6. Критические частоты волноводных мод

Согласно дисперсионным уравнениям (3.6) или (3.7), продольное волновое число жестко связано с поперечным волновым числом и волновым числом среды, заполняющей волноводИз (3.7) следует, что в зависимости от того, какое из чисел окажется больше (или), продольное волновое число может быть либо вещественным, либо мнимым. Это наглядно видно из рис. 3.2, где на числовой оси отложено конкретное число. В данном случае для первых двух мод– вещественное число, а для всех других – мнимое. Если зафиксировать форму и размеры поперечного сечения волновода (а, следовательно, и все), а также, и изменять частоту, то из (3.7) нетрудно видеть, что для каждой моды существует частота, ниже которой продольное волновое числостановится мнимым. Эта частота называется критической частотой данной моды. Ее легко найти из (3.7), приравниваянулю:

(3.0)

Таким образом, критическая частота тем выше, чем выше порядок моды и чем меньше поперечные размеры волновода и меньше и. Волна основного типа имеет наименьшую критическую частоту. Наряду с понятием критической частоты используется понятие, критической длины волны:

(3.0)

7. Поля мод на частотах выше и ниже критической

Поведение одной и той же моды на частотах выше и ниже критической, совершенно различно. При продольное волновое числовещественно, и мнимый экспоненциальный множительвходящий в выражения (3.10), свидетельствует о распространении волны вдоль волновода. Модуль экспоненты не зависит отz(он равен единице), а ее фаза меняется в зависимости отzпо линейному закону:Таким образом, в этом случае поля (3.10) представляют собой незатухающие волны, бегущие по волноводу в направлениях +zили –z(распространяющиеся волны). Если жето продольное волновое число– мнимая величина и экспонента в формулах (3.10) – является вещественной функциейгде. Фаза полей вдоль волновода не меняется, а амплитуды либо экспоненциально убывают, либо экспоненциально возрастают в зависимости отz(рис. 3.3). Экспоненциальное убывание (возрастание) будет тем круче, чем больше. Такие «волны» называются не распространяющимися волнами, они не переносят мощность вдоль волновода.

Распространяющиеся волны переносят мощность по волноводу, ибо их поперечные компоненты поляиявляются синфазными.

8. Длина волны и фазовая скорость в волноводе

Для распространяющихся волн вводится понятие длины волны в волноводе и фазовой скоростис учетом (3.12) формулы для них имеют вид:

(3.0)

где – длина волны в среде с проницаемостямии, заполняющей волновод;– скорость света в среде, заполняющей волновод.

Из формул (3.13) следует, что в волноводе длина волны всегда больше длины волны в свободном пространствеа фазовая скоростьбольше скорости света в свободном пространстве(рис. 3.4).

9. Волна основного типа прямоугольного волновода h01

Решение мембранного уравнения (3.5) в прямоугольном волноводе дляН-волн (3.9) позволяет найти:

1) мембранную функцию с точностью до амплитудного множителя С:

(3.0)

где – поперечные размеры волновода (рис. 3.1);– декартовые координаты поперечного сечения прямоугольного волновода;

2) поперечные волновые числа

(3.0)

Так как , то наименьшее поперечное волновое число получается притогда для основного типа поля из (3.7), (3.11)–(3.15) легко найти:

поперечное волновое число (3.0)

критическую длину волны (3.0)

критическую частоту (3.0)

длину волны в волноводе (3.0)

фазовую скорость в волноводе (3.0)

продольное волновое число (3.0)

мембранную функцию (3.0)

Подстановка (3.16)–(3.22) в уравнения (3.10) для полей позволяет определить векторы напряженностей электрического и магнитного поля волны основного типа в прямоугольном волноводе:

(3.0)

(3.0)

Обычно для сравнения собственных функций волновода между собой производится их нормировка. Нормированные собственные функции удобнее использовать в электродинамических расчетах устройств СВЧ. Вводится понятие нормы N:

(3.0)

где S– поперечное сечение волновода;

Подстановка (3.23), (3.24) в (3.25) позволяет взять интеграл и через норму определить амплитудный коэффициент С:

(3.0)

Подстановка (3.26) в (3.23), (3.24) определяет нормированную собственную функцию основного типа прямоугольного волновода :

(3.0)

(3.0)

Введение нормированных собственных функций открывает возможность сокращенного описания волнового режима в волноводе: вместо подробной записи полей всех имеющихся мод как функции координат достаточно указать только их амплитуды. Выбор величины нормы Nпроизволен, и чаще всего величина не выбирается, а просто фиксируется как константа, имеющая размерность мощности. При определении мощности, переносимой полем волновода, как правило, выбирают величинуN = 1Вт.