Sb94863

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

–––––––——————————–––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

————————————————————

А. В. МОРОЗОВА

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2016

1

УДК 51(07)

ББК В1я7

М 80

Морозова А.В.

М80 Введение в математику: учеб.-метод. пособие для подготовительных курсов для иностранцев СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2016. 32 с.

ISBN 978-5-7629-1925-8

Рассмотрены основные темы и терминология курса математики. Приведены формулы, примеры решения элементарных задач по алгебре и теории множеств. Может быть использовано для организации работы на практических занятиях.

Предназначено для иностранных студентов и преподавателей подготовительного отделения.

Рецензент – канд. физ.-мат. наук С. Б. Колоницкий (СПбГУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

2

Математические символы и некоторые понятия математической системы

Определение: теорема – это утверждение, истинность которого выведена только на основе определений, свойств и ранее полученных утверждений с помощью логических правил.

Определение: доказательство теоремы – это вывод, с помощью кото-

рого получена истинность утверждения.

3

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания предназначены иностранным слушателям центра довузовской подготовки СПбГТЭУ «ЛЭТИ» на начальном этапе изучения русского языка.

Основной целью данного издания является подготовка слушателей к восприятию математики и других технических дисциплин на русском языке.

Изложение материала начинается с самых элементарных математических понятий в их максимально упрощенном варианте. Определения и строгие теоретические построения часто сопровождаются пояснениями и примерами. Это позволяет учесть некоторое несовпадение исходного уровня знаний математики у слушателей, прибывших из разных стран. Тем, кто имеет достаточную математическую подготовку, указания будут полезными для освоения математической лексики.

Слушателям рекомендуется для лучшего усвоения материала и повышения эффективности самостоятельной работы составлять для себя словарьсправочник терминов, используемых при изучении математики на неродном языке. Эти слова и словосочетания в тексте выделены жирным шрифтом. Рекомендуется также выполнять задания, приведённые в данных методических указаниях и отвечать на вопросы, сформулированные в конце каждой главы.

ГЛАВА I. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

ИОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

1.МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1.1.Понятие множества

ВXIX в. немецкий математик Георг Кантор (1845–1919) создал новую область математики – теорию бесконечных множеств. Через несколько десятилетий почти вся математика была перестроена на теоретико-множествен- ной основе. Понятие множества в математике является первичным, не определяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геометрии, и к более простым понятиям не сводится.

Множество – это совокупность объектов, которые объединяют по определённому признаку (множество студентов группы, множество букв алфавита, множество натуральных чисел и т. д.).

Элементы множества – это объекты, из которых состоит множество.

4

Множества обозначают заглавными латинскими буквами A, B, C, ..., элементы обозначают строчными буквами a,b,c, ....

Читают: «множество A состоит из элементов a,b,c ». Пишут:

A a,b,c .

Читают: «элемент a принадлежит множеству A ». Пишут: a A. Читают: «элемент x не принадлежит множеству A ». Пишут: x A. Конечное множество – множество, которое состоит из конечного числа

элементов. Бесконечное множество – множество, которое не является конечным. Пустое множество – это множество, которое не содержит элементов. Пишут O .

Множество можно задать, если перечислить все его элементы. Пример: A a , B 1,2 . Множества A и B – это конечные мно-

жества.

Множество можно задать, если указать свойство его элементов – харак-

теристическое свойство.

Читают: «множество C состоит из элементов x таких, что x больше единицы». Множество C – это бесконечное множество, так как состоит из

бесконечного числа элементов. Пишут: C x x 1 .

Читают: «множество A состоит из элементов a,b,c и так далее».

Пишут: + a,b,c,... .

Определение: множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Читают: «множество А содержится в множестве В или А подмножество В». Пишут: A B .

Пример: множества 1 , 2 , 1,2 , O – это подмножества множества A 1,2 . Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение: множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Читают: «множество А равно множествуB ». Пишут: A B . Пример: множества А 1,2,3 и B 2,3,1 равны.

Из определений подмножества и равенства множеств следует, что, если A B , то A B и B A . Если A B и B A , то A B . Это эквивалентно записи: A B A B B A .

5

Диаграммы Эйлера–Венна – это удобный инструмент, который позволяет изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Множества в диаграммах Эйлера–Венна изображаются внутренними частями кругов, их пересечениями, объединениями и т. д.

1.2. Действия над множествами

Пусть даны два множества A и B . Над ними можно выполнять следующие действия (операции): пересечение множеств, объединение множеств, вычитание множеств.

I. Пересечение множеств (произведение)

Определение: пересечение множества A и множества B – это множество, которое состоит только из общих элементов множества A и множества B .

Читают: «Пересечение множества A и множества B состоит из элементов x таких, что x принадлежит множеству A и x принадлежит множеству

B ». Пишут: A B x x A x B .

Слева на рис.1.1 множество A B заштриховано, а справа A B O .

Рис.1.1

Примеры:

1.Если A 1,2,3,4,5 , B 1,3,5,7,9 , то A B 1,3,5 .

2.Если C a,b,c , D m,n , то C D O .

Свойства пересечения множеств:

1.A B B A (свойство коммутативности);

2.A O O;

3.A A A ;

4.Если A B , то A B B A .

Аналогично можно определить пересечение трёх, четырёх и любого ко-

нечного и бесконечного числа множеств. Пересечение трёх множеств A, B,C обозначают A B C .

6

Определение: пересечение конечного числа множеств Ai обозначают

Определение: объединение множества A и множества B – это множе-

ство, которое состоит из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы

Рис. 1.2

Примеры:

1. Если A 1,3,5 и B 2,4,6 , то A B 1,2,3,4,5,6 .

7

2. Если C a,b,c и D m,n , то C D a,b,c,m,n .

Свойства объединения множеств:

1.A B B A (коммутативное свойство);

2.A O A ;

3.A A A ;

4.Если A B , то A B B .

III. Разность множеств (вычитание)

Определение: разность множества A и множества B – это множество,

которое состоит из всех тех элементов множества A , которые не принадлежат множеству B .

B – это множество A \ B B \ A . Пишут A B .

IV. Дополнение множества

Определение: универсальное множество U – множество, у которого все рассматриваемые множества являются его подмножествами. При использовании диаграмм Венна универсальное множество U представляют в виде прямоугольника.

Определение: дополнение множества A – это множество элементов универсального множества U ,

8

Теорема 1.1. Для произвольных множеств А и В справедливо равенство

1.Пусть а (А В)', тогда по определению дополнения множества получим

а(А В) (а А) (а В) (а Ā) (а В') а ( Ā В').

2.Покажем, с помощью диаграмм Эйлера–

А (В С) = (А В) (А С) (свойства дистрибутивности). 2. А (В С) = (А В) С;

А (В С) = (А В) С (свойства ассоциативности).

Доказательство. 1. Пусть а (А (В С)), тогда по определению пресечения множеств получим (а А) (а (В С)) (а А) ((а В) а С) ((а А) (а В)) ((а А) (а С)) (а (А В)) (а (А С)) а ((А В) (А С)).

2. Доказать самостоятельно. ■ Свойства множеств, сформулированные в приведенных теоремах, могут

быть проверены методом формальных доказательств или на диаграммах Венна–Эйлера.

Переведите на родной язык и выучите слова:

множество; пересечение;

9

2. МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ И ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

2.1. Арифметические операции (действия)

Рассмотрим четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (табл. 1).

Свойства действий:

иумножения;

3.a b c a c b c, a b : c a : c b : c.

10