Sb98337

Правая часть уравнения является решением однородного уравнения, и потому частное решение надо искать по формуле

y* x Acos 2x Bsin 2x .

Вычислим производные y* :

y* Acos 2x Bsin 2x x 2Asin 2x 2B cos 2x( A 2Bx)cos 2x (B 2Ax)sin 2x,

y* 2B cos 2x 2Asin 2x 2 A 2Bx sin 2x 2 B 2Ax cos 2x.

Подставим эти выражения в уравнение

2B cos 2x 2Asin 2x 2 A 2Bx sin 2x 2 B 2 Ax cos 2x4x Acos 2x B sin 2x sin 2x.

Проведем тождественные преобразования

4B cos 2x 4 Asin 2x sin 2x A 14 , B 0.

Общее решение неоднородного уравнения

yy0 y* C1 cos 2x C2 sin 2x 14 x cos 2x.

3.4.Системы однородных линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Решение таких систем связано с несколькими темами, которые в реше-

нии одной задачи могут использоваться одновременно. В частности, здесь

мы снова сводим решения задачи о дифференциальных уравнениях к поиску

собственных чисел и собственных векторов матрицы:

–поиск собственных чисел и собственных векторов;

–решение систем линейных уравнений;

–решение дифференциальных уравнений;

–базис и линейные комбинации.

Рассмотрим систему X t AX t , где X t – набор

x1 t , x2 t , , xn t .

Тогда по аналогии с решением уравнений можем искать решение в виде

комбинации экспонент. Точнее говоря, находим собственные числа матрицы A. Сначала предположим, что они вещественные и различные – 1, 2, , n .

Для каждого из них найдем собственный вектор Yk. Тогда базис пространства

21

Пример. Найти частное решение однородной системы

x1 4x1 x2x2 3x1 2x2

x3 2x1 3x2 4x3,

которая удовлетворяет условию x1 0 6, x2 0 6, x3 0 24.

Найдем собственные числа матрицы: 1, 4, 5. Собственные векторы:

Можно проверить подстановкой, что эти векторы подходят.

Для нахождения частного решения находим константы из системы:

22

Рассмотрим теперь случай с кратным корнем для системы линейных дифференциальных уравнений. Если собственное число имеет кратность r ≥ 2, то решение системы ищут в виде вектора

координаты которого определяются методом неопределенных коэффициентов, т. е. из системы линейных уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях t в результате подстановки в исходную систему.

3.5. Метод изоклин

Приближенно изобразите график функции, являющейся решением дифференциального уравнения

y y2, y 1 2, y 1 1.

Метод состоит в том, что сначала отмечают точку с координатами (1, 2),

которая лежит на графике функции, затем продвигаются по касательной на

небольшое расстояние (например: 1/2), затем для этой точки находят значение производной, угловой коэффициент новой касательной, и несколько раз

повторяют процесс.

3.6. Изображение множества решений систем дифференциальных уравнений на плоскости. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

Для исследования на устойчивость точки покоя системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

надо составить характеристическое уравнение. В зависимости от вида и зна-

ков корней, можно определить вид точки покоя.

Пусть система дифференциальных уравнений имеет вид

23

Если оно имеет два отрицательных вещественных корня – это устойчивый узел, если два положительных вещественных корня – неустойчивый узел, если два вещественных корня разных знаков – седло.

Для комплексных корней с отрицательной вещественной частью полу-

чим устойчивый полюс, с положительной вещественной частью – неустойчивый полюс, с нулевой вещественной частью – центр.

24

Список рекомендуемой литературы

Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов.

Ч. 2. М.: Наука, 1986.

Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ-Петербург, 2011.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2005.

25

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Некоторые дифференциальные уравнения

снепостоянными коэффициентами

Мы рассмотрели различные виды дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Но, возможно, у вас возник вопрос, – какими будут дифференциальные уравнения и методы их решения для непостоянных коэффициентов? В качестве справочного материала предлагаем вам инфор-

мацию о некоторых разновидностях таких уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пример. Пусть в уравнении y f x, y функция f x, y может быть

разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной пере-

Интегрируя левую часть по x, а правую по y, получим решение. Только надо учесть, что если функция f2 y имеет вещественный корень y0, то

функция, тождественно равная y0, является решением дифференциального уравнения:

3y2 1 dy 2xdx.

Интегрируем

y3 y x2 C.

Отсюда:

y3 y x2 C .

Примечание: выражать y через x не обязательно.

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным,

26

уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит y и y в первой степени, т. е. имеет вид

y P x y Q x .

Линейные уравнения можно решать различными способами, в том числе методом подстановки. Этот метод состоит в представлении y x u x v x .

От этого произведения можем взять производную и подставить функцию в уравнение:

u x v x u x v x P x u x v x Q x .

В таком виде уравнение выглядит не очень удобным для решения, но

можно сгруппировать слагаемые и свести задачу к двум дифференциальным

уравнениям с разделяющимися переменными:

v x u x P x u x v x u x Q x 0.

Сначала найдем функцию u x такую, что левая скобка обратится в 0. Это несложно сделать, поскольку u (x) P(x)u(x) – уравнение с разделяю-

щимися переменными. Затем выбираем частное решение u1 x и подставля-

ем его во второе уравнение v x u x Q x 0 . Таким образом, находим y x в виде u x v x .

Уравнения Бернулли

Уравнением Бернулли называют дифференциальное уравнение вида y P x y Q x ym , где m не равно ни 0, ни 1.

Уравнение Бернулли также можно решить методом подстановки, т. е.

при представлении y x u x v x мы снова получим два уравнения с разделяющимися переменными.

27

F x, y k , y k 1 , y n 0 , то можно принять y k (производную порядка k) за новую функцию.

Дифференциальные уравнения Эйлера

Уравнения вида

xn y n an 1xn 1y n 1 an 2xn 2 y n 2 a1xy a0 y f x

называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Такие уравнения мож-

но решить с помощью подстановки x et для положительного x и x et для отрицательного х.

При такой замене переменной уравнение Эйлера приводится к диффе-

ренциальному уравнению степени n с постоянными коэффициентами.

Метод Лапласа для решения систем дифференциальных уравнений

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексной переменной (изображение) с функцией f(t) вещественной переменной (оригинал). С его помощью решаются дифференциаль-

ные и интегральные уравнения.

Преобразование

F p f t e ptdt

0

ставит в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(p).

Многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют

более простые соотношения над их изображениями. Так, например, линей-

ные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

2. Тренажеры для самостоятельной работы

Тема «дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» – хороший полигон для того, чтобы почувствовать, как знания переходят в

умения. Правила решения таких задач очень просты, но применение их на

практике нередко вызывает затруднение и требует специальных усилий по осмыслению алгоритмов решения.

28

Для того чтобы проводить эту работу самостоятельно, был разработан комплекс программ-тренажеров. Каждая программа ориентирована на одну из разобранных выше ситуаций и предусматривает возможность выбрать за-

дачу, решить ее самостоятельно и затем просмотреть подробное описание ее

решения. Среда программирования – пакет Exсеl – выбрана по соображениям максимальной доступности использования на любом компьютере.

Тренажер представляет собой файл в формате .xls, состоящий из трех листов. Первый лист «Условия», на нем выводится условие задачи. Чтобы обновить условие задания, надо ввести в помеченную ячейку число из указанного диапазона. На том же листе находится окно для ввода ответа и окно для оценки правильности решения. После того как задача решена, надо ввести в окно для ответа значение полученного решения в точке ноль. Если это число совпало со значением правильного решения в точке ноль, то в окне для

ответа появится «да», в противном случае – «нет». Параллельно на втором

листе «Решения» формируется подробное решение предложенной задачи, по которому можно проанализировать правильность собственного решения.

Ниже приведены копии листов «Условия» и «Решение» для одного из

тренажеров в том виде, как они выводятся на экран.

Условие

Решите задачу Коши

y Ay By 0, y x0 y0, y x1 y1.

Для формирования коэффициентов и начальных условий

введите в соседнюю ячейку число от 1 до 308 24:

Проверка: вычислите значение решения в точке х = 1.

Введите ваш ответ y 1 4, оценка да.

Решение

Однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными ко-

эффициентами (вещественные корни):

y Ay By 0;

Характеристическое уравнение:

2 A B 0.

29

Общее решение однородного уравнения: y C1e 1x C2e 2x . Выбор произвольных постоянных (решение задачи Коши):

y x0 y0 C1e 1x0 C2e 2 x0 y0.

Для использования второго условия необходимо сначала вычислить

производную:

y x0 y1 y x 1C1e 1x 2C2e 2x 1C1e 1x0 2C2e 2x0 y1.

В итоге получаем систему для определения постоянных C1,C2 :

Описанные тренажеры можно найти на сайте leti.vm-2.spb.ru.

30