LS-Sb89585

В модели Дебая вместо сложной зависимости ω(k) (2.3), (2.4) принимается линейная аппроксимация (см. рис. 2.1.б)

ω (k) = vзвk, (2.6)

что хорошо описывает зависимость ω(k) на низких (звуковых) частотах. Скорость звука vзв в этом случае находится из соотношения (2.6) по

известной максимальной частоте акустических фононов – частоте Дебая (ωmax = ωD) и соответствующему максимальному значению волнового век-

тора kmax, при этом модуль вектора kmax определяется как

Окончательно для скорости звука (скорости акустических фонов по модели Дебая) получаем:

при T = 300 К; энергию возбуждения оптических фононов считать

где kБ – постоянная Больцмана; T – температура кристаллической решетки.

11

При TD > T имеем N(ωD ) = exp(−TD T ) = exp(− 625300) ≈ 0,135 < 1, т. е. опти-

ческие фононы в Si при 300 K не возбуждаются.

Задача 2.4. Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического кристалла кальция, если a = 5,36 Å, α = 46°.

Для описания свойств волнового вектора служит обратное пространство (или пространство волнового вектора). Связь обратного пространства (обратной решетки) с конфигурационным пространством (прямой решеткой) осуществляется соотношениями

векторы прямой решетки; V – объем элементарной ячейки; a, b, c и a*, b*, c*

–модули базисных векторов прямой и обратной решеток соответственно.

Вромбоэдрической ячейке a = b = c, α = β = γ. Следовательно, согласно (2.8), a* = b* = c*, α* = β* = γ* (углы между базисными векторами обратной решетки).

где R – универсальная газовая постоянная.

Согласно модели Дебая, теплоемкость решетки, в которой могут рас-

12

Случай высоких температур (T >> TD) соответствует (2.9). В случае низких температур (T << TD)

Температура Дебая меди TD = 315 K много больше заданной темпера-

туры эксперимента THe = 4,2 K. Следовательно, для области низких темпе-

ратур справедлива формула определения теплоемкости (2.10), и тогда

ТЕМА 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для характеристики состояния в твердом теле большого числа частиц и квазичастиц, таких как электроны, фононы, дырки, атомы примеси и пр., используют классические и квантовые статистические распределения – статистику Больцмана для классических частиц, статистику Планка для фононов, статистику Ферми–Дирака для электронов и дырок в вырожденном состоянии.

Задачи этой темы способствуют формированию навыков правильного выбора и использования статистики для описания свойств частиц в заданных состояниях, главным образом электронов и дырок в металлах и полупроводниках. Для анализа состояния электронов и дырок студенты могут воспользоваться программой MCAD (П5 в списке прил.).

Задача 3.1. Определить состояние электронного газа в кристалле кремния (n = 1019 м–3 , m* = 0,7m0) в диапазоне температур

T = 77 ... 300 K.

Состояние электронного газа в кристалле может быть вырожденным, т. е. описываться распределением Ферми–Дирака для системы квантовых частиц с полуцелым спином и химическим потенциалом, равным энергии

где – среднее число частиц в соответствии с энергией En при темпера-

туре T; f(En) – функция распределения частиц по состояниям с энергией En .

Если kБT > EF для любого En , то (3.1) переходит в распределение для идеального газа электронов (дырок), которое называется невырожденным и

13

описывается распределением Больцмана по состояниям с энергией En для

Вырожденный электронный газ характеризуется значением параметров Ферми и прежде всего значением энергии Ферми EF.

Изоэнергетическая поверхность в k-пространстве с энергией E = EF

называется поверхностью Ферми. Для свободного электронного газа с концентрацией электронов n и эффективной массой m* поверхность Ферми – сфера с радиусом kF, при этом

Используя критерий вырождения, в нашем случае для заданной концентрации электронов при Т = 77 К имеем слабо вырожденный электронный (дырочный) газ, который при повышении температуры до 300 К становится вырожденным и описывается распределением Ферми–Дирака (3.1).

ТЕМА 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ (ЗОННАЯ СТРУКТУРА)

Для описания поведения электронов в кристалле воспользуемся вероятностными законами квантовой механики и так называемым квазиклассическим приближением. Критерием выбора является соотношение между длиной волны де Бройля для частицы λБр и характерным геометрическим размером системы, например, постоянной решетки a.

Соотношение де Бройля сопоставляет свободную частицу с энергией E

14

Если λБр становится соизмеримой с a, частица описывается законами

dt

где Ĥ – оператор полной энергии.

Для характеристики частицы в пространстве необходимо решить уравнение Шредингера

и найти энергетический спектр, т. е. зависимость энергии частицы от волнового вектора k – волновой функции Ψ(r).

Задача 4.1. Найти длину волны де Бройля для электронов, если ускоряющее напряжение в электронном микроскопе равно 50 В.

Для частицы в ускоряющем электрическом поле с потенциалом V соот-

Тогда для свободного электрона с массой m0 и зарядом e имеем:

Задача 4.2. Найти энергетический спектр E(k) и волновую функцию Ψk(r) для свободных электронов.

Для свободной частицы V(r) = 0 и уравнение Шредингера (4.2) имеет

Энергия свободных электронов связана со значениями модуля волнового вектора k параболической зависимостью

E(k ) = 2k2 . 2m0

Задача 4.3. Определить вид энергетического спектра для электронов в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими

15

стенками и плоским дном. Найти энергию второго квантового состояния, если ширина ямы a = 5Ǻ, m = m0.

Для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и плоским дном из решения (4.2) находим:

Задача 4.4. В приближении слабой1 связи определить концентрацию электронов в кубических кристаллах из условия касания сферы Ферми и зоны Бриллюэна в обратном пространстве (a = 3Ǻ).

Потенциальное поле кристалла V(r) можно аппроксимировать повторяющимися с периодом a потенциальными барьерами заданной высоты. Решение уравнения Шредингера (4.2) в этом случае приводит к зависимости E(k) в виде повторяющихся разрешенных (РЗ) и запрещенных (ЗЗ) зон значений энергии электронов (рис. 4.1).

Функция E(k) имеет разрывы в точках, где k ‒ модуль волнового векто-

ра k, равен ks = ±S a (S – положительное целое число) и описывается вы-

ражением

E(k ) = 2k 2 . 2m

Для изотропных кристаллов кубической сингонии зона Бриллюэна представляет собой куб со стороной 2π/a. Для 1-й зоны Бриллюэна (s = 1) kБр = ±π/a (рис. 4.2).

Поверхность Ферми для слабо связанных (свободных) электронов есть сфера, радиус которой kF связан с концентрацией электронов n зависимо-

16

Задача 4.6. Указать правильное соотношение между эффектив-

ными массами электронов в состояниях с модулями волновых векторов kA, kB для заданного энергетического спектра E(k) (рис. 4.3).

Рассматриваемый энергетический спектр E(k) имеет три ветви: вырожденные E1(k) и E2(k) и двухдолинный E3(k). Поведение электронов в кри-

Для изотропного кристалла эффективная масса m* – скалярная величина. В общем случае необхо-

димо использовать тензор обратной эффективной массы. Из (4.5) следует, что эффективная масса прямо пропорциональна радиусу кривизны

17

и m*1(kA) < 0, m*2(kA) < 0, т.е. для выпуклых экстремумов E(k) мы определя-

ем эффективную массу дырок. Для двухдолинной ветви E3(k), используя

(4.5), получаем

m*3(kA) < m*3(kB); m*3(kA) > 0; m*3(kB) > 0,

т. е. в первой долине при k = kA электроны более легкие, чем во второй долине при k = kB.

ТЕМА 5. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Для качественного описания кинетических явлений используют элементарный кинетический метод, в котором носители электрического заряда электроны (дырки) и носители тепла фононы рассматриваются как свободные частицы, при этом расчет ведется по отношению к одной частице, движущейся свободно между двумя последовательными столкновениями с различными рассеивающими центрами, с последующими усреднением по всем частицам. Согласно этой теории с учетом квантовых представлений, определяющих эффективную массу носителя заряда m", для электропроводности твердых тел пользуются выражением:

где: n0 - концентрация электронов; τ – время свободного пробега электрона

(время релаксации). Электропроводность материала может быть вычислена также по формуле

σ = enµ,

где использовано соотношение между средним временем свободного пробега τ и подвижностью носителей заряда µ = e/m*τ. Подвижность носителя заряда µ численно равна скорости дрейфа vдр в электрическом поле еди-

ничной напряженности ε.

Для решения задач этой темы студенты могут воспользоваться программами MCAD (см. список прил. П6, П7 и П8).

Задача 5.1. Рассчитать удельное сопротивление и теплопроводность алюминия в диапазоне температур T = 77 ... 400 К, если измеренное удельное сопротивление образца при Т = 0 ° С составляет

2,45 мкОм·см и концентрация электронов n0 = 1029 м–3 .

Для Al (см. Прил.1) находим a = 4,05 Ǻ, TD = 394 K, Tпл = 933 K.

Процессы рассеяния электронов в твердом теле можно подразделить на несколько видов, из которых в данной задаче будем рассматривать два:

18

рассеяние электронов на фононах (тепловых колебаниях решетки) и рассеяние электронов на дефектах структуры.

Рассеяние электронов на фононах по-разному зависит от температуры. Общее выражение для электропроводности, справедливое во всем температурном диапазоне, дается следующими соотношениями Бло-

ха‒Грюнайзена:

где Rп – приведенное идеальное сопротивление; z = hω/2πkT; x = TD /T.

Приведенные соотношения позволяют определить электропроводность металла в двух предельных случаях: T >> TD и T << TD (TD – температура Дебая), используемых на практике для расчета.

При высоких температурах T >> TD процесс рассеяния носит упругий характер, и средняя длина свободного пробега λ(T) определяется простой приближенной формулой:

где: Tпл – температура плавления; a – параметр решетки материала.

характер рассеяния становится неупругим и λ(T) имеет

вид:

Соотношения (5.2), (5.3) позволяют приближенно оценить длину свободного пробега, определяемую рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки (фононах). На рис. 5.1 представлены графики зависимости λ1(T) и λ2(T), рассчитанные по формулам (5.2) и (5.3) соответственно для Al.

Штрихами (×) выделен график результирующей зависимости λ(T).

скорость Ферми; h – постоянная Планка.

Время релаксации при рассеянии электронов на дефектах структуры в металле τd не зависит от температуры.

19