tFAnB9BaL5

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Методические указания к практическим занятиям

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2014

УДК 519.6 + 62.192

Основы теории надежности: метод. указания к практ. занятиям / сост.: В. А. Смирнова, А. В. Чирина. СПб.: Из-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014. 24 с.

Содержат типовые задачи по теории надежности с решениями, задачи для самостоятельного решения, а также основные сведения по теории надежности и связанным с ней областям математической статистики.

Предназначены студентам специальности «Приборостроение».

Утверждено редакционно-издательским советом университета

вкачестве методических указаний

©СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014

2

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах все параметры, обеспечивающие выполнение требуемых функций в заданных условиях эксплуатации.

Уровень надежности позволяет развивать технику по основным направлениям, включающим автоматизацию производства, интенсификацию рабочих процессов и транспорта, экономию материалов и энергии.

В теории надежности рассматриваются следующие объекты.

Изделие – единица продукции, выпускаемая данным предприятием (например, подшипник, ремень, станок).

Элемент – простейшая при данном рассмотрении составная часть изделия. В задачах надежности элемент может состоять из многих деталей.

Система – совокупность совместно действующих элементов, предназначенных для самостоятельного выполнения заданных функций. Понятия «элемент» и «система» трансформируются в зависимости от поставленной задачи.

Изделия делятся на восстанавливаемые и невосстанавливаемые.

Надежность изделия характеризует следующие основные состояния:

–работоспособность – состояние изделия, при котором оно может нормально выполнять заданные функции. Работоспособность не касается требований, непосредственно не влияющих на эксплуатационные показатели;

–исправность – состояние изделия, при котором оно удовлетворяет не только основным, но и вспомогательным требованиям;

–неисправность – состояние изделия, при котором оно не соответствует хотя бы одному из требований технической документации. Различают неисправности, приводящие и не приводящие к отказам;

–отказ – событие, заключающееся в полной или частичной утрате работоспособности.

Причины отказов делятся на случайные и систематические. Случайные причины – непредусмотренные перегрузки, дефекты матери-

ала и погрешности изготовления. Случайные факторы вызывают отказы при неблагоприятном стечении обстоятельств.

Систематические причины – это закономерные явления, вызывающие постепенное накопление повреждений: влияние среды, времени, температуры, обслуживания.

В соответствии с этими причинами и характером развития и проявления отказы делят на внезапные (поломки от перегрузок и заедания) и постепенные (износ, старение, коррозия, залипание).

3

Внезапные отказы вследствие своей неожиданности более опасны, чем постепенные.

Организация и оптимизация ремонта и профилактической замены оборудования также являются предметом изучения теории надежности, однако небольшой объем настоящих методических указаний не позволяет остановиться на этих темах. Поэтому рекомендуем обратиться к публикациям [1]–[3] для более глубокого изучения предмета. Множество задач как на эти темы, как и на сюжеты, рассмотренные в данных методических указаниях, можно найти в [4].

2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

P(t) – вероятность безотказной работы в течение времени t, или функ-

ция надежности. Функция P(t) является невозрастающей (убывающей).

Обычно предполагают, что в момент времени t = 0 отказ не происходит, но за бесконечное время обязательно про-

изойдет, т. е. P(0) = 1, P(+∞) = 0 .

Q(t) – вероятность отказа в течение времени t. Типичный график функции Q(t)

приведен на рис. 2.1.

Поскольку отказ и безотказная работа в течение времени t являются взаимодополняющими событиями, верны формулы

P(t) = 1 − Q(t) , P(t) = 1 − Q(t) , Q(0) = 0 , Q(+∞) = 1 и функция Q(t) является неубывающей (возрастающей).

f (t) – плотность вероятности отказа в течение времени t. f (t) и Q(t)

связаны формулами:

f (t) = Q′(t);

t

Q(t) = ∫ f (t) dt.

0

λ(t) – плотность интенсивности отказов в момент времени t. λ(t)

представляет собой отношение плотности вероятности отказов к вероятности безотказной работы в течение времени t:

4

Среднее время наработки до отказа, т. е. математическое ожидание времени, прошедшего с начала работы изделия до первого отказа:

Функция вероятности безотказной работы однозначно выражается через плотность интенсивности отказов. Поскольку

λ(t) = (− ln(1 − Q(t)))′ = (− ln(P(t)))′ ,

имеем

t

− ln(1 − Q(t)) = ∫ λ(t) dt

0

и, следовательно, получим основное уравнение теории надежности:

ними; в литературе также упоминаются и некоторые другие характеристики. Задача 1. Вероятность безотказной работы в течение времени t задана

5

Теперь можем вычислить:

Задача 2. Плотность интенсивности отказов задана формулой λ(t) = 4t.

Найти P(t), Q(t), f (t).

Решение. Вычислим сначала

t

∫ λ(t) dt = 2t2.

0

Теперь можем найти:

P(t) = exp(−2t2 ),

Q(t) = 1 − exp(−2t2 )

и

f(t) = Q′(t) = 4t exp(−2t2 ).

3.ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ПЕРИОД ВНЕЗАПНЫХ ОТКАЗОВ

Показательное распределение играет особую роль в теории надежности. Пусть a > 0 – константа, и пусть плотность интенсивности отказов задается формулой λ(t) = λ , т. е. не зависит от времени работы изделия. Тогда

6

Показательное распределение обладает множеством свойств, делающих его удобным для применения. В первую очередь это, конечно, простота вычисления основных характеристик. Сформулируем основное свойство показательного закона – свойство отсутствия последействия.

Пусть вероятность отказа в течение времени t распределена в соответствии с показательным законом для некоторого параметра λ . Тогда вероятность P(t, t + τ) безотказной работы до момента t + τ при условии,

что изделие проработало безотказно до момента t, зависит только от τ, но не от t. Иными словами, нет разницы между новым изделием и изделием, проработавшим безотказно до момента t.

Докажем это утверждение. Напомним, что условная вероятность события A при условии, что произошло событие B, по определению равна

P( A | B) = P( AB) .

P(B)

Примем за A событие «безотказная работа до момента t + τ», а за B – событие «безотказная работа до момента t ». Тогда событие AB совпадет с событием A (поскольку A B ) и

что и требовалось доказать.

Это свойство является также характеристическим свойством показа-

тельного распределения: если для любых τ и t P(t, t + τ) не зависит от t, то

распределение является показательным с некоторым параметром λ. Это утверждение оставим без доказательства.

Показательное распределение описывает период внезапных отказов, когда старение еще не сказывается на работе изделия.

Пример. Пусть отказ в космическом корабле может возникнуть только из-за попадания в него достаточно крупного метеорита. Если предположить, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, то ясно, что вероятность попадания метеорита в корабль в данном интервале времени не зависит от того, попадали или нет метеориты в корабль в прошлом. Следовательно, закон в этом случае экспоненциальный.

Если, как обычно, λt < 0,1, то формула для вероятности безотказной рабо-

ты упрощается в результате разложения в ряд и отбрасывания малых членов:

7

P(t) =1 - λt + (λt )2 - (λt )3 +…» λt. 2! 3!

Задача 3. Оценить вероятность P(t) отсутствия внезапных отказов механизма в течение t = 10 000 ч, если интенсивность отказов составляет λ =10−8 ч.

Решение. Так как λt =10−8 ×104 =10−4 , то воспользуемся приближенной

зависимостью

P(t) »1 - λt =1 -10−4 = 0,9999.

Задача 4. Время работы элемента до отказа подчинено показательному закону с параметром λ = 2,5 ×10−5 ч.

Вычислить количественные характеристики элемента P(t), Q(t), f (t) и

М для t = 1000 ч.

Решение:

e−λt = e−0,025 » 0,9753;

P(t) = 0,9753; Q(t) = 1 − 0,9753 = 0,0247; f (t) = 2,5 ×10−5 × 0,9753 » 2, 438 ×10−5;

4.ДРУГИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

ВТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Распределение Вейбулла с положительными параметрами (λ, θ). Это рас-

пределение было предложено для описания усталостных отказов. Для него

P(t) = exp(-(λt )θ ), t > 0.

Параметр θ называется параметром формы, а λ – параметром масшта-

ба. При θ = 1 распределение Вейбулла превращается в показательное. Частный случай распределения Вейбулла при θ = 2 носит название закона Рэлея. График плотности Рэлея см. на рис. 4.1.

Задача 5. Найти плотность распределения отказов и плотность интенсивности отказов для распределения Вейбулла. Построить их графики при λ = 1, θ = 2 .

8

Решение:

f (t) = −P′(t) = θλ(λt )θ−1 exp(−(λt )θ ),

λ(t) = λθ(λt )θ−1.

Для закона Рэлея с параметром масштаба 1 получим

f (t) = 2t exp (−t2 ),

λ(t) = 2t.

Для вычисления математического ожидания распределения Вейбулла требуется определить новую функцию, которая широко используется в математике и приложениях. Гамма-функция определяется следующим образом:

+∞

Γ(z) = ∫ t z−1e−t dt, z > 0

0

и обладает замечательным свойством: для любого z > 0

Γ(z + 1) = zΓ(z).

В частности, Γ(n) = (n −1)! для всех натуральных n.

Задача 6 (для самостоятельного решения). Доказать, что, если отказы распределены по закону Вейбулла, то среднее время до отказа вычисляется по формуле

Задача 7 (для самостоятельного решения). При каких значениях θ плотность интенсивности отказов является возрастающей функцией?

С помощью гамма-функции определим и следующее семейство распределений. Пусть, как и раньше, λ и θ – положительные параметры. Опреде-

лим плотность распределения отказов формулой

f (t) = λ(λt )θ−1 e−λt .

Γ(θ)

Как и в предыдущем случае, θ – параметр формы, а λ – масштаба; как и раньше, при θ = 1 распределение превращается в показательное. Распределения с плотностями такого вида называются гамма-распределениями. Графики гамма-плотнос- тей показаны на рис. 4.2 (параметр формы 2) и 4.3 (параметр формы 0,5).

Частным случаем гамма-распределений являются суммы независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет по-

9