LS-Sb90326

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ЛЭТИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Методические указания к одноименному курсу лекций

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ ЛЭТИ 2013

УДК 517.95 Уравнения математической физики: метод. указания к одноименному

курсу лекций / сост.: Н. А. Широков, А. М. Коточигов, А. С. Колпаков. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ ЛЭТИ , 2013. 32 с.

Содержат подробное изложение теоретического материала начальной части курса, составляющего базу современного понимания математической физики.

Предназначены для студентов 4-го курса ФКТИ как основа курсаУравнения математической физики .

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

c СПбГЭТУ ЛЭТИ , 2013

Введение

Раздел математики, называемый уравнениями математической физики, имеет альтернативное название (уравнения в частных производных). С формальной точки зрения этот раздел исследует существование и свойства решений уравнений, включающих неизвестную функцию (или неизвестные функции) от нескольких переменных и их частные производные. Конкретные типы этих уравнений впервые появились два столетия назад в физике при описании реальных процессов в природе. За прошедшее значительное время эта область математики стала чрезвычайно обширной, в ней появилось много разных новых направлений исследований по сравнению с первыми десятилетиями ее существования. В мире имеется много учебников и монографий, посвященных уравнениям математической физики, содержание которых может существенно различаться.

Ограниченность объема курса математической физики естественным образом ставит вопрос о выборе материала, наиболее востребованного будущими инженерами. Наш подход к решению этого вопроса состоит в уче- те опыта курса дифференциальных уравнений. Подобно тому как главной целью курса обыкновенных дифференциальных уравнений для студентов технических специальностей является набор типов уравнений, разрешимых в интегралах, мы составили курс как набор физически значимых задач, разрешимых в определенном смысле явно (выписываемые подробно одинарные или кратные ряды засчитывались нами за явные решения). В соответствии с этим взглядом вначале мы рассмотрели уравнения, относящиеся к колебаниям струн или мембран для тех ситуаций, которые можно было довести до явного ответа. Мембраны рассматривались прямоугольными. Затем разбирается уравнение теплопроводности для прямой. Большая часть этих задач излагается близко к тексту книги В. И.Смирнова [1]. Изу- чение уравнения для колебаний круглой мембраны не вошло в текст указаний. В отличие от предыдущих задач описание решений в этом случае требует обстоятельного знакомства с функциями Бесселя. Соответствующий материал также можно найти в учебнике В. И.Смирнова [1]. Этот аппарат составляет базу, необходимую для полноценного математического образования инженера.

Объем вошедшего в методические указания материала ничтожен в сравнении с накопленными к настоящему времени знаниями по этим вопросам. Хорошее представление об аппарате математической физики, ставшем уже классическим, можно получить из монографии С. Г. Михлина [2]. Современный стиль изложения уравнений математической физики хорошо представлен в учебнике М. А. Шубина [3]. В 70-е гг. XX в. появились типы нелинейных уравнений, возникающих в различных физических задачах, которые, в определенном смысле, допускают явные решения. В

3

первую очередь речь идет об уравнении Кортевега де Фриза. Эти исследования приобрели большую популярность. Хорошее представление об этих вопросах можно получить из книги В. Ю. Новокшенова [4].

В связи с нацеленностью этого курса на получение решений уравнений математической физики в каком-то обозримом виде для возможных ситуаций технические детали некоторых доказательств в тексте методических указаний не приводятся.

1. Уравнение колебаний бесконечной струны

Математическое описание колебаний струны естественно проводить в терминах функции, описывающей отклонение точки струны от положения равновесия в каждый момент времени. Здесь будет рассмотрена задача описания колебаний бесконечной горизонтальной струны. Точки на вещественной оси (ось Ox) соответствуют положению струны в состоянии по-

коя. Форма струны, выведенной из состояния покоя, описывается графиком функции u(x, t), указывающей отклонение точки x от положения равнове-

сия в момент времени t. Предполагается, что струна совершает колебания

с малыми амплитудами и отклонение точки от положения равновесия происходит точно по вертикали. Уравнение, отвечающее такой модели, имеет вид

где a > 0, x (−∞, ∞), t > 0. Такая запись предполагает, что у функции

u(x, t) существуют непрерывные частные производные u00tt(x, t), u00xx(x, t), u00xt(x, t). Уравнение (1.1) называется однородным. Это означает, что ес-

ли u дает решение (1.1), то функция v(x, t) = cu(x, t) тоже является его решением. Проверим это утверждение:

vtt00 (x, t) = cu00tt(x, t) = a2cu00xx(x, t) = a2(cu(x, t))00xx = a2vxx00 (x, t).

Решение такого уравнения требует задания начальных условий формы и скорости в начальный момент времени (t = 0):

начальные условия предполагаются гладкими: ϕ C2(R), ψ C1(R).

Теорема 1.1. Уравнение (1.1) при начальных условиях (1.2) имеет единственное решение, которое можно получить по формуле

x−at

Замечание. Эта формула для решения задачи (1.1), (1.2) называется формулой Даламбера.

4

Доказательство. Оставляя в стороне вопрос о единственности решения, ограничимся доказательством формулы Даламбера. Вывод формулы достаточно сложный. На первом этапе проводится замена переменной, упрощающая вид уравнения. Затем проводится еще одна замена, дающая возможность вскрыть некоторые внутренние симметрии уравнения, что, в конце концов, позволяет получить формулу.

На первом этапе проведем преобразования, устраняющие из уравнения параметр a. Введем новую переменную τ = ta, τ > 0 и обозначим

v(x, τ) = u(x, τ/a). Перепишем (1.1) в этих обозначениях. Для этого надо пересчитать производные по новой переменной:

Подставим в (1.1) новую переменную:

валентное уравнение:

Следующий (заключительный) этап вывод явной формулы для решения (1.5) с начальными условиями (1.6). Проведем еще одну замену переменных:

Заметим, что условие t > 0 эквивалентно условию τ > 0, а оно, в свою очередь, эквивалентно s > σ. Перепишем (1.7) в виде x = s + σ, τ = s − σ

5

и введем новую функцию:

Из (1.7) и (1.8), используя правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных, находим первые производные новой функции:

ω0s = vx0 (s + σ)0s + vτ0 (s − σ)0s = vx0 + vτ0 , ω0σ = vx0 (s + σ)0σ + vτ0 (s − σ)0σ = vx0 − vτ0 .

Покажем, что смешанная производная ω00sσ равна нулю:

ω00sσ = vx0 0σ + vτ0 0σ =

=vxx00 (s + σ)0σ + vx00τ(s − σ)0σ + vx00τ(s + σ)0σ + vττ00 (s − σ)0σ =

=vxx00 − vx00τ + vτ00x − vττ00 .

Âполученной формуле два средних слагаемых взаимно уничтожаются, так

как смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования. Оставшееся выражение равно нулю это следует из (1.5). Таким образом,

Это и есть упомянутая внутренняя симметрия уравнения. На ее основании будет выведена формула Даламбера.

Формула Ньютона Лейбница позволяет написать равенство

s

Напомним производные функции ω, посчитанные после определения (1.8):

ω0s(s, σ) = vx0 (s + σ, s − σ) + vτ0 (s + σ, s − σ),

ω0σ(s, σ) = vx0 (s + σ, s − σ) − vτ0 (s + σ, s − σ).

6

Далее эти функции будут использоваться для равных аргументов. Пусть s = σ = l. Тогда предыдущие равенства можно записать в виде

Следующий шаг вывода формулы, решающей задачу, основан на интегрировании (1.16) и (1.17):

Z

= |2l = y| = vy0 (y, 0)dy = v(2r, 0) − v(0, 0).

0

С учетом начальных условий (1.6) получим выражение интеграла через функцию, данную в условии задачи:

r

Z

0

Аналогичные действия с (1.16) дают соотношение:

7

Складывая (1.18) и (1.19), получим:

Формулы (1.10) и (1.11)

ω0s(s, σ) = ω0s(s, s), ω0σ(s, σ) = ω0σ(σ, σ)

позволяют перенести явное описание производных функции ω на саму эту функцию. По формуле Ньютона Лейбница находим:

s

ω(s, σ) − ω(σ, σ) = R ω0s(l, σ)dl.

σ

Формула (1.10) позволяет убрать из-под интеграла переменную σ:

и далее подстроиться под (1.20), чтобы вычислить интеграл:

Формула (1.12) гарантирует равенство ω(σ, σ) = ϕ(2σ). Это позволяет переписать (1.21):

8

Запишем окончательную формулу для функции ω:

Чтобы получить нужную формулу, остается вернуться к исходным обозна- чениям. По определению (1.8) ω(s, σ) = v(s + σ, s −σ), x = s + σ, τ = s −σ;

и из (1.22) получим:

По определению v(x, τ) = u (x, τ/a), τ = at, таким образом,

x−at

Получена формула для решения однородного уравнения, описывающего колебания бесконечной струны.

2. Бесконечная струна. Неоднородное уравнение

Результат, полученный для свободных колебаний бесконечной струны, можно перенести на более общий случай, когда струна испытывает внешнее воздействие. Пусть функция f(x, t) описывает силу, приложенную к точке

струны x в момент времени t. Уравнение колебаний струны приобретает вид

Начальные условия форма и скорости при t = 0 остаются прежними:

Решение неоднородной задачи можно получить как модификацию решения однородной задачи.

Теорема 2.1. Уравнение (2.1) при условиях (2.2) имеет единственное решение:

u(x, t) = u0(x, t) + v(x, t),

ãäå u0(x, t) решение однородной задачи (1.1), (1.2), а v(x, t) решение неоднородной задачи с нулевыми начальными условиями.

Доказательство. Задача построения u0(x, t) решается формулой Даламбера (1.23):

9

Эта функция удовлетворяет уравнению

Достаточно построить функцию v(x, t), которая решает неоднородное урав-

нение (2.1) с нулевыми начальными условиями. Тогда, в силу (2.5), функция u = u0 + v будет удовлетворять всем условиям теоремы.

Рассмотрим семейство однородных волновых уравнений, с параметром

Решение каждой такой задачи легко свести к формуле Даламбера. Введем в рассмотрение функцию l(x, t) = w(x, t + τ). Очевидно, что

Соотношения (2.6) (2.8) сводят построение функции w(x, t) к однородному волновому уравнению для функции l, решение которого дает формула Даламбера:

x−a(t−τ)

10