Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

где g 1r – электрическая проводимость.

Единицы измерения: тока – ампер (А), напряжения – вольт (В), проводимости – сименс (См или Ом–1).

Произведение напряжения и тока есть мощность, измеряемая в ваттах (Вт):

Электрическая энергия, измеряемая в джоулях, определяется как интеграл:

Индуктивность L, измеряемая в генри (Гн), представляет собой идеализированный элемент электрической цепи, способный накапливать энергию магнитного поля.

Переменный ток iL наводит переменный магнитный поток Ф, который, в свою очередь, обусловливает появление ЭДС самоиндукции:

L dt

где Ψ – потокосцепление, измеряемое, как и магнитный поток Ф, в веберах (Вб). Для катушки, например, имеющей w витков, потокосцепление и магнит-

ный поток Ф связаны соотношением:

10

Связь между потокосцеплением и током определяется формулой:

В линейной электрической цепи L = const, поэтому подстановка соотношения (1.7) в уравнение (1.5) приводит к формуле:

L dt

Падение напряжения на индуктивности uL равно по величине ЭДС самоиндукции eL и противоположно по знаку, поэтому

этой величины представляет собой энергию магнитного поля в индуктивности:

Емкость С измеряется в фарадах (Ф) и рассматривается как идеализированный элемент электрической цепи, накапливающий энергию электрического поля.

В качестве исходного здесь можно принять соотношение между зарядом q и напряжением uC:

где емкость С выступает как коэффициент пропорциональности между зарядом и напряжением. Единица измерения заряда – кулон (Кл).

Емкостный ток iC, как количество заряда в единицу времени, определяется формулой:

C dt

11

При выполнении условия С = const c учетом уравнения (1.11) приходим к выражению:

Взаимная индуктивность М, как параметр, присутствует в системах контуров или катушек, связанных между собой через магнитное поле.

На рис. 1.3 изображена система двух магнитноили индуктивно связанных катушек. Ток i1 протекает по виткам первой катушки. Вторая катушка разомкнута и расположена в магнитном поле первой катушки.

i1

Рис. 1.3. Магнитное поле в системе двух катушек

Часть магнитного потока первой катушки Ф1, обозначенная на рис. 1.3 как Ф12, проходит через сечение витков второй катушки, или, как говорят, сцеплена с витками второй катушки.

Магнитному потоку Ф12 соответствует потокосцепление Ψ12 = w2Ф12, которое с током первой катушки связано соотношением:

12

Потокосцепление Ψ12 называют потокосцеплением взаимной индукции. Взаимная индуктивность М выступает как коэффициент пропорциональности между потокосцеплением Ψ12 и обусловливающим его током i1.

Магнитный поток взаимной индукции Ф12 наводит во второй катушке ЭДС взаимной индукции

которая при М = const записывается как

Если токи имеют место в обеих катушках, то взаимная магнитная связь будет двухсторонней, т. е. ЭДС взаимной индукции будут наводиться и в первой, и во второй катушке. При этом

где e1M и e2M – ЭДС взаимной индукции первой и второй катушек соответственно.

1.2.2. Активные элементы электрических цепей

чески ток может изменяться от нуля до бесконечности, поэтому источник ЭДС является источником бесконечной мощности.

13

Сделано такое предположение для удобства математического исследования режимов электрических цепей: любые изменения параметров подключенной к источнику цепи не влияют на его ЭДС.

Реальные источники напряжения имеют внутренние сопротивления. На рис. 1.5, а приведены внешние характеристики идеального и реального источников напряжения для случая, когда величины E, I и rвн являются постоянными в том смысле, что изменение тока осуществляется только за счет параметров цепи нагрузки.

На схемах замещения реальные источники напряжения чаще всего представляются двухэлементной схемой, как показано на рис. 1.5, б.

Рис. 1.5. Источник напряжения:

а – внешние характеристики; б – схема замещения

Из рис. 1.5, а следует, что ЭДС Е, т. е. ЭДС идеализированного источника (напряжение на его зажимах), не зависит от величины тока, а зависимость напряжения от тока реального источника падающая, поскольку с увеличением тока возрастает вычитаемое из ЭДС падение напряжения на внутреннем сопротивлении rвн.

Источник тока (см. рис. 1.4, б) – идеализированное понятие. Внутреннее его сопротивление принято бесконечным, что позволяет обеспечить независимость значения тока J от режима питаемой источником цепи. При изменении параметров цепи нагрузки источника тока значение J остается заданным, а изменяется напряжение на его зажимах. Поскольку теоретически это напряжение может изменяться от нуля до бесконечности, то источник тока, как и источник ЭДС, является источником бесконечной мощности.

14

тока в энергетике, электромеханике и в других областях; с другой стороны, закладываемая в этом разделе теоретическая база необходима для понимания в дальнейшем различных частотных представлений и методов, широко применяемых во многих отраслях техники.

В цепях постоянного тока напряжения на элементах цепи и токи – постоянные величины. Вследствие этого напряжение на индуктивности и ток в емкости приобретают нулевые значения, что следует из формул (1.9) и (1.13), в силу равенства нулю соответствующих производных:

Поэтому индуктивность не оказывает сопротивления постоянному току, а емкость, наоборот, воспринимается как бесконечное сопротивление, т. е. разрыв соответствующего участка цепи. Вследствие этого при математическом исследовании в качестве пассивных элементов используются сопротивление r и обратная ему величина проводимость g 1r . В качестве активных элементов выступают источник ЭДС и источник тока. Взаимная индуктивность М в данном случае также не проявляет себя несмотря на то, что физически магнитные связи присутствуют.

Цепи синусоидального тока характеризуются полным набором элементов – r, L, C и М. Присутствие или отсутствие того или иного из указанных элементов зависит от конкретной схемы.

2. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Постоянный ток обусловлен действием источников постоянных напряжений (ЭДС) и источников постоянных токов. Используемые при анализе режимов работы электрических схем основные физические величины – ЭДС, напряжения, токи и потенциалы – имеют обозначения: Е, U, I, φ.

Основой для построения различных алгоритмов или способов расчета электрических цепей являются первый и второй законы Кирхгофа. Многие частные задачи решаются с использованием преобразования цепей, упрощающих

16

их топологию. При анализе электрических цепей выделяют участки с параллельным и последовательным соединением элементов.

Последовательным называют соединение, при котором через рассматриваемые участки электрической цепи возможен только один и тот же электрический ток. Последовательно соединенные элементы электрической цепи образуют ветвь – участок цепи, вдоль которого протекает один и тот же электрический ток. Каждая ветвь располагается между двумя узлами – местами соединения ветвей электрической цепи. Соединенные последовательно сопротивления можно объединить в одно эквивалентное сопротивление.

Например, на рис. 2.1 сопротивления r1, r2 и r3 соединены последовательно: сопротивления r1 и r2 имеют общую точку b, не являющуюся узлом, а сопротивления r2 и r3 – точку c. При этом по всем трем сопротивлениям протекает один и тот же ток I. Объединив три последовательно соединенных элемента, получим одно эквивалентное сопротивление rэ, расположенное между теми же крайними точками (a и d). Промежуточные точки (b и c) при объединении исчезают. Через эквивалентное сопротивление rэ протекает тот же ток I, что и по исходной ветви. Величина rэ может быть определена по формуле:

Рис. 2.1. Замена последовательного соединения эквивалентным: а – последовательное соединение сопротивлений; б – эквивалентное сопротивление

Параллельным называется соединение, при котором рассматриваемые участки электрической цепи (ветви) присоединяются к одной паре узлов. При параллельном соединении ветвей по ним протекают разные токи, а напряжение прилжено одинаковое и равное напряжению между узлами.

Например, на рис. 2.2 сопротивления r1, r2 и r3 соединены параллельно: все они находятся между узлами (точками) a и b. Объединив три параллельно соединенных элемента, получим одно эквивалентное сопротивление rэ, расположенное между теми же точками (a и b). Токи, протекающие через каждое со-

17

электрических цепей. Суть их состоит в следующем: заданы активные и пассивные параметры электрической цепи, требуется определить токи ветвей и другие представляющие интерес физические величины, зависящие от этих токов.

Существуют еще задачи синтеза электрических цепей, когда по заданным функциям цепей требуется определять топологию и параметры цепей. Эти задачи являются более сложными и в настоящем пособии не рассматриваются.

2.1. Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа формулируется для узла электрической цепи так: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю. При этом подходящие к узлу токи записываются с одним знаком, отходящие – с другим.

Например, для узла, изображенного на рис. 2.4, можно записать:

В первом случае с плюсом записаны токи, подходящие к узлу, во втором плюс имеют отходящие токи.

Второй закон Кирхгофа формулируется для контура электрической цепи так: алгебраическая сумма падений напряжения на участках контура равна алгебраической сумме ЭДС того же контура. При этом если направление ЭДС совпадает с направлением обхода

контура то она берется со знаком «плюс», если не совпадает – со знаком «минус». Падение напряжения на элементе берется со знаком «плюс», если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода, если не совпадает – со знаком «минус».

Например, для контура, показанного на рис. 2.5, можно записать:

19