Sb96063

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

_____________________________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

_____________________________________________________

М. Н. АБРАМОВА В. Г. КАЗАКЕВИЧ Е. А. ТОЛКАЧЕВА

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2017

УДК 517.3(07) ББК В 161.12я7 А16

Абрамова М. Н., Казакевич В. Г., Толкачева Е. А.

А16 Интегральное исчисление функции одной переменной: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2017. 32 с.

ISBN 978-5-7629-2139-8

Содержит материал для самостоятельного изучения студентами раздела учебной дисциплины «Математический анализ», посвященного интегральному исчислению функции одной вещественной переменной.

Предназначенодляорганизациисамостоятельнойработыстудентовзаочной формы обучения по направлениям: «Информатика и вычислительная техника», «Управление в технических системах», «Биотехнические системы и технологии», «Электроника и наноэлектроника».

УДК 517.3(07) ББК В 161.12я7

Рецензенты: кафедра информатики и информационной безопасности ВШ ИТАС САФУ им. М. В. Ломоносова (г. Архангельск); канд. физ.-мат. наук С. Б. Колоницкий (СПбГУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

2

Настоящее издание адресовано студентам заочной формы обучения, поэтому авторы стремились как можно теснее связать теорию и практику. Основная цель – проиллюстрировать на примерах основные методы интегрирования функции одной вещественной переменной.

Программа курса высшей математики для любой инженерной специальности включает в себя в качестве основополагающего раздел, посвященный интегрированию функции одной вещественной переменной. В пособии рассмотрены не только базовые понятия и методы интегрального исчисления функции одной переменной, но и приложения к решению классических «инженерных» задач.

1.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.Определение и свойства неопределенного интеграла

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (a;b) , и существует функция F(x) , такая, что F' (x) = f (x) на этом же интервале. Будем

непосредственным дифференцированием: F(x) c ' F'(x) c' F'(x).

Будем называть неопределенным интегралом от функции f(x) на интер-

вале (a; b) совокупность всех возможных первообразных функции f (x) .

Обозначение: f (x)dx F(x) c, x (a;b), c R.

f (x)dx F(x) c.

Будем называть дифференциалом функции F(x) выражение F'(x)dx и

обозначать d F(x) F'(x)dx f (x)dx.

Простейшие свойства неопределенного интеграла:

1.( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx.

2.cf (x)dx c f (x)dx,c R.

Свойства 1, 2 вместе называются свойством линейности неопределенного интеграла и выводятся непосредственно из свойств производной.

3

3.dF(x) F(x) c.

4.d f (x)dx f (x)dx.

Таблица неопределенных интегралов.

Приведем список простейших неопределенных интегралов, которые выводятся непосредственно из определения и которыми можно пользоваться без доказательства.

x 1

1. x dx 1 c, 1 (интегрирование степенной функции).

Вчастности, exdx ex c .

4.sin x dx cos x c .

5.cos x dx sin x c .

6.cosdx2 x tg(x) c .

7.sindx2 x ctg(x) c .

11.sh(x)dx ch(x) c .

12.ch(x)dx sh(x) c .

4

Замечание. Для эффективного применения таблицы интегралов необходимо использовать сведения, изученные в рамках школьной программы, в том числе свойства степеней и логарифмов. В частности,

1.2. Методы вычисления неопределенного интеграла

Найти неопределенный интеграл означает найти все первообразные подынтегральной функции, т. е. фактически «угадать», производная какой функции находится под интегралом (используется в подынтегральной функции). Для табличных интегралов это не составляет труда. Но большинство интегралов, естественно, не является табличными. Тем не менее, при помощи определенных приемов некоторые интегралы удается свести к линейной комбинации табличных (к сумме с числовыми коэффициентами).

В некоторых случаях вид подынтегральной функции подсказывает, каким приемом можно воспользоваться для вычисления соответствующего интеграла (например, в случае дробно-рациональной подынтегральной функции). В общем же случае выбор приема, который приведет к результату, трудно описать алгоритмически.

Следует отметить, что далеко не любой интеграл можно взять в элементарных функциях, т. е. интеграл легко может оказаться «не берущимся».

Перечислим основные приемы интегрирования, укажем, в каких случаях их выгодно применить, а также разберем некоторое количество примеров.

1.2.1. Замена переменной

рывны, получим: f (x)dx f (g(t)) g'(t)dt . Таким образом, если подынте-

гральная функция имеет вид произведения f (g(t)) g'(t) , то соответствующий

5

лучим, что duu ln u c . Возвращаясь к исходной переменной (u ln x ), по-

лучим окончательный ответ: ln | ln x | c . Полное решение записывается так:

Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе. Его производная сов-

падает с числителем: (x2 3x 7)' 2x 3. Значит, можно сделать замену переменной:

грируем степенную функцию согласно таблице интегралов). Возвращаясь к

6

исходной переменной, так как u x2 3x 7 , получаем окончательный ответ:

1

2(x2 3x 7) 2 c.

1.2.2. Внесение под знак дифференциала

Если подынтегральная функция имеет вид произведения f (g(t))g'(t) , то, помня об определении дифференциала функции d(g(x)) g'(x)dx , можно вне-

Подынтегральная функция имеет сложный аргумент 3x 7 . Внесем его под знак дифференциала: d(3x 7) (3x 7)'dx 3dx .

Таким образом, интеграл принял вид:

7

осталось воспользоваться таблицей интегралов, тогда решение имеет вид:

Итак, «замена переменной» и «внесение под знак дифференциала» – это две интерпретации одного и того же технического приема. Какой из этих двух вариантов использовать – вопрос исключительно удобства решающего.

1.2.3. Интегрирование по частям

Пусть u(x),v(x) – дифференцируемые функции. Тогда u dv uv v du .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Заметим, что применение формулы интегрирования по частям имеет смысл тогда, когдаv du проще, чем исходный.

Рассмотрим примеры типовых интегралов, берущихся с использованием формулы интегрирования по частям.

Пример 7. Вычислить (2x 3)exdx .

Подынтегральная функция – произведение показательной функции и многочлена. В этом случае целесообразно в качестве u(x) выбрать многочлен, а произведение показательной функции на dx – в качестве dv .

(2x 3)ex 2ex c .

Пример 8. Вычислить x sin(2x 1)dx.

Подынтегральная функция – произведение многочлена и одной из следующих функций: sin x , cos x , ln x , arcsin x , arctg x . В этом случае целесообразно в качестве u(x) выбрать многочлен, а произведение одной из перечисленных функций на dx – в качестве dv .

8

личный x 1x dx 1dx x c. Итоговый ответ ln( x)dx x ln( x) x c.

Пример 10. Вычислить 2x cos(7x)dx.

Подынтегральная функция – произведение показательной функции на sin x или cos x . В этом случае формулу интегрирования по частям приходится применить несколько раз.

Получившийся интеграл тоже берется при помощи формулы интегрирования по частям. При этом в качестве u(x) , v(x) нужно выбрать функции того же типа, что и на первом шаге.

9

Итак, по результатам двух шагов:

Получившийся интеграл отличается от исходного умножением на кон-

станту, в данном случае умножением на 49 . Перенесем слагаемое, содерln 2 2

жащее интеграл, в левую часть равенства:

Приведем подобные слагаемые в левой части равенства:

Остается выразить исходный интеграл и добавить в правую часть произвольную константу:

Такие интегралы, сводящиеся к самим себе, называются интегралами циклического типа.

1.2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной называется функция вида f (x) Pn (x) , где Pn (x)

Qm (x)

и Qm (x) — многочлены степеней m и n соответственно. Если m n , то рациональная дробь называется неправильной, если m n , то правильной.

Интегрирование дробно-рациональных функций основано на следующем утверждении: любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и простейших дробей четырех типов.

10