LS-Sb90326

ряда Фурье:

ãäå

kl

00

Заметим, что при любом выборе коэффициентов, таком, что ряд сходится, краевые условия (6.3) будут выполнены, так как произведение синусов обращается в ноль, если выполнено хотя бы одно из условий x = 0, y = 0,

x = l, y = k. Чтобы искать решение в виде (6.8), надо вычислить про-

изводные этого ряда. Если соответствующие ряды сходятся равномерно, то ряд можно дифференцировать почленно. В свою очередь, равномерная сходимость рядов, как будет видно из дальнейших рассуждений, является следствием гладкости начальных данных. Таким образом,

Общее решение каждого из этих уравнений:

am,n(t) = αm,n cos(ωmnt) + βm,n sin(ωmnt).

Это позволяет записать решение в виде

Неопределенные коэффициенты надо найти из начальных условий (6.2). Напомним, что краевые условия (6.3) выполнены автоматически благодаря специфике описания функции u. Полагаем t = 0 и запишем первое

начальное условие:

21

В силу единственности разложения функции ϕ в ряд Фурье должны выполняться равенства

Чтобы проверить второе начальное условие, найдем производную u0t(x, y, t), дифференцируя ряд (6.11) почленно:

и, полагая здесь t = 0, запишем второе начальное условие (6.2):

Далее, еще раз используя теорему единственности для рядов Фурье, полу- чим:

Таким образом, если функция u(x, y, t) определена по (6.4), то при любом выборе функций am,n(t), гарантирующем равномерную сходимость рядов для функции и производных, она удовлетворяет краевым условиям (6.3). Если определить функции am,n(t) по (6.10), то функция будет удовлетво- рять (6.1). Коэффициенты αm,n è βm,n следует определить по (6.12), (6.13).

Это гарантирует выполнение начальных условий (1.2) и в силу гладкости функций, задающих начальные условия, обеспечивает равномерную сходимость всех участвующих в рассмотрении рядов. Кроме того, из теоремы единственности для рядов Фурье следует и единственность выбора коэффициентов. Теорема полностью доказана.

7. Колебание прямоугольной мембраны под воздействием внешней силы

Форма мембраны остается прежней:

Q = {(x, y) : 0 6 x 6 k, 0 6 y 6 l},

а в уравнении появляется внешняя сила f(x, y, t):

22

Начальные и граничные условия сохраняются:

Далее алгоритм решения повторяет схему, использованную для решения задачи о колебаниях струны под воздействием внешней силы. Вначале решается однородное уравнение:

(u0)00tt(x, y, t) = a2 (u0)(x, y, t),

u0(x, y, 0) = ϕ(x, y), (u0)0t(x, y, 0) = ψ(x, y), u0(x, y, t) = 0, t > 0, (x, y) ∂Q.

Его решение функцию u0(x, y, t) дает (6.5). Для того чтобы полу- чить решение исходной задачи, достаточно решить задачу с внешней силой f(x, y, t) и нулевыми начальными условиями:

vtt00 (x, y, t) = a2 v(x, y, t) + f(x, y, t), v(x, y, 0) = 0, vt0(x, y, 0) = 0,

v(x, y, t) = 0, t > 0, (x, y) ∂Q.

Действительно, функция u(x, y, t) = u0(x, y, t) + v(x, y, t), как легко прове-

рить, удовлетворяет (7.1), начальным условиям (7.2) и краевому условию (7.3).

Функцию v(x, y, t) будем искать в виде двойного ряда Фурье:

Для такого ряда краевые условия (7.3) всегда выполнены. Если ряд допускает почленное дифференцирование, то, как и в предыдущем случае (6.6) (6.8), получим уравнение:

коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

23

Теорема единственности для рядов Фурье позволяет записать равенство (7.5) как равенство всех коэффициентов Фурье в правой и левой частях (7.5), в результате для каждой из функций bm,n(t) получится дифференциальное уравнение:

Это уравнение с точностью до обозначений совпадает с уравнением (4.5), и его решение дает (4.6). Таким образом, функция v(x, y, t), являющаяся

решением краевой задачи (7.4) (7.6), получена, и, как было отмечено ранее, функция u(x, y, t) = u0(x, y, t) + v(x, y, t) дает решение исходной краевой задачи (7.1) (7.3).

8. Уравнение теплопроводности

Рассмотрим другой важный тип уравнений, описывающих динамику распространение тепла в твердом теле (или в общем виде любые процессы диффузии). Как и для волнового уравнения, начнем с простейшего с точки зрения описания решения случая − уравнения распространения тепла в

бесконечном однородном стержне (оси Ox):

Уравнение подтверждает тот экспериментальный факт, что скорость изменения температуры в точке стержня пропорциональна распределению температуры в окрестности точки. За этот факт отвечает вторая производная. Естественно, для решения задачи необходимо знать начальное распределение температур:

Бесконечность стержня снимает вопрос о граничных условиях. То, что уравнение является однородным, означает, что никакие внешние факторы, кроме начального распределения температуры, не вмешиваются в процесс перераспределения температуры в стержне.

Теорема 8.1. Пусть функция ψ(x) удовлетворяет условиям (8.3). Тогда (8.1) с начальными условиями (8.2) имеет единственное решение

−∞

24

Здесь будет доказано только то, что таким образом построенная функция является решением краевой задачи (8.1) (8.3). Вопрос о том, как возникло решение и почему оно единственно, здесь рассматриваться не будет. Для того чтобы реализовать этот план, надо установить несколько важных свойств функции:

Перепишем (8.4), используя обозначение (8.5):

−∞

Лемма 8.1.

Kt0(x, t) = a2Kxx00 (x, t).

Доказательство. Вычислим нужные производные и убедимся, что равенство выполняется:

Сравнивая (8.7) и (8.8), убеждаемся, что утверждение леммы справедливо. Следствие. Функции K(x − c, t) являются решениями (8.1) при всех

значениях c.

Доказательство. Полагаем x1 = x−c. Рассмотрим функцию K(x1, t).

Òàê êàê Kx0 (x1, t) = Kx0 1(x1, t) è Kxx00 (x1, t) = Kx001x1(x1, t), то из леммы 8.1 получаем:

Kt0(x − C, t) = Kxx00 (x − C, t).

Лемма 8.2.

∞

1Z

√K(x, t)dx = 1.

2a π

−∞

25

Остается вычислить

∞

A = R exp −x2 dx.

0

Для того чтобы сделать это, рассмотрим вспомогательный интеграл:

Вычисляя этот же интеграл другим способом, можно получить тождество, содержащее величину A:

−∞

26

Доказанная в лемме 8.2 нормировка позволяет написать тождество:

∞

ψ(x ) = 1 Z exp( x2)ψ(x )dx .

0 √π − 1 0 1

−∞

Составим разность этих выражений и получим нужную формулу.

Лемма 8.4. Если функция ψ(x) непрерывна при x (−∞, ∞), то для

любых чисел x0, N (N > 0) è ε (ε > 0) найдется положительное число t0, такое, что для всех x (−N, +N) выполнено неравенство:

√

|ψ(x0 + 2xa t) − ψ(x0)| < ε, 0 6 t < t0.

Доказательство. Непрерывность функции ψ(x) означает, что для x0 существует такое δ, ÷òî

|x − x0| < δ → |ψ(x) − ψ(x0)| < ε.

√

|ψ(x0 + 2xa t) − ψ(x0)| < ε.

Лемма доказана.

На примере этого простого утверждения можно убедиться в том, какой аккуратности требует работа с формируемыми здесь понятиями. Формальная попытка перейти к пределу при t → 0 в (8.5) и выяснить, како-

му начальному условию отвечают решения (8.1) функции K(x − c, t) −

закончится странным результатом. Предел окажется равным 0 для всех x 6= c, если же x = c, то предела не существует. На физическом уровне

K(x − c, t) решение уравнения с начальным условием: точечный источ- ник тепла в x = c. Математическое описание таких объектов необходимо

для полноценной работы. Решение такого рода вопросов возможно в терминах обобщенных функций. Хорошее знакомство с этими необычными, но очень полезными объектами можно получить по книге С. Г. Михлина [3].

Доказательство теоремы 8.1. Дифференцируя по параметру интеграл (8.6), определяющий функцию u(x, t), получим:

27

Перенесем эти равенства в (8.1) и воспользуемся результатом следствия

леммы 8.1:

u0t(x, t) − a2u00xx(x, t) =

∞

= 1 Z (K0(x x, t) a2K00 (x x, t))ψ(x )dx = 0.

2a√π t 1 − − xx 1 − 1 1

−∞

Остается проверить, что функция u(x, t), определенная (8.4), удовлетворя-

ет граничному условию (8.2). Доказательство этого утверждения базируется на леммах 8.3 и 8.4. В соответствии с этим будет установлено, что в каждой точке x существует

lim u(x, t) = ψ(x).

t→0

Лемма 8.3 позволяет переписать это соотношение в равносильном виде:

−∞

Проверим определение предела напрямую. Фиксируем произвольное поло-

−N

надо оценить с помощью леммы 8.4. Как доказано в лемме, параметр t0 можно выбрать так, чтобы при 0 6 t < t0 для всех x (−N, N) выполнялось неравенство

28