LS-Sb89541

Данная формула является самостоятельной формой решений задачи Ко-

ши и широко используется в электронно-оптических задачах.

3.5. Расчет электростатических полей

Одним из методов решения электростатических полей является метод функций Грина.

Относительно задач электростатики: функция Грина представляет собой потенциал, создаваемый единичным зарядом, помещенным в некоторую произвольную точку пространства с координатами М0(х0, у0, z0) ограничен-

ного заземленной проводящей поверхностью:

где первое слагаемое – потенциал поля единородного заряда в свободном

пространстве; второе слагаемое – потенциал поля зарядов, созданных на про-

точки расположения заряда М0 до точки наблюдения М (х, у, z). Функция Грина симметрична относительно своих аргументов, т. е.

G(M , M0 ) = G(M0, M ).

Рассмотрим уравнение Лапласа. Относительно точки расположения за-

ряда М0 решение уравнения Лапласа выглядит следующим образом:

ϕ(M0 ) = −ε0 ∫ ϕS (M ) ∂G (M , M0 ) + ∫ ρ(M )G (M , M0 )dV ,

∂n

S V

где S – поверхность; ϕS – распределение потенциала на поверхности S; ρ – распределение плотности объемного заряда в пространстве V. Интегрирова-

ние производится по координатам x, y, z точки М, причем ϕS , ∂G и ρ счита-

∂n

ются известными функциями этих координат.

Решение уравнения Лапласа относительно точки наблюдения М пред-

ставляется в следующем виде:

ϕ( M ) = −ε0 ∫ ϕS (M0 ) ∂G (M , M 0 ) + ∫ ρ(M0 )G (M , M0 )dV .

∂n

S V

Интегрирование проводится по координатам х0, у0, z0 точки М.

21

3.6. Метод интегральных уравнений

Метод функций Грина рассмотрен на примере уравнения Лапласа, теперь рассмотрим решение уравнения Пуассона в аналитическом виде. Применим теорему Грина (3.12) к уравнению Пуассона. Решение его уравнения записывается следующим образом:

где 1-й интеграл – потенциал объемных зарядов ϕρ ; 2-й интеграл – потенци-

ал поверхностных зарядов ϕS ; R0 – расстояние от точки наблюдения до точ-

ки расположения объемных зарядов; Ri – расстояние до точки расположения поверхностных зарядов. Таким образом, ϕ(x, y, z) = ϕρ + ϕS – заданный по-

тенциал на контуре электродов С. Основная сложность – определить ϕS .

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ В ВАКУУМЕ И ПЛАЗМЕ

Движение заряженных частиц описывают различными способами, наиболее распространенными в форме Ньютона, Лагранжа и Гамильтона. Рассмотрим уравнение движения частицы в форме Ньютона.

В процессе движения на заряженное тело (в нашем случае частица) действуют силы, определяемые следующим образом:

(4.1) – уравнение движения в форме Ньютона.

Рассмотрим движение одной частицы. Сила, действующая на движущуюся частицу в электромагнитном поле, определяется как

F = eE + e[v × B].

Рассмотрим движение одной частицы. Перепишем уравнение движения через импульс:

dt

Здесь eE – сила, действующая на частицу со стороны электрического поля; e[v × B] – сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля.

22

Рассмотрим движение частицы в плоскопараллельном поле. Перепишем уравнение движения в декартовой системе координат в проекциях на оси.

Заменим комплексные скорости в проекциях на оси:

xɺ, yɺ , zɺ, ɺɺx , ɺɺy , ɺɺz – первые и вторые производные координат по времени (ко-

ординаты скорости и ускорения).

Для уравнения движения в форме Ньютона справедливо утверждение,

что частица может двигаться с любыми скоростями, включая и релятивист-

ские, когда зависимость импульса от скорости нелинейная:

Найдем закон изменения кинетической энергии при движении в элек-

тромагнитном поле. Умножим обе части уравнения (4.3) на v и учтем, что

v = dr , где r – радиус-вектор движения частицы, получим: dt

dp = −e dϕ . dt dt

Таким образом, кинетическая энергия движения частицы увеличивается за счет уменьшения ее потенциальной энергии. При малых скоростях исполь-

зуется разложение в ряд Тейлора.

Для нерелятивистской формы при интегрировании получим:

m0v2 + eΔϕ = const. 2

4.1. Уравнение движения в форме Лагранжа

Для декартовой системы координат уравнение движения Лагранжа по-

лучается из уравнения движения в форме Ньютона в проекциях на коорди-

натные оси:

Вводят функцию Лагранжа L = T − V . Очевидно, что это разность кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия с учетом проекций ско-

рости на оси координат записывается следующим образом: T = m2 (vx2 + v2y + vz2 ).

Потенциальная энергия частиц в общем виде зависит только от координат, и, таким образом, закон сохранения энергии запишется в следующем виде:

Перепишем через функцию Лагранжа (для осей y и z форма записи будет аналогичной):

–это уравнение Лагранжа в проекциях на оси.

Вобобщенных криволинейных координатах qi для уравнения Лагранжа

симые между собой параметры qi (r = 1, 2, …, S) любой размерности, число которых равно числу S степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют положения системы.

4.2.Уравнения движения в форме Гамильтона

Вобобщенных координатах:

H = ∑ piqi − L, i

где Н = T + L – полная энергия частицы. Уравнение движения в форме Гамильтона:

pɺi = ∂H , qɺi = ∂H .

∂qi ∂pi

4.3. Гидродинамическая модель потока

Чтобы построить траекторию одной частицы, нужно знать зависимость ее координат от времени или зависимость скорости от координат. Для определения траектории потока частиц используется гидродинамическая модель потока.

24

Суть модели: для описания движения используется уравнение в гидродинамической форме – оно связывает скорость частицы в каждой точке с координатами этой точки. Используется вместе с уравнениями Пуассона и непрерывности для определения всех параметров потока. Гидродинамическое определение справедливо при условии ламинарности, т. е. отсутствии перемешивания слоев. Таким образом, поток заряженных частиц рассматривается как поток заряженной жидкости.

Запишем уравнение движения электромагнитного объема заряженной жидкости, которое совпадает с уравнением отдельной частицы (4.2). Для любой функции, зависящей от координат, производную по времени можно представить в виде

трических и векторных магнитных потоков. Преобразуем уравнение движения. Объединим части с градиентом и векторные производные:

Таким образом, получим:

поле. Полная энергия частицы не меняется для моноскоростных импульсов и

Величина P = v + e A – обобщенный импульс. Уравнение для потока частиц m

имеет вид

v × rot P = 0.

Для «нормальных», или регулярных, потоков: rot P = 0 . Такие потоки могут создаваться эквивалентными эмиттерами в отсутствие потока магнитного поля через эмитирующую поверхность. Для стационарного или лами-

нарного потока, когда ∂P = 0 , уравнение непрерывности примет следующий

¶t

вид: div j = div(r × v) = Ñ(r × v) = 0 .

4.4. Моделирование интенсивных электронных пучков

Гидродинамическая модель потока описывает движение пучков, однако имеет многие допущения. Такой подход нельзя использовать для описания интенсивных потоков заряженных частиц. Мера интенсивности электронных потоков называется «первеанс»:

где I – ток пучка; U – ускоряющее напряжение, определяющее энергию электрона в пучке. Физический смысл первеанса – характеристика вклада радиальной составляющей кулоновых сил в суммарном взаимодействии между частицами потока, т. е. интенсивность радиальных сил отталкивания в потоке под действием пространственного заряда. Таким образом, при расчете систем формирования интенсивных электронных пучков необходимо учитывать искажения электрических и магнитных полей.

Основу моделирования электронных потоков составляют уравнения Максвелла, которые справедливы даже при взаимодействии поля зарядов с веществом. Кроме того, движущиеся заряды сами являются источником электромагнитного поля. Для моделирования движения неинтенсивных потоков определяют только поле, создаваемое электродами с заданными распределительными потенциалами.

Для моделирования движения интенсивных потоков учет взаимодействия заряженных частиц друг с другом сводится к тому, что электрическое и магнитное поля, входящие в пространство потока, должны быть самосогласованными, т. е. имеет вид суперпозиция внешних и собственных полей. Поня-

26

тие самосогласования полей построено на взаимной зависимости напряженности поля и плотности пространственного заряда.

Гидродинамическая модель потока описывает движение заряженных частиц, но имеет многочисленные допущения. Такой подход нельзя использовать для описания интенсивных потоков заряженных частиц. Частицы в пучке создают собственное электрическое поле, и, поскольку частицы движутся, их можно рассматривать как линейные токи, создающие собственное магнитное поле.

Наибольшее распространение получили осесимметричные потоки заряженных частиц с поперечным сечением в виде круга или кольца (ленточные), а также ленточные (в поперечном сечении имеют форму прямоугольника).

4.5. Движение частиц в плазме

Плазма – полностью или частично ионизированный газ, в котором присутствуют нейтральные атомы, положительно и отрицательно заряженные частицы (электроны и ионы). Фундаментальное свойство плазмы: частицы в плазме взаимодействуют посредством дальнодействующих кулоновских сил, в результате чего эти частицы совершают коллективное движение (возникают различные колебания и волны в плазме).

Основные параметры плазмы: 1) заряд электронов и ионов; 2) масса электронов (me) и масса ионов (mi); 3) концентрация электронов (ne) и ионов

(ni); 4) средняя кинетическая энергия (или температура) электронов (Te) и

ионов (Ti). Заряд и масса – фундаментальные физические константы, а тем-

описания движения частиц в плазме.

Описание плазмы с помощью кинетических уравнений. В кинетиче-

ской теории каждый сорт частиц характеризуется функцией распределения f = f (r, v, t ), зависящей от координат, скоростей и времени, т. е. функция распределения имеет смысл плотности частиц в пространстве.

Полное число частиц определенного сорта определяется как

−∞

27

Таким образом, N = n(r, t)d 3r. Функция распределения f – это плотность частиц в шестимерном пространстве (шестимерное, так как r зависит от координат и v тоже зависит от координат).

Если записать уравнение для потока частиц по аналогии с уравнением непрерывности, то получим:

– уравнение Власова. Уравнения Больцмана описывают короткодействующее взаимодействие, уравнение Власова – дальнодействующие взаимодействия.

∂f

Смысл уравнения: если ¶t оставить в левой части, а все остальное пере-

нести в правую часть, то уравнение можно интегрировать, исходя из того, что изменение функции распределения в данной точке пространства вызвано приходом в нее частиц из других точек пространства и с другими скоростями.

что поток частиц несжимаем. Если учесть столкновения частиц, то вводят дополнительную величину – интеграл столкновений. Столкновения вызывают скачкообразное изменение скорости, которое приводит к перебросу частиц из одной точки пространства в другую.

28

В плазме все частицы коллективно движутся и взаимодействуют между собой. Описать траектории движения этих частиц невозможно, поэтому для решения плазменных задач используют статистические методы. Основная статистическая характеристика для описания движения частиц в плазме – функция распределения. Функцию распределения f = f (r, v, t ) можно пред-

ставить в виде произведения:

f (r , v, t ) = n(r, t) × fv (r, v, t ) ,

где fv (r, v, t ) – функция распределения частиц по скоростям, определяющая относительное число частиц определенной скорости в интервале vdv.

Такие перескоки описывают, добавляя в правую часть уравнения Власо-

в единицу времени в единице шестимерного объема фазового пространства. Интеграл столкновений для лоренцевой плазмы (плазма, которая состо-

ит из электронов и бесконечно тяжелых холодных ионов с зарядом z >> 1) имеет вид

Stei = 2pe4 z2niL Dθ, ϕ × f , me2V 3

где ni – число электронов, рассеивающихся в единице объема; Λ – кулонов-

ский логарифм; V3 – элемент фазового пространства; Dθ, ϕ × f – угловая часть

лапласиана в сферической системе координат. В лоренцевой плазме энтропия возрастает. Это справедливо при столкновении одного сорта частиц.

4.6. Гидродинамическая модель плазмы. Плазма как жидкость

Физическое свойство плазмы: в задачах определения параметров плазмы Е и В не заданы и определяются положением самих частиц. Тогда решают самосогласованную задачу – находят траектории движения частиц, двигаясь по которым, частицы генерируют эти поля.

Описание движения частиц в плазме. Уравнение движения отдельной заряженной частицы имеет вид (4.2). Используют допущения, что столкновения и тепловое движение в плазме отсутствует. В таком случае предполагают, что все частицы элемента жидкости движутся вместе и их средняя скорость (u) совпадает с отдельной скоростью частицы.

29

Нужно получить уравнение для элементов объема жидкости, зафиксированных в пространстве. В таком случае рассматривают в одномерном пространстве любой параметр жидкости G(x, t). Это может быть плотность, вязкость, скорость течения, сжимаемость, температура и т. п. Запишем уравнение для параметра жидкости G(x, t) в системе отсчета, движущейся с жидко-

Для трехмерного случая получим dG = ∂G + (u ×Ñ)G . dt ¶t

Первое слагаемое в правой части уравнения – изменение величины G в фиксированной точке пространства; второе слагаемое – изменение величины G при перемещении наблюдателя вместе с жидкостью в область пространства с другими значениями G. Если рассматривать уравнение для скорости жидкости (где G(x, t) – это u – скорость жидкости), то

При учете тепловых движений в правую часть уравнения добавляют силу давления:

где p = nkT.

30