Sb97281

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

А. Ю. ПЕЧЕНКОВ С. А. ГАЛУНИН

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

И МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2018

УДК 621.365.5

ББК 31.2

П31

Печенков А. Ю., Галунин С. А.

П31 Решение задач электростатического поля и магнитного поля постоянного тока: учеб.-метод. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ»,

2018. 24 с.

ISBN 978-5-7629-2282-1

Содержит решения типовых задач электростатического поля и магнитного поля постоянного тока.

Предназначено для подготовки магистров по направлению 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника» по программе «Электротехнологии», а также может быть полезно студентам других специальностей.

УДК 621.365.5

ББК 31.2

Рецензент канд. техн. наук В. С. Федорова (ПГУПС Императора Александра I).

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

Решение:

1. Чтобы найти напряженность поля в требуемой точке, необходимо определить сначала компоненты напряженности электрического поля в этой точке.

Составляющие E1 и E2 вектора напряженности электрического поля E в требуемой точке действуют по прямым, соединяющим исследуемую точку с зарядами Q1 и Q2. Направление векторов E1 и E2 выбирается исходя из того, что в исследуемой точке находится единичный положительный заряд.

Чтобы найти E1 и E2, надо сначала найти расстояния r1 и r2. Поскольку треугольник 2 см; +3 см; +2 см равнобедренный, то r1 = r2. Тогда из прямоугольного треугольника 0 см; +3 см; +2 см находим, что

r12 r22 2 10 2 2 310 2 2 1310 4 м.

Значения составляющих напряженности электрического поля в исследуемой точке:

3

В векторной форме имеем: E1 = 69,2 В/м; E2 = 276,8 В/м. Результирующая напряженность электрического поля находится из ре-

шения треугольника с углом 2 напротив гипотенузы E. Углы 2 и 1 равны: 2 = 1 = . Для нахождения угла найдем сначала косинус его половины:

Отсюда получаем, что = 2 arccos (0,832) = 2 33,7 = 67,4 . С помо-

щью теоремы косинусов находим модуль результирующей напряженности электрического поля в исследуемой точке:

EE12 E22 2 E1 E2 cos

69,22 276,82 2 69,2 276,8 cos67,4 258,3 В/м .

2. Точка, в которой напряженность электрического поля равна нулю, может находиться только на прямой, соединяющей заряды, причем правее заряда Q1. Обозначим это расстояние через l.

Учитывая, что заряд Q2 по абсолютному значению в 4 раза больше заряда Q1, можем записать:

Решив полученное квадратное уравнение, находим, что l = 0,04 м. Следовательно, координата x = 0,02 + 0,04 = 0,06 м, а координаты найденной точки (6; 0; 0).

Задача 1.2. Следующая векторная функция дает возможное электростатическое поле: Ex = 6xy; Ey = 3x2 – 3y2; Ez = 0. Вычислите линейный интеграл от E от точки (0, 0, 0) до точки (x1, y1, 0) вдоль пути, который идет прямо от

4

точки (0, 0, 0) до точки (x1, 0, 0) и оттуда в точку (x1, y1, 0) (рис. 1.2). Вычислите такой же путь, который идет вдоль двух других сторон четырехугольни-

ка через точку (0, y1, 0). Сделайте вывод о право-

y

точки (0, 0, 0) до (x1, 0, 0) и оттуда в точку (x1, y1, 0), находится следующим образом:

Линейный интеграл от E по пути, который идет вдоль двух других сторон четырехугольника через точку (0, y1, 0) находится аналогично найденному ранее:

Так как в обоих случаях получен одинаковый результат, то предложенная векторная функция может описывать электростатическое поле.

5

Компоненты заданного поля получены: Ex = 6xy; Ey = 3x2 – 3y2; Ez = 0. Задача 1.3. Вычислите компоненты вектора E и покажите, что век-

торная функция, определенная в задаче 1.2, является возможным электростатическим полем (решив предыдущую задачу, вы доказали это другим способом, определив скалярную функцию, градиентом которой является поле). Вычислите дивергенцию поля.

Решение. Если rot E = 0, то векторная функция E является возможным

6 y 6 y 0 0.

Задача 1.4. 1. Удовлетворяет ли функция f(x, y) = x2 + y2 двумерному уравнению Лапласа? А функция g(x, y) = x2 y2? 2. Постройте график последней функции. 3. Вычислите градиенты функции g(x, y) в точках с координатами (0, 1); (1, 0); (0, 1); ( 1, 0) и укажите направления векторов этих градиентов.

Решение:

1. Уравнение Лапласа имеет вид 2 0 , где оператор 2 div grad называют оператором Лапласа или лапласианом. Иногда его обозначают символом . Поэтому можно встретить и такую форму записи уравнения Лапласа: 0 . Таким образом, если вторая производная по координатам от предложенной функции равна нулю, то функция удовлетворяют уравнению Лапласа. Имеем:

6

вдоль отрицательного направления оси ординат. Градиент функции g(x, y) в точке (x = 1, y = 0):

лен вдоль положительного направления оси абсцисс.

Градиент функции g(x, y) в точке (x = 0, y = 1): g 2 j . Вектор направлен вдоль положительного направления оси ординат.

i 0 0 j 0 0 k 1 1 2k.

Вектор rot A = 2k направлен по отрицательному направлению оси z.

7

Задача 1.6. Вычислите ротор и дивергенцию каждого из следующих векторных полей. Если ротор окажется равным нулю, то определите скалярную функцию , градиент которой дает векторное поле:

1.Fx = x + y, Fy = x + y, Fz = 2z.

2.Gx = 2y, Gy = 2x + 3z, Gz = 3y.

3.Hx = x2 z2, Hy = 2, Hz = 2xz.

Решение:

1.Имеем векторную функцию F = i(x + y) + j(x + y) + k( 2z):

i 0 0 j 0 0 k 1 1 2k;

Gi(2 y) j(2x 3z) k(3y) grad i x j y k z ;

2 yx 3zy.

3. Имеем векторную функцию H = i(x2 z2) + j(2) + k(2xz):

Задача 1.7. Укажите, в каких двумерных полях вектора F: 1) rot F = 0, а

в каких rot F 0; 2) div F = 0, а в каких div F 0.

8

Обратите внимание на то, что линейный интеграл вдоль изображенного контура Fdl не равен нулю. Следовательно, rot F 0.

l

2. Заметьте (рис. 1.5, б), что функция F радиальная. Это значит, что для данного радиуса ее значение постоянно. Поэтому циркуляция F равна нулю как вокруг изображенного, так и любого другого контура. Следовательно, rot F = 0. Очевидно, что div F 0.

3. Циркуляция F может быть равной нулю вокруг изображенных контуров, следовательно rot F = 0. Однако из одного рис. 1.5, в не очевидно, что div F = 0, но видно, что она могла бы быть равной нулю.

4. Если продвигаться в направлении вектора F, то нет изменений в его значении (рис. 1.5, г). Этого достаточно, чтобы div F = 0. Циркуляция F может быть равна нулю вокруг изображенного контура, если на длинной стороне контура произведение Fdl равно произведению Fdl на короткой стороне контура. Следовательно, rot F = 0.

5. Если продвигаться в направлении вектора F (рис. 1.5, д), то его значение постоянно, следовательно, div F = 0. В данном примере вектор F всюду постоянен, поэтому линейный интеграл по длинной стороне не компенсируется интегралом по короткому пути и циркуляция не равна нулю, следова-

тельно, rot F 0.

10