Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

дится к определению резонансных частот и построению, если в том есть необходимость, частотных зависимостей реактивных сопротивлений (проводимостей) от частоты.

Входное комплексное сопротивление имеет вид:

После разделения действительной и мнимой частей Z приходим к выражению:

Далее используется только мнимая часть выражения (4.45). Приравнивая ее к нулю и подставляя 0 , получаем уравнение

корни которого определяют резонансные частоты.

Положительный ответ на вопрос о возможности возникновения того или иного резонанса, как уже указывалось, дают только положительные действительные корни уравнения (4.46). Любые другие типы корней (отрицательные действительные или комплексные) указывают на отсутствие резонанса в рассматриваемой схеме.

Например, при численных значениях параметров схемы (см. рис. 4.12) r1 = 23 Ом, L1 = 0,274 Гн, r2 = 35 Ом, L2 = 0,340 Гн, C = 20 мкФ уравнение (4.46)

приобретает вид:

130

Его корни имеют следующие значения: 01 380 радс и

02 566 радс.

Из полученных корней два действительные, положительные, следовательно, можно сделать вывод о том, что в схеме наблюдаются резонансы при двух значениях частот: 01 380 радс и 02 566 радс.

Чтобы ответить на вопрос о типе того или иного резонанса, необходимо дополнительно провести расчет режимов схемы при полученных резонансных частотах. На рис. 4.13 и 4.14 представлены векторные диаграммы, построенные по результатам расчета токов и напряжений в одном масштабе для схемы рис. 4.12 при входном напряжении U = 2 В на частотах 01 380 радс и

02 566 радс.

Удобство использования комплексного сопротивления или проводимости определяется топологией схемы, а решение уравнений x = 0 или b = 0 приводит к одинаковым результатам.

Результаты расчета при 01 380 радс:

Резонанс токов при частоте 01 380 радс обусловлен токами параллельных ветвей I2 и I3, но, как и ранее, эти токи не находятся в противофазе, поэтому полностью компенсируются реактивные составляющие этих токов I'2 и I'3, которые относительно входного напряжения U сдвинуты на 90º. Составляющая I'2 отстает от U на 90º, а I'3 опережает, поскольку первая обусловлена индуктивностью, а вторая – емкостью.

В режиме резонанса реактивные токи превышают по величине входной ток схемы:

следовательно, добротность цепи при частоте 01 , равной 380 рад/с, можно оценивать значением Q 3,8.

131

Результаты расчета при 02 566 радс:

В случае резонанса напряжений, имеющего место при 02 566 радс,

как видно из диаграммы на рис. 4.14, полностью компенсируются падение напряжения UL1 и составляющая U'C напряжения на емкости UC, в результате чего обеспечивается нулевой сдвиг по фазе между входным напряжением U и входным током I1.

При численных значениях параметров схемы на рис. 4.12 r1 = 23 Ом,

L1 = 0,274 Гн, r2 = 35 Ом, L2 = 0,340 Гн, C = 1000 мкФ уравнение (4.46) приобре-

тает вид:

и его корни – 01 61,7 и 02 j70,1, что говорит о наличии одной резонансной частоты 0 61,7 рад/с.

В целом можно отметить, что первый этап работы, позволяющий вычислить резонансные частоты, не отвечает на вопрос, какому резонансу соответствует конкретная частота. Требуется полный расчет режима цепи на заданной резонансной частоте, как в этом можно было убедиться на приводимых примерах. Однако независимо от количества резонансных частот полный расчет чаще всего достаточен только для одной из них. Обусловлено это свойствами частотных характеристик электрических цепей, среди которых важное значение имеет следующее: частоты, определяющие положение резонансов напряжений и токов на оси частот, обязательно чередуются. Поэтому при отсутствии необходимости глубокого исследования режимов электрической цепи на каждой резонансной частоте вполне достаточно ограничиться расчетом одного режима.

4.4.Задачи для самостоятельного решения

1)В цепи с последовательно соединенными r, L, C наступает резонанс напряжений при угловой частоте 500 рад/с; r = 34 Ом; L = 400 мГн; напряжение

на зажимах цепи U 120. Определить С и мгновенные значения тока и напряжений на элементах цепи, построить векторную диаграмму.

133

2)Цепь состоит из индуктивной катушки (r, L) и емкости, соединенных последовательно. Напряжение на зажимах цепи равно 120 В. Определить напряжение на катушке при резонансе, если при этом напряжение на емкости равно 208 В.

Ответ: UK = 240 В.

3)Вычислить резонансную угловую частоту 0 в цепи с последовательно

соединенными r = 50 Ом, L = 10 мГн, С = 1 мкФ.

Ответ: 0 104 радс.

4) Вычислить резонансную частоту и добротность контура, состоящего из последовательно соединенных элементов: r = 5,1 Ом; L = 65·10-6 Гн;

С = 1,56·10–9 Ф.

Ответ: f0 = 5·105 Гц; Q = 40.

5) Найти минимальное значение С, при котором наступит резонанс в цепи (см. рис. 4.9, г), если r1 = 5 Ом; L = 50 мГн; r2 = 10 Ом; f0 = 50 Гц. Определить сопротивление цепи при резонансе.

Ответ: С = 153 мкФ; Z = r = 25,1 Ом.

6) В цепи (см. рис. 4.9, б) имеет место резонанс при 0 104 радс, r = 10 Ом, L = 5 мГн, U 100 В. Определить величину С и комплексные действующие значения токов.

Ответ: С = 1,92 мкФ, I1 = 0,385 А, IL 1,96e j78,7 , IC 1,92e j90 .

7) В цепи (см. рис. 4.9, в) имеет место резонанс при 0 200 радс, L = 2 Гн, С = 25 мкФ. Определить величину r.

Ответ: r = 200 Ом.

8) В цепи (см. рис. 4.9, в) имеет место резонанс при 0 200 радс, С = 25 мкФ, r = 200 Ом. Определить величину L.

Ответ: L = 2 Гн.

134

Библиографический список

1.Теоретические основы электротехники: Учебник: В 3 т. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман и др. СПб: Питер, 2004. Т.1. 463 с.

2.Коровкин Н. В. Теоретические основы электротехники: Сборник задач / Н. В. Коровкин, Е. Е. Селина, В. Л. Чечурин. СПб: Питер, 2004. 512 с.

3.Бычков Ю. А. Основы теории электрических цепей: Учебник / Ю. А. Бычков, В. М. Золотницкий, Э. П. Чернышев. СПб-М.-Краснодар:

Лань, 2004. 464 с.

4.Теоретические основы электротехники: Методические указания и кон-

трольные задания для студентов технических специальностей вузов / Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова и др. М.: Высшая школа, 2007. 159 с.

5.Прянишников В. А. Теоретические основы электротехники: Курс лекций / В. А. Прянишников. СПб: Корона-Принт, 2004. 336 с.

6.Прянишников В. А. Электротехника и ТОЭ в примерах и задачах: Практическое пособие / В. А. Прянишников, Е. А. Петров, Ю. М. Осипов. СПб: Корона-Принт, 2007. 334 с.

135

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА (ИСТОЧНИКА)

Другое название метода эквивалентного генератора (источника) – метод активного двухполюсника. Активный двухполюсник отличается от пассивного наличием источников ЭДС или тока внутри двухполюсника. При использовании метода активного двухполюсника схему, содержащую источники напряжения и тока (рис. П.1.1, а), заменяют простейшей схемой, содержащей ЭДС и сопротивление, как показано на рис. П.1.1, б.

Рис. П.1.1. Поэтапное преобразование схемы с активным двухполюсником

136

Режим холостого хода достигается путем размыкания ветви нагрузки (рис. П.1.1, в). В этом случае ток нагрузки равен нулю, а напряжение между разомкнутыми контактами равно напряжению между выходными зажимами двухполюсника Uх.х.

Схема на рис. П.1.1, г эквивалентна схеме рис. П.1.1, а, так как Uac = 0:

На основании принципа наложения схему рис. П.1.1, г можно разложить на две: рис. П.1.1, д и е. В первой из полученных схем остаются все источники напряжения и тока внутри активного двухполюсника и одна ЭДС, направленная встречно и по величине равная напряжению холостого хода Uх.х. Эта схема эквивалентна схеме рис. П.1.1, в. Следовательно, ток I' в этом случае равен нулю.

Во второй схеме (рис. П.1.1, е) все источники напряжения и тока из активного двухполюсника исключаются. Таким образом двухполюсник становится пассивным. Остается только один внешний источник ЭДС, равный по величине Uх.х и включенный в направлении протекания тока I''.

Согласно принципу наложения и с учетом того, что ток I' равен нулю, общий ток в нагрузке можно определить по формуле:

В итоге ток I можно определить из схемы рис. П.1.1, е по формуле:

где Eэ = Uх.х – напряжение на зажимах активного двухполюсника при разомкнутой ветви нагрузки r;

rэ – входное сопротивление схемы относительно зажимов выделенной ветви без учета источников J и E (но с учетом их внутренних сопротивлений).

137

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕЗДОЙ И ТРЕУГОЛЬНИКОМ

При осуществлении эквивалентного преобразования соединения звездой в соединение треугольником и наоборот (рис. П.2.1) напряжения U12, U23, U31 и токи I1, I2, I3 не должны изменяться.

Рис. П.2.1. Эквивалентные схемы соединения сопротивлений звездой (а) и треугольником (б)

Для сопротивлений, соединенных звездой (рис. П.2.1, а), можно составить уравнения по законам Кирхгофа:

Выразив ток I2 из первого уравнения системы (П.2.1) и подставив полученное выражение во второе и третье уравнения, получим систему уравнений:

Решая систему уравнений (П.2.2) по правилу Крамера, получаем:

138

Для сопротивлений, соединенных треугольником (рис. П.2.1, б), по второму закону Кирхгофа можно записать, что сумма падений напряжений

U12 U23 U31 0 , откуда

Выразив токи I1 и I3 из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 3 (см. рис. П.2.1, б), получим:

Сравнивая системы уравнений (П.2.4) и (П.2.6), получаем уравнения

из которых выводятся формулы для преобразования соединения звездой в соединение треугольником:

139