Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

лентным сопротивлением последовательного, параллельного и последователь- но-параллельного соединений. Применяется еще и ряд более сложных преобразований, среди которых отметим эквивалентные преобразования соединений звездой и треугольником, а также преобразования параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС.

2.6.1. Эквивалентные преобразования соединений звездой и треугольником

Указанные соединения представлены на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Эквивалентные схемы: соединение сопротивлений звездой (а) и треугольником (б)

Эквивалентность соединений звездой и треугольником понимается в следующем смысле: при переходе от одной схемы к другой режим цепи, в составе которой находятся звезда и треугольник, не должен измениться. Это возможно, если напряжения U12, U23, U31 и токи I1, I2, I3 при переходе не изменяются. На этом принципе построен вывод формул для преобразования соединений звездой и треугольником (прил. 2).

Преобразование соединения звездой в соединение треугольником выполняется по формулам:

30

Преобразование соединения треугольником в соединение звездой выполняется по формулам:

Чередование индексов в правых частях формул позволяет легко установить закономерность в их формировании.

2.6.2. Преобразования параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС

Упрощение задачи по исследованию электрической цепи достигается заменой участка с параллельно соединенными ветвями одной ветвью с эквивалентными параметрами. Пусть, например, требуется участок с тремя параллельными ветвями (рис. 2.15, а) заменить одной ветвью с двумя элементами – rэ и Еэ (рис. 2.15, б). Задача сводится к нахождению числовых значений эквивалентной ЭДС Eэ и эквивалентного сопротивления rэ.

Эквивалентный переход от нескольких параллельных ветвей к одной можно осуществить по формулам (прил. 3):

где gk – проводимость k-й ветви; Ek – ЭДС k-й ветви.

31

Таким образом, эквивалентная проводимость gэ является суммой проводимостей ветвей и применительно к схеме рис. 2.15, а это есть величина

Рис. 2.15. Преобразование параллельных ветвей:

а – исходная расчетная схема; б – двухэлементная эквивалентная схема

При нахождении Eэ произведение gkEk имеет знак «плюс», если направление ЭДС ветви совпадает с выбранным направлением эквивалентной ЭДС Еэ:

Формулы системы (2.26) применяются при любом числе параллельных ветвей.

2.7.Примеры расчета электрических цепей постоянного тока

2.7.1.Применение законов Кирхгофа

Ус л о в и е з а д а ч и. Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов ветвей в схеме, приведенной на рис. 2.16.

Дано: Е1, Е2, Е3, J, r1, r2, r3, r4, r5, r6.

Р е ш е н и е. В схеме (см. рис. 2.16) семь ветвей, четыре узла и четыре независимых контура. Ток I7 известен (I7 = J), поэтому неизвестных токов в

32

схеме шесть. Для расчета токов данным методом необходимо составить систему из шести уравнений, в которой три уравнения должны быть записаны по первому закону Кирхгофа и три – по второму. Выбираем независимые контуры так, чтобы ветвь с источником тока не вошла ни в один из контуров.

I2 E2

Рис. 2.16. Схема, демонстрирующая применение законов Кирхгофа

Выбираем произвольно направления токов в ветвях и направления обхода контуров (например, по часовой стрелке). Записываем систему из шести уравнений, совместное решение которых дает искомые токи:

узел 1: I3 I4 I5 0 ;

узел 2: I4 I5 I6 I2 I7 0 ;

узел 3: I1 I2 I6 0 ;

контур I: I3r3 I4r4 I6r1 E1;

контур II: I2r2 I6r1 E2 ; контур III: I5 (r5 r6 ) I4r4 E3 .

Ток источника тока, как следует из приведенных соотношений, входит только в уравнения по первому закону Кирхгофа.

2.7.2.Метод контурных токов

Ус л о в и е з а д а ч и. Определить токи ветвей в схеме, приведенной на рис. 2.17.

Дано: Е1 = 10 В, Е2 = 5 В, Е3 = 4 В, J = 2 А, r1 = 5 Ом, r2 = 5 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 4 Ом, r5 = 2 Ом, r6 = 3 Ом.

33

Р е ш е н и е. В соответствии с указаниями п. 2.2.1 выбираем независимые контуры так, чтобы ветвь с источником тока не оказалась общей для контуров. Выбираем произвольно направления четырех контурных токов, причем один из них известен: I44 = J.

I2 E2

Рис. 2.17. Схема для применения метода контурных токов

В общем виде составляем систему уравнений относительно трех неизвестных контурных токов:

r13 r31 r1, знак «минус» обусловлен тем, что в общем для первого и третьего контуров сопротивлении r1 контурные токи направлены встречно;

После подстановки найденных значений приведенная выше система уравнений принимает вид:

34

10I11 0I22 5I33 0I44 5;0I11 9I22 4I33 4I44 4;

5I11 4I22 10I33 5I44 10.

Учитывая, что J44 J 2 А, получаем:

10I11 0I22 5I33 5;0I11 9I22 4I33 12;

5I11 4I22 10I33 20.

Решая представленную систему уравнений, например, по правилу Крамера, получим:

В итоге токи ветвей можно записать так:

Знак «минус» у токов I2, I3 и I4 указывает на то, что в действительности эти токи имеют направления, противоположные указанным на схеме.

35

2.7.3.Метод узловых потенциалов

Ус л о в и е з а д а ч и. Определить токи ветвей в схеме (см. рис. 2.17), используя данные предыдущей задачи.

Р е ш е н и е. В соответствии с указаниями п. 2.3.1 заземляем узел 4 (φ4 = 0). Кроме того, ветвь между узлами 3 и 4 содержит только источник ЭДС, следовательно, независимо от величины протекающего тока I1, величина φ3 также известна: φ3 = Е1 = 10 В (со знаком «плюс», так как направление Е1 –

кузлу 3). Таким образом, в задаче неизвестными являются потенциалы двух узлов – φ1, φ2, и достаточно составить систему из двух уравнений:

g11 1 g12 2 g13 3 J11;

g21 1 g22 2 g23 3 J22 ,

36

Ток I1 находим по первому закону Кирхгофа, например, для узла 3:

2.7.4. Метод активного двухполюсника (эквивалентного источника)

У с л о в и е з а д а ч и. Определить ток I2 в ветви с r2 и Е2 (см.

рис. 2.17).

Р е ш е н и е. Поскольку в ветви с r2 находится ЭДС Е2, направленная согласно с ЭДС эквивалентного источника Еэ, то:

I2 Eэ E2 . rэ r2

Эквивалентную ЭДС Еэ найдем из расчетной схемы (рис. 2.18), в которой ветвь с током I2 разомкнута.

В данном случае Eэ U23 х.х 2 3 . Потенциалы узлов 2 и 3 могут

быть найдены любым из рассмотренных методов, каждый из которых реализуется двумя уравнениями. Воспользуемся методом узловых потенциалов.

Примем 4 0 и запишем систему уравнений, в которой 3 E1 :

g11 1 g12 2 g13 3 J11;

g21 1 g22 2 g23 3 J22 ,

37

U23 x.x

Рис. 2.18. Схема для расчета Eэ U 23 х.х

После подстановки найденных значений в приведенную выше систему

38

После подстановки исходных и расчетных данных получаем:

rэ r23 1,96 Ом; I2 8,93 5 0,565 А. 1,96 5

2.7.5.Преобразование электрических цепей

1)Замена смешанного соединения сопротивлений (рис. 2.20, а) одним эквивалентным (рис. 2.20, б). Используется для нахождения токов от одного источника ЭДС.

Рис. 2.20. Замена смешанного соединения сопротивлений (а) одним эквивалентным (б)

Общее сопротивление в данном случае может быть рассчитано по формулам для последовательного и параллельного соединения элементов цепи:

Тогда эквивалентное сопротивление цепи rэ rab r4 rcd r7.

39