Sb98337

Пусть a bi – два комплексных корня уравнения. В таком случае базис образуют функции e a bi x , e a bi x . С помощью невырожденного преобразования можно перейти к более удобному вещественному базису: eaxcosbx, eaxsin bx .

Примечание. При решении дифференциальных уравнений используются два приема из алгебры:

1)поиск базиса, если мы знаем, что размерность равна 2;

2)для поиска частного решения – решение системы линейных уравнений. Похожим способом можно решать и дифференциальные уравнения

высших степеней:

1.y V 2y y 0 (общее решение).

Ответ: C1cosx C2sinx x C3cosx C4sinx .

2.y V 8y 16y 0 (общее решение).

Ответ: C1 C2x e2x C3 C4x e 2x .

3.y V 8y 16y 0 (общее решение).

Ответ: C1 C2cos2x C3sin2x x C4cos2x C5sin2x .

В задаче 3 имеем и вещественный корень, и комплексные корни, т. е. решение может оказаться суммой синусов и экспонент.

4. y 3y 3y y 0, y 0 1, y 0 2, y 0 3 (частное решение).

Решение. Сначала найдем общее решение уравнения. Корень 1 кратности 3 означает, что

y C1 C2x C3x2 ex .

11

Для определения констант найдем производные: y C1 C2x C3x2 ex C2 2C3x ex ;

y C1 C2x C3x2 ex 2 C2 2C3x ex 2C3ex .

Затем подставим начальные условия. Получим систему линейных уравнений:

Ответ: 1 x ex .

5.y 2 y y 0, y 2 1, y 2 2 (частное решение). Ответ: 7 3x ex 2 .

6.y y 0, y 0 3, y 0 1, y 0 1 (частное решение).

Ответ: 2 e x .

3.2.Неоднородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

Если уравнение имеет вид y n an 1y n 1 a1y a0 y f x , то в ряде случаев можно найти решение уравнения методом неопределенных коэффициентов.

Обратите внимание, что в одной задаче используется несколько разных действий:

решение квадратных уравнений, в том числе с комплексными корнями; дифференцирование (и при решении задачи, и для самопроверки); нахождение базиса; метод неопределенных коэффициентов;

решение систем линейных уравнений.

Если правая часть имеет вид P x e x или Q x cosbx R x sinbx eax и

при этом λ (соответственно, a bi ) не является корнем характеристического уравнения, то следует искать решение с помощью метода неопределенных коэффициентов.

12

корнем характеристического уравнения степени r, то надо умножить соот-

ветствующее уравнение на xr .

Более подробная классификация случаев представления частного решения будет приведена ниже, сейчас рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найдите общее решение уравнения y 3y 2 y x2 x e3x .

Характеристическое уравнение однородного уравнения 2 3 2 0 имеет корни 1 и 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения y0 x C1ex C2e2x .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Число 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому ищем частное решение в виде

y D0x2 D1x D2 e3x . Найдем первую и вторую производные данной

функции, подставим в уравнение и получим после сокращения на e3x :

2D0x2 6D0 2D1 x 2D0 3D1 2D2 x2 x.

Сравнивая коэффициенты для обеих частей этого тождества, получаем систему линейных уравнений, из которой находим коэффициенты:

D0 12 , D1 1, D2 1.

Отсюдаполучимформулудлячастногорешениянеоднородногоуравнения:

y 12 x2 2x 2 e3x.

Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y C1ex C2e2x 12 x2 2x 2 e3x.

13

Пример 2. Найти частное решение уравнения y 4 y 4 sin2x cos2x , удовлетворяющее условиям y y 2 .

Характеристическое уравнение имеет корни 0 2i . Общее решение однородного уравнения имеет вид

y x C1cos2x C2sin2x .

Выразив y0 x , y0 x и подставив их в исходное уравнение, получим:

4Bsin2x 4Ccos2x 4sin2x 4cos2x .

Отсюда B 1,C 1, y0 x x cos2x sin2x .

Общее решение неоднородного уравнения имеет следующий вид: y x C1cos2x C2sin2x x cos2x sin2x .

Для нахождения констант C1 и C2 воспользуемся начальными условиями, предварительно продифференцировав общее решение:

y x 2C1sin2x 2C2cos2x x 2cos2x 2sin2x sin2x cos2x

Отсюда C1 3 , C2 12.

Поэтому искомым решением является функция

y x 3 cos2x 12 sin2x x cos2x sin2x .

Пример 3. Найдите общее решение уравнения y 4y 4y xe2x.

Характеристическое уравнение однородного уравнения 2 4 4 0 имеет двукратный корень 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения y0 x (C1 C2x)e2x .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y x2 D0x D1 e2x , поскольку число 2 является корнем характеристического уравнения кратности 2.

14

Найдем первую и вторую производные данной функции. Подставим в

уравнение и после сокращения на e2x сможем составить систему линейных уравнений. Из нее найдем коэффициенты:

D0 16 , D1 0.

Частное решение неоднородного уравнения:

y 16 x3e2x .

Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

3.3. Классификация решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнения вида

y ay by f x , a,b R .

Когда решение общего однородного уравнения известно, общее решение неоднородного уравнение можно записать в виде

y x y0 x y* x ,

где y0 – общее решение однородного уравнения, а y* – частное (какое-

нибудь) решение неоднородного уравнения. Наиболее востребованы функции, для которых интегрирование можно провести аналитически. Класс таких функций составляют линейные комбинации выражений вида

15

xn,eax , cos bx, sinbx и любые произведения этих четырех функций. Линей-

ность уравнения позволяет решать задачу нахождения общего решения «по отдельности» для каждого слагаемого, а затем сложить их. Следовательно, достаточно рассмотреть в качестве f x :

xn,eax,cosbx,sin bz, xneax, xn cosbx,eax cosbx, xneax cosbx.

Приведенный список позволяет лучше почувствовать, какие функции могут стоять в правой части уравнения.

Для решения неоднородных уравнений с правой частью указанного вы-

ше вида обычно применяют метод неопределенных коэффициентов. Заме-

тим, что все функции, допущенные в качестве правой части уравнения, мало меняются при дифференцировании. Это позволяет описать для фиксированной правой части базис функций, по которому можно разложить частное решение, пока что с неопределенными коэффициентами. Далее надо вычислить результат применения оператора L к составленному выражению. Приравнивая полученное выражения к функции f x , получим равенство двух линей-

ных комбинаций элементов базиса. Такое равенство возможно, только если равны все коэффициенты при элементах базиса. Таким образом, возникает система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, причем эта система всегда имеет единственное решение. При составлении выражения частного решения необходимо контролировать следующее обстоятельство – некоторые элементы базиса могу обращаться в ноль оператором, стоящим в правой части. Присутствие таких слагаемых в выражении с неопределенными коэффициентами бесполезно. Но если их удалить, то неопределенных коэффициентов станет меньше, чем уравнений и система не будет иметь решения. Имеется простой способ исправить эту «недостачу». Достаточно умножить соответствующие элементы базиса на x.

Далее перечислены все возможные варианты составления выражения для частного решения. При этом предполагается, что

шение надо искать в виде:

16

y* x eax P x cosbx Q x sin bx ,

где P x ,Q x – многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

2. Случай «совпадения»: f x e 1x , т. е. Lf 0 . Тогда частное решение надо искать в виде:

y* x Ae 1x Bxe 2 x.

3. Характеристический многочлен имеет совпадающие вещественные корни 1 2 и f x xke 1x ,k 0,1. Тогда частное решение надо искать в том же виде, что и в первом случае:

y x eax P x cosbx Q x sin bx .

4. Случай «совпадения»: f x xke 1x , тогда частное решение надо искать в виде:

y* x xe x Acosbx Bsin bx .

Разберем описанное выше на примерах.

1. Решить задачу Коши: y 5y 6 y e x , y 0 1, y 0 2 . Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров

коднородным уравнениям. Корни характеристического уравнения 1 2 и

2 3 вещественны и различны, общее решение однородного уравнения:

y0 C1e2x C2e3x.

Функции e2x ,e3x не являются решениями однородного уравнения и, следовательно, частное решение надо искать по формуле пункта первого. За-

17

метим, что в рассматриваемом случае n 0, a 1, b 0 и запишем выражение для частного решения с неопределенными коэффициентами:

y* x Ae x.

Чтобы подставитьэту функциювуравнение, надовычислитьпроизводные:

Ae x 5Ae x 6Ae x e x 12Ae x e x A 1/ 12.

Теперь можно записать общий вид решения неоднородного уравнения:

y y0 y* C1e2x C2e3x e x . 12

Остается решить задачу Коши, т. е. подобрать постоянные так, чтобы выполнялись начальные условия. Для этого потребуется производная:

y 2C1e2x 3C2e3x e x . 12

Запишем значения функции производной в точке ноль:

2. Найти общее решение уравнения: y 5y 6y e2x . Решение однородного уравнения то же, что в примере 1 на с. 17.

y0 C1e2x C2e3x.

Но на этот раз, правая часть оказывается решением однородного уравнения, поэтому частное решение надо искать по формуле п. 2 (с. 17).

y* Axe2x.

Вычисляем производные:

y Ae2x 1 2x , y 2Ae2x 1 2x 2Ae2x

и получаем уравнение для определения коэффициента:

2Ae2x 1 2x 2Ae2x 5Ae2x 1 2x 6Axe2x e2x A 1.

18

Общим решением неоднородного уравнения является

yy0 y* C1e2x C2e3x xe2x.

3.Найти общее решение уравнения: y 6y 9y e2x .

Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров

однородных уравнений. Характеристическое уравнение имеет кратный корень 1 2 3, общее решением однородного уравнения является

y0 C1e3x C2xe3x.

Функция e2x не является решением однородного уравнения и, следовательно, частное решение надо искать по формуле

y* Ae2x.

Вычисляем производные y 2Ae2x , y 4Ae2x и находим коэффициент: 4Ae2x 12Ae2x 9Ae2x e2x A 1.

Общее решение неоднородного уравнения:

yy0 y* C1e3x C2xe3x e2x.

4.Найти общее решение уравнения: y 6y 9y e3x.

Левая часть уравнения та же, что в примере 3 на с. 14 – кратный корень.

Решение однородного уравнения:

y0 C1e3x C2xe3x.

Правая часть уравнения является решением однородного уравнения, и

потому частное решение надо искать по формуле

y* Ax2e2x.

Вычислим производные y* :

y* Ae3x 2x 3x2 , y* Ae3x 2 12x 9x2

и подставим их в неоднородное уравнение:

Ae3x 2 12x 9x2 6Ae3x 2x 3x2 9Ax2e3x e3x.

После упрощений получаем, что

2Ae3x e3x A 12 .

19

Общее решение неоднородного уравнения

yy0 y* C1e3x C2xe3x 12 x2e3x.

5.Найти общее решение уравнения y 6y 13y 2x2 1.

Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров однородных уравнений. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни 1 3 2i и 2 3 2i , общее решение однородного уравнения:

y0 e3x C1 cos 2x C2 sin 2x .

Функция 2x2 1 не является решением однородного уравнения и, сле-

довательно, частное решение надо искать по формуле

y* Ax2 Bx C.

Чтобы найти коэффициенты, вычислим производные y* :

y* 2Ax B, y* 2A

и подставим их в уравнение:

2 A 6 2 Ax B 13 Ax2 Bx C 2x2 1.

Коэффициенты при всех степенях x должны совпадать. Это дает систему

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является

yy0 y* e3x C1 cos2x C2 sin 2x 132 x2 16924 x 2197261 .

6.Найти общее решение уравнения y 4 y sin 2x.

Составим характеристическое уравнение

2 4 0.

Его корни

1,2 2i.

Решение однородного уравнения:

y0 C1 cos 2x C2 sin 2x.

20