LS-Sb87083

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

СХЕМОТЕХНИКА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Методические указания к курсовому проекту по одноименной дисциплине

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2011

УДК 550.34.037.4 (075)

Схемотехника измерительных устройств: Методические указания к курсовому проекту по одноименной дисциплине / Сост.: М. Ю. Агапов, В. И. Гупалов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011. 40 с.

Курсовой проект является основной формой самостоятельной работы студентов по курсу «Схемотехника измерительных устройств» и имеет целью закрепление навыков к практическому применению теории. Методические указания содержат общие сведения и методики расчета активных аналоговых электрических полиноминальных фильтров.

Предназначены для студентов направления 200100 «Приборостроение», изучающих схемотехнику.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

вкачестве методических указаний

©СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011

2

Введение

Фильтры являются одним из наиболее массовых устройств радиотехники. Они обеспечивают пропускание электрических сигналов в определенной полосе частот, подавление их за пределами этой полосы и применяются для выделения или подавления определенных колебаний, разделения каналов, а также входят в состав различных радиотехнических систем. Фильтры могут быть пассивными и активными.

Пассивными фильтрами называются устройства фильтрации, использующие для формирования частотной характеристики пассивные электрические элементы – резисторы, конденсаторы и индуктивности.

Активными – фильтры, использующие для формирования частотной характеристики заданного вида как пассивные (в основном резисторы и конденсаторы), так и активные (транзисторы и операционные усилители) элементы.

К преимуществам активных фильтров, в первую очередь, следует отне-

сти:

способность усиливать сигнал, лежащий в полосе их пропускания;

возможность отказаться от применения таких нетехнологичных элементов, как индуктивности, использование которых несовместимо с методами интегральной технологии;

легкость настройки;

малые масса и объем, которые слабо зависят от полосы пропускания, что особенно важно при разработке устройств, работающих в низкочастотной области;

простоту каскадного включения при построении фильтров высоких порядков.

Вместе с тем данному классу устройств свойственны следующие недостатки, ограничивающие область их применения:

невозможность использования в силовых цепях, например в качестве фильтров выпрямителей;

необходимость источника, предназначенного для питания усилителя;

ограниченный частотный диапазон, определяемый собственными частотными свойствами используемых усилителей.

3

В данной работе будут приведены сведения, необходимые для проектирования активных фильтров, а также рассмотрены главные этапы процесса проектирования данных устройств.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 1.1. Характеристики и математическое описание фильтров

Проектирование аналогового фильтра основывается на расчете его передаточной функции, которая является отношением изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала H p L Uвых t L Uвх t . Для перехода от передаточной функции к частотным характеристикам необходимо ввести формальную замену p j ,

где j 1 – мнимая единица.

Передаточную функцию можно представить в виде H j Re H jj Im H j или в показательной форме H j H j e j , где величина

H Re2 H j Im2 H j представляет собой АЧХ фильтра, а величина arctg Im H j Re H j – ФЧХ фильтра. По форме АЧХ

различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие фильтры (ФПП) и полосно-заграждающие фильтры (ФПЗ). Примеры АЧХ различных типов фильтров показаны на рис. 1.1.

Для описания базовых типов фильтров вводится понятие частоты срезаc – частоты входного сигнала, на которой наблюдается уменьшение мощности в два раза или, другими словами – уменьшение амплитуды выходного

сигнала по отношению ко входному в 2 раз. Также пользуются понятием полосы пропускания – диапазона частот, в котором входной сигнал проходит через фильтр без ослабления, и понятием полосы заграждения – диапазона частот, на которых при прохождении входного сигнала через фильтр происходит его ослабление.

1.2. Аппроксимация АЧХ фильтров

Активные аналоговые фильтры задаются передаточной функцией H p в виде дробно-рациональной функции, представляющей собой отношение

4

полиномов:

Для обеспечения устойчивости разрабатываемого фильтра необходимо, чтобы степень полинома знаменателя была большей или равной степени полинома числителя m n . Нулями передаточной функции называются комплексные числа, при которых числитель передаточной функции обращается в ноль, а полюсами этой функции – числа, при которых знаменатель передаточной функции обращается в ноль. Для физически реализуемого устойчивого фильтра необходимо, чтобы все его полюсы лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости. Порядок фильтра задается максимальной степенью полинома числителя и знаменателя передаточной функции фильтра.

Рис. 1.1. Примеры АЧХ фильтров различного типа: а – ФНЧ; б – ФВЧ; в – ФПП; г – ФПЗ

При действительных коэффициентах ai и bi корни полиномов могут

быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными, поэтому один из способов реализации фильтра – разложение передаточной функции на произведение L простых дробей, в которых числитель и знаменатель являются полиномами не выше второго порядка:

5

Данное представление передаточной функции фильтра соответствует последовательному включению L фильтров, описываемых отношением полиномов со степенью не выше 2 – такой фильтр называется биквадом.

Передаточная функция любого фильтра чётного порядка может быть представлена в виде произведения квадратных полиномов. Для нечётных по-

рядков полинома коэффициент при p2 равен нулю.

Если корни полинома имеют сопряженные комплексные значения, то реализация такого фильтра с помощью пассивных RC-цепей невозможна. Для реализации фильтров с сопряженными комплексными корнями могут быть использованы LRC-фильтры. Для высоких частот получение необходимых индуктивностей не представляет затруднений. Однако для низких частот нужны бóльшие индуктивности, которые имеют крупные габаритные размеры. Применения индуктивностей для фильтров в низкочастотном диапазоне можно избежать, используя RC-схемы с активными элементами.

С помощью одной и той же схемы можно получить характеристики фильтра любого типа определенного порядка, изменяя лишь номиналы соответствующих сопротивлений и конденсаторов. Расчет схемы конкретного фильтра предполагает знание частотных характеристик каждого фильтра при заданном его порядке.

В процессе проектирования параметры передаточной функции фильтра могут оптимизироваться по различным критериям (порядку фильтра, крутизне АЧХ в переходной области и т. д.). Для удовлетворения каждому из выбранных критериев оптимизации коэффициенты ai и bi передаточной

функции H p должны иметь строго определенные значения.

Наиболее известны методики расчета, основанные на использовании алгебраических полиномов с известными свойствами (коэффициенты этих полиномов ai и bi табулированы), предложенные в своё время учёными Бат-

тервортом, Чебышевым, Бесселем (Томпсоном). Фильтры, аппроксимация передаточной функции которых осуществляется с использованием этих полиномов, получили соответствующие названия.

Наиболее часто используются следующие виды аппроксимации:

аппроксимация по Баттерворту;

аппроксимация по Чебышеву первого рода;

аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Че-

бышева);

6

аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация).

Далее кратко приведены характерные особенности фильтров, имеющих передаточную функцию, соответствующую полиному определенного типа.

В области пропускания АЧХ фильтра Баттерворта имеет гладкий характер и резко спадает в переходной области. Переходная характеристика такого фильтра имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебательность переходной характеристики усиливается.

АЧХ фильтра Чебышева в переходной области спадает более круто. В полосе пропускания она не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду АЧХ в переходной области соответствует большая неравномерность в полосе пропускания. Колебательность переходной характеристики у такого фильтра выражена сильнее, чем у фильтра Баттерворта. АЧХ фильтра Чебышева имеет наиболее крутой спад в переходной области.

Фильтр Бесселя характеризуется меньшей длиной горизонтального участка в полосе пропускания, чем фильтр Баттерворта и более пологим спадом АЧХ в переходной области, чем фильтры Баттерворта и Чебышева. Переходный процесс такого фильтра практически не имеет колебаний. Увеличение порядка фильтра Бесселя выше четвертого приводит к затуханию колебаний переходного процесса.

Фильтр, построенный на основе описания эллиптическими полиномами, содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания АЧХ.

Фильтры Чебышева по сравнению с фильтрами Баттерворта обеспечивают заданную крутизну АЧХ в переходной области, имея меньший порядок. Эллиптические фильтры обеспечивают максимальную крутизну АЧХ в переходной области при минимальном порядке фильтра.

Для сужения переходной области АЧХ фильтра необходимо увеличивать его порядок. Однако это ведёт к увеличению количества элементов, с помощью которых реализован фильтр, и увеличению чувствительности фильтра к номиналам этих элементов.

После выбора нужного типа полинома его коэффициенты ai и bi нахо-

дят из специальных таблиц (выдержки из таблиц приведены в прил. Б). Коэффициенты, содержащиеся в этих таблицах, соответствуют нормированным на частоту среза передаточным функциям ФНЧ. Следует отметить, что в ка-

7

честве базового при анализе и синтезе фильтров обычно принимается ФНЧ. Остальные виды фильтров могут быть построены на его основе либо с использованием структурного подхода, либо заменой переменной p . Струк-

турный подход проиллюстрирован на рис. 1.2. Например, если из полного сигнала вычесть выходной сигнал ФНЧ, то в итоге получим ФВЧ. Полоснопропускающий фильтр можно построить, если включить последовательно ФНЧ (с частотой среза c c1) и ФВЧ (с частотой среза c c0 ). Для по-

строения полосно-заграждающего фильтра достаточно соединить параллельно ФНЧ (с частотой среза c c0 ) и ФВЧ (с частотой среза c c1).

Uвх ФНЧ ФВЧ Uвых

в

Рис. 1.2. Блок-схемы различных типов фильтров: а – ФВЧ; б – ФПЗ; в – ФПП

Передаточные функции фильтров, реализованных по схемам на рис. 1.2, имеют вид:

H p 1 HФНЧ p – для ФВЧ;

H p HФНЧ p HФВЧ p – для ФПП;

H p HФНЧ p HФВЧ p – для ФПЗ.

При использовании метода замены переменной для получения передаточной функции фильтра соответствующего типа необходимо:

для фильтра высоких частот подставить p c2 p ,

где c – частота среза ФВЧ;

для полосно-пропускающего фильтра подставить p c ( p2 c0 c1) p c1 c0 ,

где c c0 c1 2 – середина полосы пропускания ФПП; c0 , c1 – нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания;

8

для полосно-заграждающего фильтра подставить p c p c1 c0 [ p2 c0 c1] ,

где c c0 c1 2 – середина полосы задерживания ФПЗ; c0 , c1 – нижняя и верхняя граничные частоты полосы задерживания.

2. ПАССИВНЫЕ RC-ФИЛЬТРЫ

2.1. Пассивный фильтр нижних частот

Пассивный фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передаёт сигналы низких частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов. На рис. 2.1 изображена схема простейшего RC-фильтра нижних частот.

щие выражения для АЧХ и ФЧХ:

Фазовый сдвиг на частоте среза составляет –45°. На высоких частотахc значение АЧХ H 1 RC , т. е. коэффициент усиления обратно

пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т. е. он уменьшается на 20 дБ в декаду.

В качестве меры времени установления выходного напряжения принята постоянная времени . Она показывает время, в течение которого процесс достигает значения, отличающегося от установившегося на 1e часть значе-

9

ния входного напряжения. Для схемы, представленной на рис. 2.1, постоянная времени равна RC .

2.2. Пассивный фильтр верхних частот

Фильтр верхних частот – это схема, которая передаёт без изменений сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Схема простейшего RC-фильтра верхних частот приведена на рис. 2.2.

ем для фильтра нижних частот c 1 RC .

Фазовый сдвиг на этой частоте составляет +45°. На низких частотахc значение АЧХ H RC , т. е. коэффициент усиления пропор-

ционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления увеличивается в 10 раз, т. е. он увеличивается на 20 дБ в декаду. При c ,

как и для фильтра нижних частот, H 1 2 3 дБ, постоянная времени

RC .

2.3.Пассивный полосовой фильтр

Полосовой фильтр получают последовательным соединением фильтров верхних и нижних частот. Его выходное напряжение на высоких и низких частотах равно нулю. Одна из возможных схем такого фильтра представлена на рис. 2.3.

Найдем частотные характеристики этого фильтра. Его выходное напряжение определяется выражением

10