zanyatie_KhT_6_17aprelya

Теорема 0.1 Пусть 1.

f непрерывна на промежутке T ;

2.

φ непрерывно-дифференцируема на отрезке [a; b], φ([a; b]) = T ;

3. φ(a) = α, φ(b) = β.

Тогда справедливо равенство

b

∫a

f(φ(x))φ′(x) dx =

∫

f(t) dt .

(0.1)

1

√

1

√

t = x2 + 1

2

3

1 + x2 2x dx = x = 0,

= 2

t = 1

pt dt =

2

3

1

=

x 1 + x2 dx = 2

∫

1

∫

1

∫

1

t2

2

| {z }

d(x2+1)

x = 1,

t = 2

2

0

0

= 2

(3 2 1

2 ) =

3 (3p3 1) =

1

3

p3 3 .

1

2

3

3

1

1

16

t = p

x = 1, t = 1

2

2

x

3)

cos px dx =

x = t4

x = 16,

t = 2

=

cos t 4t3dt = 4

cos tdt = 4 sin t

2

=

∫

4

4

∫

∫

px3

dx = 4t3dt

t3

1

4

1

1

1

2

0

5

5.

∫

dx

6. ∫

dx

7. ∫

dx

x p

.

.

x + p

.

p

+

x2

1

(x + 3)3

2x

1

x + 3

2=√

−2

√

1

3

∫0

∫

−1

3

x3

1

1

14.

(

2

x2

+ 1) 2

2

+x dx.

15.

x2

sin

x

dx.

2

Домашнее задание.

4

dx

1. Вычислить интеграл с помощью указанной подстановки ∫0

,

tg x = t.

1 + 2 sin2 x

Вычислить интегралы

1

3

1

2.

∫

x dx

3.

∫

x2

4.

∫

e−x dx.

5.

∫

cos2 x dx.

p

9 x2 dx.

.

5

4x

−1

0

√

0

0