Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

В общем случае:

Формулы (3.77) бывают полезны в тех случаях, когда требуется преобразовать последовательные схемы в параллельные и наоборот. Предположим, что требуется схему на рис. 3.13, а преобразовать в схему, представленную на рис. 3.13, б.

Рис. 3.13. Преобразование схем с последовательным (а) и параллельным (б) соединением элементов

Комплексное сопротивление первой схемы записывается в такой форме:

Комплексная проводимость записывается как величина, обратная Z:

Умножая числитель и знаменатель дроби в формуле (3.79) на комплекс, сопряженный знаменателю, получаем:

В итоге значения проводимостей схемы на рис. 3.13, б таковы:

80

Реализацию обратного перехода можно осуществить путем преобразования общей комплексной проводимости схемы на рис. 3.13, б в комплексное сопротивление согласно формулам:

Положительным свойством комплексного метода является то, что операции с комплексными напряжениями, токами, сопротивлениями и проводимостями осуществляются по тем же основным правилам, что и в случае цепей постоянного тока.

Законы Кирхгофа для цепей постоянного тока формируются алгебраическим суммированием составляющих – токов при формировании уравнений по первому закону Кирхгофа, а также ЭДС и падений напряжения при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа.

В случае цепей переменного тока алгебраическое суммирование в действительной области применимо только для мгновенных значений, как это сделано при составлении уравнений (3.24), (3.66), (3.73). Действующие и амплитуд-

81

ные значения напряжений и токов суммируются только геометрически, на что указывают все приведенные ранее векторные диаграммы.

В комплексной форме алгебраические операции можно производить практически со всеми встречающимися при расчете электрических цепей величинами: комплексными амплитудами, комплексными действующими значениями, комплексными сопротивлениями и проводимостями. Нужно лишь правильно применять правила действий с комплексными числами.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 3.14, а.

Рис. 3.14. Заданная (а) и упрощенная (б) расчетные схемы

Пусть заданы параметры элементов схемы, а также входное напряжение u Um sin t .

Ставится задача определить токи ветвей. Расчет проводится по комплексным действующим значениям.

Сначала необходимо определить входное комплексное сопротивление Zэ. Это можно сделать по исходной схеме рис. 3.14, а, но если это сложно, то можно перейти к упрощенной схеме, изображенной на рис. 3.14, б, введя следующие обозначения:

Получили в итоге последовательно-параллельное соединение трех комплексных сопротивлений, для которого

82

током i1.

Реактивное сопротивление xэ может быть как положительным (индуктивным), так и отрицательным (емкостным). Это зависит от соотношения параметров рассматриваемой схемы.

Комплексное действующее значение входного тока

По комплексу тока I1 в случае необходимости записывается мгновенное значение тока:

i1 I1 2 sin t 1 . (3.87)

Множитель 2 обозначает переход от действующего значения тока I1 к амплитудному значению I1m, поскольку в окончательном виде должно быть

К значениям токов ветвей можно прийти различными путями, но наиболее общий путь характеризуется следующими этапами.

Выражаем напряжение U12 :

Это напряжение приложено к обеим параллельным ветвям, поэтому

83

По полученным значениям комплексов токов записываются мгновенные значения токов:

Впроцессе вычислений приходится применять преобразование комплексных чисел, так как для операции сложения и вычитания необходима алгебраическая форма комплексных чисел, а умножение и деление более удобно осуществлять, используя показательную (экспоненциальную) форму.

3.7.Виды мощности в электротехнике

Вобласти электрических цепей синусоидального тока используется несколько видов мощности: мгновенная, активная, реактивная, полная и мощность в комплексной форме, или комплексная мощность.

3.7.1. Мгновенная мощность

представляет собой произведение мгновенных значений напряжения и тока:

Пусть u Um sin t , i Im sin t , т. е. ток отстает от напряжения на угол сдвига фаз φ. Подстановка этих значений в соотношение (3.92) дает:

84

Полагая x t , а y t , приходим к результату:

Как видно из формулы (3.95), мгновенная мощность является периодической функцией, изменяющейся с двойной частотой по отношению к частоте напряжения и тока.

Рассмотрим сначала функцию мгновенной мощности для сопротивления r

(рис. 3.15, а).

Периодическая функция мгновенной мощности в этом случае не имеет отрицательных значений. Ее среднее значение согласно выражению (3.95) равно произведению действующих значений напряжения и тока UI, поскольку 0 .

Мгновенная мощность пульсирует с двойной частотой, но нигде не меняет знака, что указывает на однонаправленность потока электрической энергии от источника к сопротивлению. Возврат энергии источнику отсутствует, поэтому в качестве главного свойства отмечается необратимость процесса преобразования энергии в сопротивлении r.

Рис. 3.15. Мгновенная мощность:

а– сопротивление r; б – индуктивность L

Виндуктивности L угол сдвига фаз 2 , поэтому в уравнении (3.95) cos 0 и кривая мгновенной мощности симметрична относительно оси вре-

мени (рис. 3.15, б). Это значит, что в части периода энергия поступает от источника в индуктивность, в другой – возвращается источнику. На участках графика, отмеченных знаком «плюс», энергия магнитного поля индуктивности

85

увеличивается до какого-то максимального значения, а в пределах площадок со знаком «минус» она уменьшается до нуля.

Видеальной цепи процесс энергетического обмена между источником, например, ЭДС, и индуктивностью не сопровождается потерями. Так же ведет себя и идеальная цепь с емкостью, только здесь энергетические процессы связаны с энергией электрического поля.

Вреальных условиях любые электромагнитные процессы сопровождаются потерями или затратами электроэнергии. На рис. 3.16 в качестве иллюстрации приведен график мгновенной мощности для цепи, содержащей сопротивление и индуктивность.

Рис. 3.16. Временная диаграмма мгновенной мощности для цепи с r и L

Особенность схемы на рис. 3.16 в том, что кривая мгновенной мощности несимметрична относительно оси времени. Отрицательные площадки меньше положительных, т. е. возвращается источнику энергии меньше, чем он отдает в электрическую цепь. Отмеченная разница определяется необратимым потреблением энергии в цепи, которое выражает среднее значение мгновенной мощности, обозначенное как P UI cos .

3.7.2. Активная мощность

Активная мощность определена как среднее значение мгновенной мощности:

86

Мгновенная мощность выражается формулой (3.95), после подстановки которой в уравнение (3.96) получаем:

Второй интеграл в выражении (3.97) равен нулю как определенный интеграл на целом числе периодов.

В итоге активная мощность в цепях синусоидального тока выражается формулой

есть полная мощность, поэтому активная мощность записывается также в виде:

Единица измерения активной мощности – ватт (Вт), полная мощность измеряется в вольт-амперах (В·А).

Активная мощность включает в свой состав две составляющие: полезно потребляемую мощность, как, например, мощность на валу электродвигателя, и мощность потерь в активных сопротивлениях элементов электрооборудования и линиях. Поэтому активная мощность характеризует необратимый однонаправленный поток электроэнергии от источника к нагрузкам или потребителям.

В цепи с активным сопротивлением r (см. рис. 3.15, а) поток электроэнергии направлен только к потребителю, поэтому активная мощность равна полной мощности:

т. е. вся электроэнергия, отдаваемая потребителю, используется для совершения полезной работы с учетом потерь в сопротивлениях элементов.

87

Рис. 3.17. Треугольники сопротивлений (а) и мощностей (б)

тивную: I 2 x I 2 z sin UI sin Q.

Поэтому справедлива запись

ипоявляется треугольник мощностей (рис. 3.17, б).

Врезультате можно сделать вывод о том, что понятие реактивной мощности (3.103) в теорию электрических цепей введено по формальному признаку, т. е. реактивная мощность, как понятие, является составляющей треугольника мощностей. По любому другому выражению для реактивной мощности Q построить треугольник мощностей было бы невозможно.

3.7.4. Мощность в комплексной форме, или комплексная мощность

Комплексная мощность представляет собой произведение комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока:

ных значений в соотношение (3.107):

89