Sb94863

Напомним, что если в примере есть сложение, вычитание, умножение и деление, то сначала выполняют по порядку слева направо умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Если в примере есть действия в скобках, то они выполняются первыми.

Определение: число a разделить на число b b 0 с остатком – озна-

чает представить число a в виде a bq r , где 0 r b. . Число q называют

неполным частным, r – остаток от деления a на b. Еслиr = 0, то говорят, что a делится на b без остатка или число a кратно числу b.

2.2. Множество натуральных чисел

Цифрами называют знаки 0, 1, 2, 3, 4,…, 9.

Натуральные числа – это числа, которые используют для счёта предметов.

Читают: « N – множествонатуральныхчисел». Пишут: N 1,2,3,...,n,... .

Число 0 – не натуральное число: 0 N . Множество N – это бесконечное множество. Над натуральными числами можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Для элементов множества натуральных чисел N справедливы свойства операций сложения и умножения.

Свойства:

1. m n n m ; 2. m n n m ;

3. m n k m n k ;

4. m n k m n k ;

5. m n k m n m k – дистрибутивное свойство.

Эти свойства лежат в основе любых вычислений.

Определение: натуральное число, которое делится только на 1 и на себя, называют простым.

Пример: 17– простое число, так как оно имеет только два делителя: 1 и 17. Определение: числа, которые имеют больше двух делителей, называют

составными.

Пример: 35 – составноечисло, таккаконоимеетчетыределителя: 1, 5, 7, 35. 1 – это не простое и не составное число.

Любое составное число можно разложить на простые множители.

Пусть а – составное число, тогда a p q, где p,q – простые числа.

11

Пример: пусть даны два числа 24 и 36. Разложим эти числа на простые множители: 24 = 2·2·2·3 и 36=2·2·3·3. У числа 24 простые множители – числа

2 и 3. Числа 2, 3, 4, 6, 12 – это общие делители чисел 24 и 36. Наибольший общий делитель (Н.О.Д.) чисел 24 и 36 равен произведению общих делите-

лей: Н.О.Д. (24, 36) = 2·2·3 = 12.

Если Н.О.Д. (а, b) = 1, то числа а и b называют взаимно простыми. Например, числа 11 и 12 – взаимно простые, так как Н.О.Д. (11, 12) = 1.

Пример: пусть даны два числа 15 и 18. Разложим эти числа на простые множители: 15 = 3·5 и 18 = 2·3·3. Наименьшее общее кратное (Н.О.К.) чи-

сел равно произведению всех делителей, в котором каждый общий делитель записывают один раз: Н.О.К. (15, 18) = 2·3·3·5 = 90.

2.3. Множество целых чисел

Положительные числа – числа больше нуля.

Читают: « n больше нуля» или « n – положительное число». Пишут: n 0.

Отрицательные числа – числа меньше нуля.

Читают: « n меньше нуля» или « n – отрицательное число». Пишут: n 0 .

Множество Z ..., 3, 2, 1 – множество отрицательных целых

есть Z Z Z .

Числа n и n – противоположные числа.

Четные числа – числа, которые делятся на 2 без остатка (четное число – 2, 4, 6, ..., 2m , где m – целое число).

Нечетные числа – числа, которые не делятся на 2 без остатка (нечетное число 1, 3, 5, ..., 2m 1, 2m 1, где m – целое число).

12

Множество N натуральных чисел – подмножество множества Z целых чисел: N Z . На множестве целых чисел операции сложения, умножения и вычитания выполняются всегда.

Если a Z , b Z, то a b Z , a b Z и a b Z.

Для умножения и деления целых чисел введём правило знаков: если a,b 0, то

a b a b a b и a b a b ;

a :b a : b a :b и a : b a :b .

Алгебраическая сумма – это запись произвольного выражения в виде: –5+7–8–12+19–9 –80 = (–5)+7+(–8)+(–12)+19+(–9)+(–80).

2.4. Модуль действительного числа Модуль или абсолютная величина числа a – это

Переведите на родной язык и выучите слова:

13

абсолютнаявеличиначислаa; наименьшее общее кратное (Н.О.К.);

3.МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

3.1.Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби

Обыкновенная (простая) дробь – это число вида mn , где m Z , n N ;

m – числитель дроби, n – знаменатель дроби.

При чтении числителя, вы отвечаете на вопрос «Сколько?», а при чтении знаменателя, отвечаете на вопрос «Каких?»

Пишут: 52 , читают: «две пятых» ( сколькокаких?? ).

Основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, не равное нулю

По основному свойству дроби любую дробь можно заменить другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену (операцию) называют сокращением дроби.

Сократить дробь – это значит разделить числитель и знаменатель дро-

в числителе три умножить на двенадцать, в знаменателе четыре умножить на двенадцать, равно три четвертых».

14

Пример: пусть даны две дроби 52 и 73 . Дроби имеют разные знаменатели

5 и 7. По основному свойству дроби можно заменить их другими, равными им, но с одинаковыми знаменателями. Такую замену называют приведением дробей к общему знаменателю:

числа, тогда наименьший общий знаменатель равен 5·7 = 35. 52 1435 и 73 1535.

Если b и d – любые числа, то наименьший общий знаменатель равен Н.О.К. (b,d).

Пример: дроби 152 и 353 имеют знаменатели 15 и 35. Тогда наименьший

«пять целых три пятых». Эту операцию называют выделением целой части.

15

Число 5 53 называют смешанным числом, 5 – это целая часть, 53 – дробная

часть, 3 – остаток.

Любую неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа.

3.2. Десятичные дроби

Дробь, знаменатель которой равен 10, 100, …, называют десятичной.

Примеры:

1.103 0,3. Читают: «нуль целых три десятых».

2.10011 0,11. Читают: «нуль целых одиннадцать сотых».

3.100047 0,047. Читают: «нуль целых сорок семь тысячных».

Цифры, которые стоят справа от запятой, называют десятичными знаками. Число 0,11 имеет два десятичных знака. Число 0,047 имеет три десятичных знака. Величина десятичной дроби не изменится, если справа припи-

Дробь31,11… называютбесконечнойпериодическойдесятичнойдробью.

Пишут: 31,11... 31 1 . Читают: «тридцать одна целая, один в периоде». 1 – это период.

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого нужно числитель разделить на знаменатель.

Любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Пример: Пусть x = 0,(246) = 0,246246…246…

1000x = 246,246…246…= 246+0,246246…246…= 246 + x

999x = 246

16

x = 999246 .

3.3. Множество рациональных чисел

Множество, которое состоит из положительных и отрицательных целых чисел, дробных чисел и числа 0, называют множеством рациональных чи-

сел и обозначают Q. Пишут: Q = {x | x = mn , m Z, n N}.

Множество N есть подмножество множества Z, а множество Z есть подмножество множества Q. Пишут: N Z Q.

На множестве рациональных чисел операции сложения, умножения, вычитания и деления выполнимы всегда, то есть,

если a Q, b Q, то (a + b) Q, (a – b) Q, (a · b) Q, (a : b) Q, b 0.

Для любых a,b,c Q справедливы следующие свойства.

Свойства:

1.a + b = b + a – коммутативное свойство сложения;

2.a + (b + c) = (a + b)+c – ассоциативное свойство сложения;

3.a + 0 = a;

4.a Q b Q такое, что a + b = 0. Число b – это число противоположное числу a, его обозначают (–a).

5.a b =b a – коммутативное свойство умножения;

6.a (b c) = (a b) c – ассоциативное свойство умножения;

7.a (b + c) = a b + a c – дистрибутивное свойство;

8.a 1 = a;

3.4. Множество иррациональных чисел

Бесконечная непериодическая десятичная дробь – это иррациональное число.

Пример: 2 = 1, 41421356; π = 3,14159… – это бесконечные непериодические десятичныедроби. В этих числах нет периодичности в десятичных знаках.

Множество иррациональных чисел Ι – это множество всех бесконеч-

ных непериодических десятичных дробей.

17

Переведите на родной язык и выучите слова:

объединение множества рациональных и иррациональных чисел. R Q I . Числовые множества связаны соотношениями N Z Q R.

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

4.1. Числовая прямая

Числовая прямая (числовая ось) – прямая, на которой изображают действительные числа. На прямой выбирают начало отсчета (точка O ),

единичный отрезок (отрезок, длина которого равна единице) и положи-

тельное направление (направление от точки O к выбранной на прямой точке A ). Направление от точки A к точке O называют отрицательным направлением (рисунок).

18

A можно поставить в соответствие единственное число из R ( A ! x R). Для любого числа x из R можно поставить в соответствие единственную точку A прямой ( x R ! A ).

Следовательно, есть взаимно однозначное соответствие между множе-

ством R и множеством точек числовой прямой . Множество действительных чисел называют числовой прямой, а числа множества – это точки прямой. Числовая прямая – это R = {x | x R} = (– ; + ).

Читают: «Интервал от минус бесконечности до плюс бесконечности». Пишут: R или (– ; + ).

4.2. Числовые интервалы

Подмножества множества действительных чисел называют числовыми интервалами. Числовые интервалы можно записать в виде числовых неравенств, интервалов или изобразить на числовой прямой. (табл. 2)

Таблица 2

Переведите на родной язык и выучите слова:

19

5. ПРОПОРЦИЯ

Частное a:b (или ba ), где a R, b R, b ≠ 0 – это отношение.

Определение: пропорция – это равенство двух отношений a : b = c : d или ba dc , где a, b, c, d R, b 0, d 0. Здесь a, b, c, d – это члены пропорции

(a, d – крайние члены пропорции; b, c – средние члены пропорции). Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропор-

ции равно произведению средних членов пропорции: ba dc a d b c .

Примеры: 1) 63 105 6 5 3 10 30 30 .

2) Решить пропорцию: x : 6 5: 3

Решение. Чтобы решить пропорцию нужно найти неизвестный член пропорции x. По свойству пропорции получим:

3 x 6 5 3 x 30 x 30 : 3 x 10.

Ответ: x = 10.

6. ПРОЦЕНТЫ

Одна сотая часть (0,01) числа А – это один процент (1 %) от числа А.

Задачи на проценты:

1. Найти число x, если р % от числа x равны B.

Решение. Пусть x – 100 %, B – p % . Тогда x = 2. Найти число x, которое равно р % от числа А.

20