РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И. ГЕРЦЕНА

Функции нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им. А.И. Герцена

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Авторы-составители: кандидат ф.-м.н., доцент Т.Е. Звягинцева,

Старший преподаватель О.С. Корсакова,

кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич

Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,

профессор В.Д. Будаев

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

2. Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

6. Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.

7. Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

Функции нескольких переменных

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть и каждой точкепоставлено в соответствие число. Тогда говорят, что на множествеD определена числовая функция нескольких переменных .

Множество D называется областью определения функции, точка -аргументом функции.

Будем далее рассматривать функцию двух переменных . Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функциюn переменных, где n>2.

Множество всех точек , для которых функция, заданная аналитически, имеет смысл, называется естественнойобластью определения этой функции.

Например, областью определения функции является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством.

Графиком функции , где, называется множество. Оно задает некоторую поверхность в пространстве.

Например, графиком функции ,, является параболоид.

Пример 1. Найдем область определения функции .

Функция определена в тех точках плоскости, где.

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

и .

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе или выше нее, и лежащих в полуплоскости. Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т.е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

y y y

x x x

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Линией уровня функции , называется множество точек, удовлетворяющих уравнению.

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня) функции n переменных, если n>2.

Пример 2. Найдем линии уровня функции .

Отметим, что функция определена на всей плоскости .

Для построения линий уровня надо для любого найти множество точек плоскости, координатыx, y которых удовлетворяют уравнению . Следовательно, если, то, а если, то.

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с-уровнем функции при c<0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0:

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0.

На рис. 4 изображены линии уровня для с=0, с=1 и с=2.

y

c=2

c=1

. c=0 x

Рис.4

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Множество (открытый круг радиусас центром в точке) называется-окрестностью точки . Черезбудем обозначать проколотую окрестность точки.

Точка называетсяпредельной точкой множества , если пересечение любой-окрестности точкии множестваD содержит хотя бы одну точку, отличную от , т.е. для.

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D.

Пусть функция определена на множествеD и точка - предельная точкаD.

Число А называется пределом функции в точке, если для любой-окрестноститочкиА () существует-окрестностьточкитакая, что для любой точкизначение функциипопадает в окрестность.

Таким образом,

: )

: ).

Пример 3. Докажем, что .

Заметим, что данная функция определена на всей плоскости за исключением точки (0,0).

Поскольку , то для любогосуществует(а именно) такое, что для всех точек, удовлетворяющих условию, справедливо неравенство.

Функция называетсянепрерывной в точке , если.

Функция называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке множества D.

Пример 4. 1) Функция непрерывна в точке (0,0), поскольку(см. пример 3).

2) Функция в точке (0,0) терпит разрыв, т.к.

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если существуют конечные пределыи, то они называютсячастными производными функции в точкепо переменнымx и y соответственно и обозначаются и(или:и).

Для вычисления частной производной (или) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменнуюy (или x) постоянной величиной.

Пример 5. Найдем частные производные функции .

Если считать y=const, то - степенная функция отx , поэтому .

Если x=const, то - показательная функция отy, и, следовательно, .

Функция называетсядифференцируемой в точке , если существуют числаА и В такие, что приращение функцииf в точке представимо в виде

,

где при.

Главная часть полного приращения , линейная относительнои, т.е., называетсяполным дифференциалом функции в точкеи обозначается.

Таким образом, .

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е. ,.

Функция называется дифференцируемой на множестве D, если она дифференцируема в каждой точке множества D.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точкеи- ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функцииf, и, кроме того,

=А, =В.

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле

+ .

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные ифункцииf существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в, то функцияf дифференцируема в точке .

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции в точке (1, 1/5).

, ,

, ;

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функции иопределены в некоторой окрестности точки, а функцияопределена в некоторой окрестности точки.

Если функция f дифференцируема в точке , а в точкесуществуют производные, то в точкесуществует производная сложной функции, причем

, .

Пример 7. Найдем частные производные сложной функции , где,.

,

.

Пример 8. Найдем производную сложной функции , где,. В этом примере функцииx и y зависят от одной переменной t, поэтому сложная функция - функция одной переменной.

.

Пример 9. Пусть f(u) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция удовлетворяет уравнению. Положим.

Тогда .

.

Следовательно,

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция в окрестности точкиимеет частную производную.

Частная производная функции по переменнойx называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается или.

Частная производная по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается или .

Аналогично определяются частные производные второго порядка и(и) как частные производные функции.

Производные иназываютсясмешанными частными производными.

Теорема 4. Пусть функция определена вместе со своими частными производными,,,в некоторой окрестности точки, причем смешанные производныеинепрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е.=.

Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка: и т.д.

Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m-1 называется частной производной порядка m.

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки, причем смешанные производные,инепрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны:==.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки(т.е. существуют непрерывные частные производные функцииf до второго порядка включительно в окрестности точки ), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , где,.

, .

=

=,

=

=,

аналогично вычисляем

.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в с координатами.

Производной функции по направлению вектора l в точке называется .

Производная по направлению обозначается .

Градиентом функции f в точке называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f = (,) =i +j.

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l:

=+=,

где  - угол между векторами grad f иl.

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции в точкеМ (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3).

Вектор MN имеет координаты (4, 3), . Значит, единичный векторl имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М: ,. Тогда(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

, .

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f. Следовательно,

.

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Для дифференцируемой в точке функцииверно следующее соотношение:

,

где ,(это следует из определения дифференциала первого порядка). КоэффициентыА и В однозначно определяются: =А, =В.

Уравнение

является уравнением плоскости, проходящей через точку . Эта плоскость называетсякасательной плоскостью к графику функции в точке.

Таким образом, касательной плоскостью к графику функции в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функциив этой точке есть величина, бесконечно малая по сравнению с при   0.

Уравнение нормали к графику функции в точкеимеет вид

.

Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде , то уравнение касательной плоскости в точкеимеет вид

,

а уравнение нормали в этой точке:

.

Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (-2, 1, 4).

, . Уравнение касательной плоскости имеет вид:или.

Уравнение нормали: .

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка называется точкойлокального максимума (локального минимума) функции ,, если существует окрестность точки, для всех точек которой выполнено неравенство

().

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума.

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции .

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точкелокальный экстремум и в этой точке существуют частные производныеf, то

=0 и =0.

Точка называетсястационарной точкой функции f, если =0 и=0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки.

Обозначим =- ()². Тогда

1) если >0, то в точке функцияf имеет локальный экстремум: максимум при > 0 и минимум при< 0;

2) если <0, то в точке функцияf не имеет экстремума;

3) если =0, то в точке функцияf может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

.

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости. ,. Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

==.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4 ) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u(-1, -2) = 31.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция непрерывна на ограниченном замкнутом множествеD.

Напомним, что множество называетсяограниченным, если существует такая окрестность U (0,0), что U (0,0); множество называетсязамкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки и, чтоявляется наибольшим значением функции на множествеD , а - наименьшим ее значением на множествеD.

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D.

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множествеD, ограниченном прямыми ,,.

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D.

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D.

1. , . На этом участке границы

Рис. 5 . Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке , а наибольшее значение в точке:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2) ,. На этом отрезке. Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка:;, но, поэтому вычисляемu (0,0) = 3, u (0,)= = , u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0, );

3),. Здесь

.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ;;u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.