vhMX313VgM

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

П. А. КОШЕЛЕВ С. В. ПАРАМОНОВ

КОМПЬЮТЕРНО-ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ (ЭТК)

Часть 1

Линейные динамические системы

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2016

1

УДК 621.3.011.71: 621.3.011.73(07) ББК З29-5с11я7

К76

Кошелев П. А., Парамонов С. В.

К76 Компьютерно-информационные технологии анализа и синтеза электротехнических комплексов (ЭТК): в 2 ч. Ч. 1. Линейные динамические системы: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2016. 34 с.

ISBN 978-5-7629-2031-5 (ч. 1)

ISBN 978-5-7629-2029-2

Описаны методы анализа, синтеза и оптимизации параметров элементов электротехнических устройств и комплексов.

Методы и алгоритмы основаны на фундаментальных законах электротехники и реализованы в современных пакетах программ символьных и численных вычислений.

УДК 621.3.011.71: 621.3.011.73(07) ББК З29-5с11я7

Рецензенты: кафедра электротехники ИФМО; канд. техн. наук В. С. Федорова (ПГУПС Императора Александра I).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

2

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПАКЕТЕ MAPLE

1.1. Некоторые особенности синтаксиса [1], [2]

Порядок ввода выражения: имя переменной (произвольно, латинским шрифтом, не начинать с цифры): знак присваивания (:=), выражение, знак окончания. Если этот знак (;) – выражение выводится на экран в удобном для наблюдения виде. Если (:) – вывод блокируется. Прописные и строчные буквы различаются.

Символы I, J, E, D зарезервированы. Например, I – мнимая единица. Не следует использовать их в другом контексте.

Текст программы начинается с оператора restart: (очистка памяти). Для выполнения программ используется меню:

Edit →Execute→Worksheet. Комментарий – значок #, правее которого текст и операторы не воспринимаются.

Maple – система компьютерной математики, рассчитанная на серьезного пользователя.

До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, что указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система.

Эта система способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

По мере распространения Maple становится полезной для многих пользователей ПК, вынужденных в силу обстоятельств (работа, учеба, хобби) заниматься математическими вычислениями и всем, что с ними связано.

Все это простирается от решения учебных задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств и даже применения системы в математической художественной графике. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например MATLAB и MathCAD, для реализации в них символьных вычислений.

Maple – интегрированная система. Она объединяет в себе:

–мощный язык программирования (он же входной язык для интерактивного общения с системой);

–редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

–современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

3

–мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

–ядро алгоритмов преобразования математических выражений;

–программные численный и символьный процессоры;

–систему диагностики;

–библиотеки встроенных и дополнительных функций;

–пакеты расширений и применений системы.

–вывод графиков в отдельных окнах или в окнах документа;

–представление выходных и входных данных в виде естественных математических формул;

–задание текстовых комментариев различными шрифтами;

–возможность использования гиперссылок и подготовки электронных документов;

–удобное управление с клавиатуры, с помощью главного меню и инструментальной панели.

1.2. Символьные и численные вычисления

Дифференцирование функций, численное и аналитическое интегрирование, вычисление пределов функций, разложение функций в ряды, вычисление сумм и произведений, интегральные преобразования Лапласа, Фурье и др., дискретные Z-преобразования, прямое и обратное быстрое преобразование Фурье, работа с кусочно-заданными функциями.

1.3.Численное и символьное решение уравнений

Впакете заложено:

–решение систем линейных и нелинейных уравнений;

–решение систем дифференциальных уравнений;

–символьное вычисление рядов;

–работа с рекуррентными функциями;

–решение трансцендентных уравнений;

–решение систем с неравенствами;

–вычисление элементарных и специальных математических функций и множество других действий.

В примере (Приложение) выполняются следующие действия. Решение нелинейного алгебраического уравнения

eq1:=a*x^2+b*x^4+c*x^3+d*sin(x)+e*exp(-x)+1=0, проверка тождествен-

ности решения с помощью оператора подстановки.

4

Некоторые операции с матрицами: ввод матриц, вычисление обратной матрицы, умножение.

Прямое и обратное преобразования Лапласа выражения ex1:= (A*sin(x)+B*ln(x))*C*(exp(-K*x))^3+1.

2-мерная и 3-мерная графика.

Декартова и полярная системы координат.

Построение графиков нескольких функций в одной системе координат. Текст программы с пояснениями (комментариями) в Приложении. Данный текст может быть скопирован в пакет MAPLE и, после присвое-

ния имени с расширением mw, выполнен как программа.

Перед выполнением программы для раскрытия выражений и (или) для визуализации графиков следует заменить знак (:) на (;).

Операторы и тексты следует вводить построчно, выполняя проверку синтаксиса, пример в тексте программы (Приложение).

1.4. Связь между дифференциальным уравнением и операторным изображением сигналов электрической цепи

В примере схема цепи (рисунок) содержит источник ЭДС, ключ, активное и реактивное сопротивления. Расчетная схема описывается интегродифференциальным уравнением (1.1).

SW R L

C

Е

5

Общие выражения для прямого и обратного преобразований Лапласа:

с – любое положительное число; р – оператор Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа (нахождение оригинала функции) находится интегрированием изображения на комплексной плоскости, что является сложной задачей.

На практике обратное преобразование Лапласа основано на теореме разложения (формуле Хевисайда), соответствующий алгоритм используется в пакетах MAPLE, MATLAB и др.

Для физически реализуемых систем изображение сигнала – дробнорациональная функция (отношение полиномов с переменной р):

Функция (1.7) представляется в виде суммы простых дробей:

k – коэффициенты разложения. Числитель и знаменатель (1.8) могут быть разложены на двучлены (1.9):

Здесь z – нули H(р), или корни уравнения A( p) 0.

Оригиналом изображения в виде простой дроби является экспоненциальная функция (1.10):

6

Решение нелинейного алгебраического уравнения B( p) 0 обычно не

вызывает затруднений (в программе MAPLE оператор solve, в программе

MATLAB – roots).

В левой части (1.12) – текущее значение коэффициента разложения, а в правой – неопределенность.

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя.

Из сравнения (1.11) и (1.13) следует, что производная многочлена в точке получается, если исключить из знаменателя (1.9) сомножитель p pi , а текущее значение коэффициента разложения находится при подстановке в оставшееся выражение значения pi .

Выражение (1.13) – рекуррентное соотношение, т. е. вычисляется последовательно для каждого полюса и, соответственно, для каждого коэффициента. В современных программах обратное преобразование Лапласа возвращается при помощи одного оператора:

В пакете MAPLE – оператор invlaplace, в пакете MATLAB операторы impulse.

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (САУ) ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ К ДИНАМИЧЕСКОМУ ЗВЕНУ С ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

Некоторые положения теории направленных графов. Анализ САУ в па-

кете Maple.

Направленным графом называется топологическая фигура, состоящая из направленных ветвей и вершин (узлов).

7

Одиночная ветвь графа проходит от вершины i к вершине j (рис. 2, а).

Вершина, в которую не входит ни одна ветвь, называется истоком, а вершина, из которой не исходят ветви – стоком графа.

Фактически направленный граф является топологическим представлением системы линейных алгебраических уравнений.

Каждой вершине приводится в соответствие сигнал Xi, Xj…, а каждой ветви – коэффициент Kij = Xj/Xi, называемый передачей ветви, и единственное направление прохождения сигнала, обозначаемое стрелкой.

Исходящие ветви не влияют на сигнал в вершине (рис. 2.1, б), (2.1): Всякий направленный граф может быть заменен одиночной ветвью с эк-

вивалентной передачей Ke. Например, граф на рис. 2.1, в описывается системой уравнений (2.2):

и может быть заменен одиночной ветвью с вершинами X1 и X3 и эквивалентной передачей Ke (2.3):

Правила эквивалентных преобразований направленных графов связаны с громоздкими вычислениями.

До появления компьютерных технологий приходилось выводить многоэтажные дроби «вручную».

Современные вычислительные технологии, программные средства и аппаратура позволяют свести подобные процедуры к простым действиям.

Рассмотрим эквивалентное преобразования графа или его части произвольной конфигурации.

8

Пусть граф имеет n + 1 вершину с сигналами X0, X1,…, Xn, один из которых (X0) является входным и присутствует в истоке (узле) с номером 0.

В общем случае передачи существуют между всеми вершинами. Передачи с одинаковыми индексами соответствуют петлям, которые в

принципе могут присутствовать в вершине. Тогда сигналы в узлах (вершинах) (2.4):

Здесь Ki с одним индексом означает передачу эквивалентной ветви из истока в i-ю вершину графа с учетом полной его структуры; K0i – известные (задающие) передачи одиночных ветвей из истока в i-ю вершину.

Интерес представляют именно значения или выражения для Ki; например, если выход некоторой системы соответствует вершине графа с номером n, то Kn имеет смысл коэффициента передачи этой системы от входа к выходу (от истока к стоку).

Система линейных алгебраических уравнений в матричной форме

[K0] = [T] [K], где в левой части уравнений [K0] – вектор известных

(задающих) передач; [T] – матрица известных взаимных передач ветвей, [K] – вектор искомых эквивалентных передач из истока в прочие узлы.

–вершины графа нумеруются от 0 до n, причем нулевой номер присваивается истоку;

–для матрицы [T] составляется квадратная таблица n × n; в главную диагональ записываются разности между 1 и передачей петли текущей вершины (если петли нет, записывается 1);

–в остальные ячейки записываются значения или выражения элементарных передач со знаком «–», причем на пересечении i-й строки и j-го столбца вписывается передача из j-й вершины в i-ю (если передачи нет, записывается 0);

9

– в вектор-столбец [K0] задающих передач записываются со своим знаком передачи из нулевой вершины (истока) в i-ю, где i – номер строки векто-

ра (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Структурная схема САУ приведена на рис.2.3, соответствующий граф – на рис. 2.4.

3

W3((p) W2((p)

W2

3

Рис. 2.4

Матрица взаимных передач для этой системы на рис. 2.5, а, вектор задающих передач на рис. 2.5, б.

Рис. 2.5

10