3. Волны в волноводах

Цель работы:изучение свойств волн в волноводах; измерение коэффициентов отражения от различных нагрузок волновода.

1. Волноводы. Два класса волн. Волновые уравнения

Волноводами называются полые металлические трубы, по которым распространяются электромагнитные волны (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Отсутствие внутреннего проводника приводит к тому, что в волноводе не могут существовать Т-волны, у которыхи. Из строгой теории волноводов следует, что в волноводе обязательно должна быть продольная составляющая поля: либолибоВолны, в которыхназываются волнами магнитного типа, илиH-волнами; волны, в которых, называются волнами электрического типа, илиE-волнами. Поле в волноводах удовлетворяет однородным волновым уравнениям, из которых легко выделить уравнения для продольных составляющихи:

(3.0)

(3.0)

где

2. Мембранное и дисперсионное уравнения

Предполагая, что поле в волноводе – это волны, их продольные составляющие можно представить как произведение двух функций:

(3.0)

(3.0)

где – функция поперечных координат;– функция волны прямого «–» и обратного «+» направления распространения;– продольное волновое число.

Подстановка (3.3) и (3.4) в (3.1) и (3.2) соответственно, позволяет получить уравнения для :

(3.0)

где – поперечное волновое число:

(3.0)

откуда,

(3.0)

Уравнение (3.5) называется мембранным уравнением, функция – мембранной функцией, уравнение (3.6) – дисперсионным.

3. Граничные условия

Решение уравнения (3.5), т. е. определение ивозможно при задании граничных условий на контуреLпоперечного сечения волновода (см. рис. 3.1). Стенки волновода предполагаются идеально проводящимис граничными условиями

(3.0)

где – нормаль к поверхности металла;,– касательные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей. Для мембранной функцииграничные условия (3.8) соответственно выражаются:

для Н-волн: для Е-волн:

(3.0)

где – нормаль к линииL– контура поперечного сечения волновода (см. рис. 3. 1). Решение уравнения (3.5) с граничными условиями (3.9) позволяет определить мембранную функциюи поперечное волновое число.

4. Поля в волноводе

Использование уравнений Максвелла позволяет выразить все составляющие полей через мембранную функцию и поперечное волновое число.

для Н-волн: дляЕ-волн:

(3.0)

где – орт вдоль осиz, продольной оси волновода.

Таким образом, задача определения поля в волноводе сводится к решению мембранного уравнения.

5. Собственные функции и поперечные волновые числа

Решение мембранного уравнения (3.5) с граничными условиями (3.8) возможно только при определенных дискретных значениях поперечных волновых чисел . Эти числа, образуют бесчисленное, но счетное множество. Если величины всехнанести на числовую ось, то они образуют последовательность, уходящую в бесконечность (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Эти значения называются собственными числами мембранного уравнения. Каждому поперечному числу соответствует своя мембранная функция. Эта функция называется собственной функцией мембранного уравнения. Каждой собственной функции, согласно формулам (3.10), соответствует свой тип поля (или свой тип волны) в волноводе. Это поле (или волна) называется собственным полем или собственной волной (модой) волновода. Таких собственных волн (или мод) в волноводе бесчисленное множество. Мода, обладающая минимальным значением(на рис.3.2), называется волной основного типа.

Значения поперечных волновых чисел зависят от формы, размеров поперечного сечения волновода и типа волны. При увеличении поперечных размеров (без изменения формы сечения) значения уменьшаются; вся совокупность точек на рис. 3.2 смещается влево.