и под знаком

радикала одновременно в ноль не обращаются.

| + 1|−√

√

2 − 2 − 1

≤

+ 1

−

|≤

2 + 2 + 1 ≤ 2 − 2 − 1 ≤ −0, 5.

√

(−∞; 1 − 2) (1 + 2; +∞) (−∞; −0, 5] =

√

= (−0, 5; 1 − 2) (1 + 2; +∞).

Ответ:

(−0, 5; 1

√

− 2) (1 + 2; +∞)

28	Теория, примеры и задачи

Пример 16 (ЕГЭ, 2020). Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

( − + 2)( − + 3 ) = 0,

| |=

имеет ровно восемь решений.

Решение. Из второго уравнения следует, что ≥ 0. Рассмотрим случай = 0. Тогда из первого уравнения следует

= , а из второго = 0. Значит, при = 0 существует единственное решение: = = 0. Этот случай нас не интересует. В дальнейшем будем рассматривать только > 0. Введем замену переменной = − . Теперь систему можно переписать в виде

( + = −2 ) ( + = −3 ),				где	– логическое «или».
( = )	( =	−	),
		−

Таким образом, нам следует рассмотреть четыре случая:

+ = −2 ,

+ = 0, = 4

1 − 3

= .

> 0 при

(0; 1)

– два решения; = 0 при = 1 –

§ 1. Системы двух уравнений					29

одно решение.
2. + = −3 ,		2 + 3 + = 0, = (9	−	4).
= .			−
	4				4
> 0 при (	9 ; +∞) – два решения; = 0 при =				9	–

одно решение.

3. + = −2 ,

= − .

2 +	2	− = 0, = 4	·	1 + 3
						.
					2

> 0		при (0; +∞) – два решения.
4.	+ = −3 ,			2 + 3	−	= 0, = (9 + 4).
	=		.
			−
> 0		при	(0; +∞) – два решения.

Помним, что нас интересуют только положительные значения . В двух последних пунктах имеем в сумме четыре решения при всех из интервала (0; +∞). Остальные четыре принадлежат пересечению интервалов (0; 1)

и (49 ; +∞) из первых двух пунктов, на каждом из которых имеется два решения: (0; 1) ∩ (49 ; +∞) = (49 ; 1). Однако ре-

√

шения могут совпадать при 2 = 3 , т. е. при = ± 23 .

30 Теория, примеры и задачи

Отрицательный корень нас не интересует, а положитель-

чай. Система уравнений будет√										3	иметь ровно восемь реше-
ный, как легко проверить,									2		> 4
				√		2	√				9 . Исключим этот слу-
4		2		√	2 )	2	√
ний при		(4		;	2 )		(	2	; 1).
			9		3			3
Обычно графики√					строят√			в процессе работы над задачей.
Ответ: (9	;		3 )		(	3	; 1).

В нашем случае обратимся к ним для анализа результатов. График первого уравнения распадается на две параллельные прямые, график второго – на две гиперболы. Решениям соответствуют точки пересечения прямых с гипербола-

ми. Как видно на рис. 3, при = 4										(левая граница интер-
вала (		√		))				9
	9 ;		3			4		2			= 3 (внут-
	4		2		таких пересечений семь, при						2
ри интервала					(		; √		)) – восемь пересечений. На рис. 4
						9		3

Рис. 3. Графики к примеру 16: = 49 (слева); = 23 (справа)

при =	√	3	(две прямые совпадают) – четыре точки, при
		2

§ 1. Системы двух уравнений				31

			( √		; 1)) – восемь точек. На
=	9			32
	10	(внутри интервала


Рис. 4. Графики к примеру 16: =	√	3	(слева); = 10 (справа)
		2					9
				( √		; 1)) – восемь
рис. 5 при = 1 (граница интервала				( √	32	; 1)) – восемь

точек пересечения, при = 43 (точка справа от 1) – четыре точки пересечения. При движении слева направо вдоль

Рис. 5. Графики к примеру 16: = 1 (слева); = 43 (справа)

вещественной оси одна прямая на графике поднимается

32	Теория, примеры и задачи

вверх параллельно самой себе, а другая опускается вниз. Пример 17. Решить систему уравнений

| |+| |= 1,

2 + 2 = .

Решение. Из вида уравнений следует, что ≥ 0. Гра-

фик первого уравнения – квадрат, второго – окружность

√ √

радиусом (рис 6). Если радиус окружности меньше 22

Рис. 6. Графики к примеру 17

или больше 1, система не имеет решений. При радиусе,

√

равном 22 или 1, существуют четыре решения, а если зна-

§ 1. Системы двух уравнений

(

√

; 1

чение радиуса принадлежит интервалу

– восемь

решений, т. е. окружность пересекает

)

квадрат в восьми

точках. Теперь перейдем к аналитическому решению.

|+|

|=21

|+| |

= 1,

( +

)

= ;

= −2 .

| | | |

−

| || |

2 − +

1−2

= 0.

= 2 − 1.

1. < 0 при <

2 . Решений нет.

2. = 0 при =

21 | |= | |=

21 .

√

> 0

при

1,2 =

1± 2 −1

| |≥

2 .

≥

Однако

| |≥

0. Значит, ( 1

0)&( 2

0).

√

1 +

2 − 1

≥

при любом

допустимом

√ 2

√

1 − 2 − 1

≥

0, когда

−

≤

= 1 1

= 0,

= 1. Соответственно | |= 0, | |= 1

или | |= 1, | |= 0. При > 1 Решений нет. Теперь мы мо-

жем сформулировать ответ.

Ответ: При (−∞; 21 ) (1; +∞) Решений нет;

при = 21

– четыре решения: (21 ; 21 ), (21 ; −21 ), (−21 ; 21 ), (−21 ; −21 );

при (

21 ; 1) – восемь решений:

(±1

√

;

√

) (±

√

;

√

)

√2 1

1+√

2 1

1+√2 1

√

2 1

1−

2 −1

1+ 2 −1 ,

1+ 2 −1

1−

2 −1

(

)

(

)

− ;

(1; 0) (0; 1) (

± − 2

− ,

−

;

−

− ;

−

при = 1 – четыре решения:

−

1; 0), (0;

1).

34	Теория, примеры и задачи

Следующее задание для тех, кто дружит с логарифмами. Пример 18 (вступительный экзамен, математический факультет ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1979). Решить систему уравнений

= 20,

lg = 2.

Решение. ОДЗ: ( > 0)&( > 0). Возьмем логарифмы от

левых и правых частей уравнений.

lg + lg = 1 + lg 2,			1.	lg = 1,	2.	lg = lg 2,
lg	·	lg = lg 2.		lg = lg 2.		lg = 1.
	·

= 10, = 2 и = 2, = 10.

Ответ: (10; 2) и (2; 10).

Пример 19 (вступительный экзамен, математический факультет Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской, 1979). Решить систему уравнений

	√
+ +		+ = 20,
2 + 2	= 136.

Решение. Обозначим √ + = ,			≥	0. Первое уравнение

примет вид 2 + − 20 =
примет вид 2 + − 20 =	0 1 = −5, 2 = 4. Условию

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
02.03.20201.79 Mб29Алгебраические_уравнения.pdf
#
02.03.2020587.51 Кб14Вредная геометрия.pdf
#
02.03.2020411.46 Кб11Египетский счет.pdf
#
02.03.20201.06 Mб28Прогрессии.pdf
#
02.03.2020617.26 Кб12Символы и их творцы.pdf
#
23.03.2021663.78 Кб13Симметрические уравнения.pdf