Sb98337

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

С. Г. ИВАНОВ А. В. МОРОЗОВА

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2019

1

Введение

В течение многих лет в курсе математики заметную роль играют дифференциальные уравнения – область, совмещающая в себе и вычислительную составляющую, и практические приложения, и теоретические вопросы (например, существования и единственности). Кроме того, различные применения в курсах математики находят понятия линейного пространства, линейного отображения и соответствующей вычислительной и логической техники. Можно вспомнить и работу с матрицами, и решение систем линейных уравнений, и применение алгебраических методов для аналитической геометрии, и различные вычисления с многочленами, и другие темы, в которых используются идеи, связанные с линейным пространством и линейными преобразованиями. В данной работе два подхода используются одновременно, при этом оказывается, что приемы, используемые для объектов в евклидовом пространстве (для многочленов) и для дифференциальных уравнений имеют много общего. Например, решение некоторых дифференциальных уравнений можно рассматривать как поиск собственных чисел и собственных векторов дифференциального оператора.

3

1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1.1. Линейное пространство

Определение. Множество L называют линейным (векторным) пространством, если на нем введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие условиям:

1)x, y L x y L ;

2)x y y x ;

3)x y z x y z ;

4)существует нулевой элемент, x + 0 = 0 + x;

5)для каждого элемента существует противоположный элемент –x:

–x x 0 ;

6)x L x L, R ;

7)существует единичный элемент 1:

1 x x 1 x ;

8) x x, x L, , R ; 9) x y x y, x, y L, R ;

10) x x x, x L, , R .

Примечание. Линейное пространство может состоять из любых элементов: арифметических и геометрических векторов, матриц, функций и других математических объектов.

Задачи.

Являются ли линейными пространствами следующие множества:

–всех сходящихся последовательностей;

–всех расходящихся последовательностей;

–всех функций, интегрируемых на отрезке [a, b];

–всех функций, не интегрируемых на отрезке [a, b]?

Здесь мы видим совмещение в одной задаче алгебры и математического анализа.

1.2. Базис линейного пространства

Понятие базиса, известное нам по системе арифметических и геометрических векторов, можно обобщить на произвольное линейное пространство.

Базисом линейного пространства называют подсистему, которая линейно независима и является порождающей.

4

Если каждый элемент пространства можно линейно выразить через некоторую меньшую подсистему (представить как линейную комбинацию), то говорят, что эта подсистема порождает всю систему.

Система элементов линейного пространства x1, x2, ..., xn называется линейно зависимой, если существуют числа a1, a2, …, an, не все равные 0, такие, что a1x1 a2x2 ... an xn 0 , где 0 – арифметический вектор, состоя-

щий из одних нулей, называемый ноль-вектор. Если таких коэффициентов не существует, то система называется линейно независимой.

Задачи.

1. Докажите, что система многочленов x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, x4 + x3 + x2 + x+ 1, x3 + x2 + x + 1, x2 + x + 1, x + 1, 1 линейно независима.

Найдите разложение многочлена x4 + x3 в этой системе.

Примечание: можно задать взаимно-однозначное соответствие между многочленами степени не выше 5 и арифметическими векторами.

2. Докажите, что система x2 + 1, –x2 + 2x, x2 –x образует базис среди многочленов степени, не превосходящей 2, и выпишите в этом базисе столбец координат многочлена –2x2 + x–1.

3.Докажите, что система многочленов (x – 1)4, (x – 1)3, (x – 1)2, (x – 1), 1 линейно независима.

4.Найдите матрицу перехода от системы многочленов (x – 1)4, (x – 1)3, (x – 1)2, (x – 1), 1 к базису x4, x3, x2, x, 1.

5.Найдите координаты многочлена x2 + 1 в базисе (x – 1)2, (x – 1), 1.

6.Докажите, что пространство всех многочленов бесконечномерно.

7.Доказать, что (1, 1, 1), (1, 1, 2) и (1, 2, 3) образуют базис, и найти координаты вектора (6, 9, 14) в этом базисе.

1.3. Подпространство

Определение. Пусть L – линейное пространство. Его подмножество M называют подпространством пространства L, если оно само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число, заданных в L.

Примеры линейных подпространств: плоскость в пространстве, прямая на плоскости.

Задачи.

1. Являются ли подпространством: множество векторов, параллельных данной плоскости; множество векторов, перпендикулярных данному вектору; множество векторов, модуль которых меньше 1.

5

2.Являются ли подпространством: множество последовательностей из n элементов, у которых элементы 1 и 3 равны 0; множество последовательностей из n элементов, у которых элементы 1 и 3 равны 1.

3.Является ли подпространством множество векторов, у которых: первый элемент равен последнему; сумма всех элементов равна 0; разность первого и второго элементов равна 1.

4.Являетсялиподпространствомматрицы: симметричныеивырожденные.

1.4. Линейная оболочка

Пусть M – произвольная система векторов из линейного пространства L. Линейной оболочкой системы M называют множество векторов {t1x1 +

t1x1 + +… + tkxk}, где все xi принадлежат А.

Примеры. Найдите размерность линейной оболочки векторов и какой-

нибудь базис: 1. (1, 0, 0, –1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3)

Ответ: Размерность 3, базис, например, x1, x2, x4. 2. 3t2 –1, 2t2 t, t .

Ответ: Размерность 3, система векторов линейно независима.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

2.1. Линейный оператор

Линейным оператором линейного пространства L называют отображение A из L в L, удовлетворяющее следующим условиям. Для каждых x, y L и вещественного числа t выполняются равенства:

A(x + y) = A(x) + A(y);

A(tx) = tA(x).

Сложение операторов, умножение на число, умножение операторов (т. е. композицию) можно выразить в виде матриц, о чем мы будем говорить далее.

2.2. Собственные числа и собственные векторы

Определение. Число λ называется собственным числом оператора L, если существует такой ненулевой вектор x, что L(x) = λx. При этом вектор x называется собственным вектором оператора L, отвечающим собственному числу λ.

Задачи.

1. Найдите собственные числа и собственные векторы:

6

а) проектирования на ось z (вместо вектора (x, y, z) берем вектор (0, 0, z)); б) проектирования на фиксированный вектор.

2. Найдите собственные числа и собственные векторы векторного произведения на фиксированный вектор с заданными координатами (a, b, c).

2.3. Матрица перехода. Линейный оператор в новом базисе

Если через базис e выражаем базис f, то получаем матрицу перехода от прежнего базиса e к новому базису f. Столбцы матрицы перехода есть координаты «новых» базисных элементов в «старом» базисе.

В таком случае, если Le – матрица оператора в базисе e, то матрица оператора в базисе f получается по формуле Cf-eLeCe–f.

2.4. Обратный оператор

Пусть A – линейный оператор линейного пространства L. Тогда линейный оператор B линейного пространства L называют обратным к А, если для каждого x из L выполнено условие B(A(x)) = x.

Если к данному линейному оператору существует обратный, оператор называется невырожденным. Если обратного не существует, оператор назы-

вается вырожденным.

Например, обратным к растяжению в два раза будет сжатие в два раза.

Задача.

Существует ли обратный оператор для векторного произведения на фик-

сированный вектор? Существуют алгебраическое и геометрическое решение.

Первый способ: матрица оператора невырождена.

Второй способ: поиск примеров и контрпримеров. Найдутся ли два различных вектора, образы которых совпадают?

Третий способ: оператор невырожден тогда и только тогда, когда его ядро нулевое.

2.5. Ядро и образ линейного оператора

Определение. Образом линейного оператора называют множество всех его значений, ядром линейного оператора называют множество всех элементов, на которых оператор принимает нулевое значение. Ранг оператора равен размерности образа.

7

Задачи.

Найти ядро:

а) проекции на плоскость в пространстве; б) векторного произведения на фиксированный вектор;

в) оператора дифференцирования на пространстве всех многочленов. Какие из операторов являются невырожденными?

1.Умножение вектора на константу (два случая: нулевая константа и ненулевая).

2.(x, e)e (обозначение скалярного произведения).

3.a) x – (x, e) б)* x – 2(x, e).

4.2zi + (x-z)j + (2x + 3z)k.

Является ли оператор линейным? 5. (3x1 + 5x3, x1 + x3 + 1, 3x2 – 6x3).

Примечание: значение линейного оператора на нулевом векторе равно нулевому вектору.

Обратное неверно. Например: взятие синуса на множестве вещественных чисел не является линейным оператором.

2.6. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Практическая роль собственных векторов видна, например, в такой закономерности. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду возможно для матрицы n х n тогда и только тогда, когда существует n линейно независимых собственных векторов.

Использование проекции для разложения по базису. В трехмерном ев-

клидовом пространстве с геометрической точки зрения коэффициенты разложения по базису являются проекциями вектора на оси координат. В общем случае линейного пространства перпендикуляр может быть и не определен, но иногда есть возможность обобщения понятия расстояния, угла и перпендикулярности на произвольное множество. Для этого достаточно обобщить понятие скалярного произведения.

Определение. На линейном пространстве задано скалярное произведение,

если каждой паре векторов задано в соответствие действительное число, причем выполнены условия:

(x, y) = (y, x);

(x1 + x2, y) = (x2, y) + (x2, y); (ax, y) = a(x, y), a R .

8

Можно определить длину вектора через скалярное произведение: квадратный корень из (x, x).

Обычно используют формулу (x, y) = x1y1 + x2y2, но возможны и другие варианты.

В качестве примеров:

1.(x, y) = 2x1y1 + 5x2y2.

2.Скалярное произведение многочленов a0 + a1x + … как скалярное

произведение двух векторов с координатами, равными коэффициентам.

3. Скалярное произведение многочленов как интеграл от произведения. Скалярное произведение с интегрированием можно обобщить не только на многочлены, но и на произвольные непрерывные функции. Далее, посколь-

ку есть возможность строить проекции, упрощается процесс разложения по базису. Можем получить координаты по формуле tk = (x, ek).

Примечание: на одном множестве можно по-разному ввести скалярное произведение. Тогда и расстояние, и углы будут другими.

3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3.1.Собственные числа и собственные векторы оператора дифференцирования как элементы базиса множества решений дифференциального уравнения

Если искать собственные векторы в пространстве многочленов степени не выше некоторого числа, собственные векторы будут только константами, поскольку при дифференцировании понижается степень многочлена. Но если

рассмотреть линейную оболочку экспонент вида etx , получим, что такие экспоненты являются собственными векторами:

(etx ) t(etx ) .

Если подставить такое соотношение в дифференциальное уравнение ay by cy 0 , то получим уравнение at2 bt c etx 0.

два различных вещественных корня, мы получим два линейно независимых решения дифференциального уравнения. Для случая с совпадающими корнями или с комплексными корнями решение придется несколько модифицировать, эти случаи рассмотрим позже.

9

Поскольку множество решений дифференциального уравнения второго порядка двумерно, то получается, что решив квадратное уравнение, мы нашли общее решение для дифференциального уравнения.

Если для дифференциального уравнения заданы значения функции и первой производной в начальной точке, то можно найти и коэффициенты функции, т. е. частное решение. Для этого надо подставить коэффициенты функции из общего решения в условия на значения функции и производной.

Примеры.

Ответ: C1e2x C2e 4x/3 .

3. y 5y 4y 0, y 0 y 0 1 (частное решение).

Ответ: ex .

В случае кратных корней экспонент не хватает для формирования базиса. Опишем стандартный алгоритм модификации базиса. Рассматриваем уравнение второго порядка. Кратность корня не может быть больше двух. Поэтому характеристическое уравнение по теореме, обратной теореме Виета,

имеет вид: 2 2a a2 0. Поэтому соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид: y 2ay a2 y 0 . Можно проверить, что вместе с экспонентой eax решением уравнения является и функция xeax .

Вычислим первую eax axeax и вторую 2aeax a2xeax производные, подставим их в уравнение и убедимся, что это решение.

Для уравнений произвольного порядка кратность корня может быть выше. Если кратность корня a равна k, то функции eax, xeax , xk 1eax

будут решениями.

Теперь рассмотрим общее решение для комплексных корней.

Сначала рассмотрим пример: y y 0 , характеристическое уравнение

имеет вид 2 1 0 .

Уравнение y y 0 имеет среди множества решений функции y sin x и y cos x . Это указывает на то, что тригонометрические функции будут участвовать в ответах с комплексными корнями.

10