LS-Sb90326

Покажем, что искомую функцию v можно получить из семейства реше-

ний сдвинутых однородных задач. Для каждого фиксированного сдвига τ будет решаться своя задача

с начальными условиями, порожденными функцией f(x, t) внешней силой в уравнении (2.1):

Напомним, что из (2.9) следует, что w(x, t, τ) = l(x, t − τ). Модифициро-

ванная формула Даламбера (2.7) и (2.9) позволяет записать решение этой задачи:

x−a(t−τ)

Покажем, что требуемая функция v определяется формулой

0

Проверим выполнение начальных условий. Очевидно, что v(x, 0) = 0. Для

того чтобы проверить второе условие на производную, предварительно вы- числим ее:

t

vt0(x, t) = w(x, t, t) + R wt0(x, t, τ)dτ.

0

Далее будут использованы формулы, справедливые для равномерно сходящихся интегралов (см. [5]):

11

Начальные условия проверены.

Докажем, что функция v удовлетворяет уравнению (2.1), для этого вы- числим вторую производную функции v по t, исходя из (2.13), продолжая дифференцировать интеграл по параметру, получим:

t

vtt00 (x, t) = wt0(x, t, t) + R wtt00 (x, t, τ)dτ.

0

Перепишем первое слагаемое в соответствии с начальным условием (2.11) и функцию под интегралом в соответствии с (2.10):

t

vtt00 (x, t) = f(x, t) + a2 R wxx00 (x, t, τ)dτ.

0

Остается поменять порядок дифференцирования и интегрирования и воспользоваться определением функции v:

Функция v решает уравнение (2.1) с нулевыми начальными условиями,

и, как было отмечено в начале доказательства, этого достаточно, чтобы получить решение в общем случае.

3. Закрепленная струна. Однородное уравнение

Дифференциальное уравнение, описывающее колебание, остается таким же, как для бесконечной струны (1.1), но в нем ограничивается область значений координаты переменной x:

Начальные условия сохраняются с той же оговоркой:

Условия закрепления концов струны выражаются соотношениями

Сверх того появляются условия согласования начальных и граничных данных, без которых постановка задачи была бы противоречива:

0 = u(0, 0) = ϕ(0), 0 = u(l, 0) = ϕ(l).

Полное описание решения этой задачи формулу для описания свободных колебаний закрепленной струны, удается получить за счет того, что участвующий в ней дифференциальный оператор самосопряжен и имеет дискретный спектр, что позволяет решать задачи по отдельности для каждой точки спектра (частоты).

12

Разложение в ряд Фурье единственно, поэтому коэффициенты при синусах в правой и левой частях (3.7) должны совпадать:

Следовательно, если выбирать в качестве an(t) любые решения этих дифференциальных уравнений, то функция u(x, t) будет удовлетворять (3.1).

Остается выбрать частные решения этих уравнений так, чтобы удовлетворить начальным условиям (3.2).

Для сокращения записей введем обозначение:

πan wn = l .

Тогда уравнения (3.8) приобретут вид a00n(t) = −wn2an(t) и общее решение запишется в виде

an(t) = pn cos(wnt) + qn sin(wnt). Подставляя это выражение в (3.4), получим:

Функцию ϕ(x) можно разложить в ряд Фурье по синусам, а из теоремы

единственности разложения функции в ряд Фурье получить равенства для всех коэффициентов pn:

Чтобы анализировать начальное условие на скорости, вычислим производную:

Далее повторяем предшествующее рассуждение: раскладываем функцию ψ(x) в ряд Фурье и приравниваем коэффициенты Фурье в правой и левой

частях равенства:

14

Исключив wn на основании (3.8), получим:

Таким образом, коэффициенты pn è qn однозначно определены. Тем самым однозначно определено решение исходной задачи:

Вывод (3.9) строился так, что краевые условия (3.3) были выполнены изначально, (3.1) выполнено для любой функции вида (3.4), а значения ко- эффициента qn выбрано так, что выполнены начальные условия (3.2). Ис-

пользованное в доказательстве предположение о возможности почленного дифференцирования ряда (3.4) оказывается выполненным благодаря пред-

положению о гладкости функций ϕ и ψ (их коэффициенты Фурье достаточно быстро убывают [1]).

4. Закрепленная струна. Неоднородное уравнение

Как и в случае бесконечной струны, решение неоднородной задачи общего вида легко сводится к решению неоднородной задачи с нулевыми начальными условиями. Последнюю удается решить теми же средствами, что и однородное уравнение:

Здесь предполагается, что функция f(x, t) непрерывна, функция ϕ имеет две непрерывные производные, функция ψ одну непрерывную производную на (0, l). Рассмотрим сначала однородное уравнение:

u00tt(x, t) = a2u00xx(x, t), u(x, 0) = ϕ(x), u0t(x, 0) = ψ(x), u(0, t) = u(l, t) = 0.

Формула (3.13) дает решение этой задачи. Обозначим это решение через u0(x, t) и полагаем v(x, t) = u(x, t) − u0(x, t), здесь u(x, t) обозначает иско-

мое решение задачи (4.1). Из соотношений (4.1), (4.2) следует:

vtt00 (x, t) = a2vxx00 (x, t) + f(x, t), v(x, 0) = vt0(x, 0) = v(0, t) = v(l, t) = 0.

(4.3)

15

Фиксируем переменную t и разложим функцию v(x, t) в ряд Фурье по переменой x:

Пользуясь теоремой единственности для рядов Фурье, можно приравнять коэффициенты при синусах:

Таким образом, для определения функций bn(t) получены неоднородные

линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных [1] дает частное решение:

Начальные условия (4.3) для функции v(x, t) преобразуются в начальные данные задачи Коши для функций bn(t). Из (4.4) и условия (4.3) получаем:

Дифференцируя равенство (4.4), из условия (4.3) получаем:

Проверим, что эти решения удовлетворяют начальным условиям, т. е. bn(0) = 0, b0n(0) = 0. Первое очевидно. Чтобы проверить второе, продиф-

ференцируем интеграл (4.6) по параметру:

16

следовательно, b0n(0) = 0 и доказано, что функция u(x, t) = u0(x, t)+v(x, t) дает решение неоднородного уравнения (4.1) с начальными условиями

Краевые условия: u(0, t) = u(π, t) = 0.

Решаем однородное уравнение (u0)00tt = (u0)00xx Формула (3.9) дает решение

∞

P

u0(x, t) = (pn cos(nt) + qn sin(nt)) sin(nx).

n=1

Здесь коэффициенты pn вычисляются по (3.11):

2 Rπ

pn = π 0 x(π − x) sin(nx)dx,

а коэффициенты qn по (3.12). Значит, qn = 0, òàê êàê ψ(x) = u0t(x, 0) = 0. Следовательно,

Дважды проинтегрировав по частям, можно убедиться в том, что

Видно, что в сумме отсутствуют слагаемые с четными номерами. Тогда

Решаем неоднородное уравнение с нулевыми начальными условиями: vtt00 (x, t) = vxx00 (x, t) + t sin x, v(x, 0) = 0, vt0(x, 0) = 0.

ãäå γn(t) коэффициенты Фурье функции f(x, t) = t sin x:

17

2 Rπ

γn(t) = π 0 t sin x sin(nx)dx.

Ввиду ортогональности элементов базиса Фурье все функции γn, кроме первой, обращаются в ноль, и γ1(t) = t:

5. Колебание струны с произвольными граничными условиями

Уравнение, описывающее колебания, сохраняется:

18

Таким образом, решение задачи о колебании струны с граничными условиями общего вида сведено к решению уже разобранной (4.4) задачи о струне с закрепленными концами.

Пример. Рассмотрим краевую задачу для случая, когда (5.1) имеет

âèä

левый конец струны закреплен, а правый подвижен (5.3): u(0, t) = g(t) = 0, u(l, t) = h(t) = t, t > 0.

По (5.4) введем вспомогательные функции:

w(x, t) = g(t) + x(h(t) − g(t)) = xt, u1(x, t) = u(x, t) − xt.

Запишем эквивалентную краевую задачу для функции u1. Äëÿ íåå (5.5) дает уравнение:

(u1)00tt (x, t) − (u1)00xx (x, t) = −xt.

Начальные условия были пересчитаны в (5.6) и (5.7):

u1(x, 0) = ϕ(x) − g(0) − x(h(0) − g(0)) = ϕ1(x) = 0, u1t(x, 0) = ψ(x) − g0(0) − x(h0(0) − g0(0)) = ψ1(x) = −x,

и, наконец, (5.8) и (5.9) показывают, что возникла задача о струне с закрепленными концами:

u1(0, t) = 0, u1(1, t) = 0.

Решение этой задачи дает (4.4), откуда следует:

Решение исходной задачи (5.1) (5.3) получается теперь из (5.4):

6. Свободные колебания прямоугольной мембраны

Описание колебаний мембраны прямоугольной пластины

Q = {(x, y) : 0 6 x 6 k, 0 6 y 6 l}

будет проведено в терминах функции u(x, y, t), t > 0. Значения этой функции z = u(x, y, t) дают отклонения от положения равновесия ( z = 0) точки мембраны с координатами (x, y) в момент времени t. Динамику движения описывает уравнение

19

ãäå u(x, y, t) = u00xx(x, y, t) + u00yy(x, y, t) оператор Лапласа. Физический

смысл уравнения прост: ускорение пропорционально силам деформации, возникающим внутри платины (их описывает оператор Лапласа). Как и в случае струны, для решения задачи необходимо задать начальную форму и скорость мембраны:

и граничные условия. Естественно начать со случая закрепленной границы:

Корректная постановка задачи требует еще выполнения условий согласования начальных и граничных условий u(x, y, 0) = ϕ(x, y) = 0, (x, y) ∂Q

и, следовательно,

Теорема 6.1. Если функция ϕ имеет две непрерывные производные, а функция ψ одну непрерывную производную на Q, то (6.1) при условиях (6.2), (6.3) имеет единственное решение:

(6.5) ãäå αm,n коэффициенты Фурье функции ϕ(x, y); βm,n коэффициенты

Фурье функции ψ(x, y).

Для описания решения удобно использовать двойные ряды Фурье. Приведенное здесь решение краевой задачи основано на единственности разложения функции в ряд Фурье [1].

Теорема 6.2. Пусть f(x, y) определена на Q, f C3(Q), а f(x, y) = 0 при (x, y) ∂Q, тогда существует единственный набор коэффициентов am,n, таких, по которым функция разлагается в двойной ряд Фурье:

коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

kl

00

Доказательство теоремы 6.1. Ориентируясь на теорему 6.2 о разложении в ряд Фурье, будем искать функцию u(x, y, t) в виде следующего

20