VOPROSY_K_EKZAMENU_2019-1

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

по курсу «Математика: алгебра и геометрия»

для групп ОФО

Векторная алгебра

Основные определения: вектор; нулевой и противоположный вектор; длина вектора; равные векторы; орт вектора; угол между векторами; коллинеарные, ортогональные и компланарные векторы; сумма векторов (правило треугольника и параллелограмма), разность векторов, умножение вектора на число; линейно зависимые и независимые векторы; базис векторов на плоскости и в пространстве; ортонормированный базис; координаты вектора относительно базиса; проекция вектора на ось; правая\левая тройка векторов; скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

1.Векторы. Линейные операции над векторами: сумма (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника), разность, умножение вектора на число. Свойства этих операций.

2.Линейно зависимые и независимые геометрические векторы, теоремы о линейно зависимых векторах (линейная зависимость множества векторов, содержащего нулевой вектор; линейная зависимость множества векторов, содержащего подмножество линейно зависимых векторов).

3.Критерий линейной зависимости 2-х векторов.

4.Критерий линейной зависимости 3-х векторов.

5.Линейная зависимость 4-х векторов.

6.Базис векторов на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису, координаты вектора в выбранном базисе, свойства координат.

7.Ось, орт оси, угол между вектором и осью. Скалярная и векторная проекция вектора на ось, их свойства.

8.Декартова прямоугольная система координат (ДПСК). Теорема о скалярных проекциях вектора на координатные оси в ДПСК. Направляющие косинусы вектора.

9.Скалярное произведение векторов и его свойства. Физический смысл скалярного произведения (как работа силы на прямолинейном перемещении).

10.Векторное произведение векторов и его свойства. Физический смысл векторного произведения (как момент силы относительно точки).

11.Двойное векторное произведение.

12.Смешанное произведение векторов и его свойства.

13.Коллинеарные векторы. Критерии коллинеарности ненулевых векторов (3 критерия).

14.Угол между векторами. Ортогональные векторы. Критерий ортогональности векторов (через скалярное произведение).

15.Преобразование систем координат (в общем виде, сдвиг, поворот). Сдвиг и поворот ДПСК на плоскости.

16.Полярная, сферическая, цилиндрическая системы координат. Связь декартовых координат с полярными, цилиндрическими и сферическими координатами.

Линейная алгебра

Основные определения: матрица (квадратная, нулевая, единичная, симметричная, диагональная, треугольная), равные матрицы; сумма, произведение матриц, произведение матрицы на число, транспонирование матрицы, обратная матрица; перестановка, инверсия, транспозиция, определитель квадратной матрицы; алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы; минор k-го порядка матрицы, ранг матрицы; СЛАУ, решение СЛАУ, совместная СЛАУ, эквивалентные СЛАУ; система Крамера; базисный минор; фундаментальная система решений (ФСР); собственные числа и собственные векторы матрицы.

1.Матрицы. Основные виды матриц.

2.Операции над матрицами (сумма\разность, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование матрицы, возведением матрицы в натуральную степень). Свойства этих операций.

3.Перестановки, инверсия, транспозиция, четные/нечетные перестановки. Теорема об изменении четности перестановки при транспозиции.

4.Определитель квадратной матрицы и его свойства.

5.Разложение определителя матрицы по элементам строки (столбца).

6.Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Единственность обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.

1

7.Минор k-го порядка матрицы. Ранг матрицы. Теорема о сохранении ранга матрицы при элементарных преобразованиях (без док-ва). Методы нахождения ранга матрицы.

8.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решение СЛАУ. Совместные \ несовместные СЛАУ, определенные\неопределенные СЛАУ, равносильные (эквивалентные) СЛАУ. Матричная форма записи СЛАУ.

9.Система Крамера. Теорема Крамера.

10.Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы. Теорема о базисном миноре (без док-ва).

11.Совместные СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.

12.Метод Гаусса решения СЛАУ.

13.Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений (ФСР). Теорема о количестве решений в ФСР.

14.Собственные числа и векторы квадратной матрицы. Характеристический многочлен. Свойства собственных векторов матрицы.

Аналитическая геометрия

Основные определения: уравнение линии и поверхности; алгебраические линии и поверхности; парабола, эллипс, гипербола; эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоид, коническая и цилиндрическая поверхность.

1.Алгебраические линии 1-го порядка. Теорема об уравнении прямой на плоскости.

2.Различные виды уравнения прямой на плоскости.

3.Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (на плоскости).

4.Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

5.Алгебраические поверхности 1-го порядка. Теорема об уравнении плоскости.

6.Различные виды уравнения плоскости.

7.Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

8.Взаимное расположение двух плоскостей.

9.Различные виды уравнения прямой в пространстве.

10.Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

11.Расстояние от точки до прямой в пространстве.

12.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Их свойства. Конические сечения.

13.Поверхности второго порядка: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоид. Их свойства. Метод сечений исследования формы поверхности.

14.Коническая и цилиндрическая поверхность.

15.Общее уравнение кривых второго порядка, приведение к каноническому виду.

16.Инварианты кривых 2-го порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. «Линейная алгебра», М.: Наука, 2003.

2.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. «Аналитическая геометрия», М.: Наука 2002, 1988.

3.Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», М., Наука, 2003, 1984.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М. «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», Москва:

Наука, 1988.

5.Шевцов Г.С. «Линейная алгебра», М.: Гардарики, 1999

6.Шипачев В.С. «Высшая математика», М., Высшая школа, 2001.

7.Горлач Б.А. Линейная алгебра: Учебное пособие для ВПО/ Б.А. Горлач. - СПб: Лань, 2012. -480 с: ил.

8.Практикум и индивидуальные задания по векторной алгебре и аналитической геометрии (типовые расчеты): Учебное пособие для ВПО. - СПб: Лань, 2013. -288 с.

9.Михайлова И.Г. «Матрицы и определители», Озерск: ОТИ МИФИ, 2009.

10.Зернышкина Е.А. «Векторы. Сборник заданий» - Озерск: ОТИ НИЯУ МИФИ, 2019.

11.Зернышкина Е.А. «Аналитическая геометрия: часть 1. Прямые и плоскости» - Озерск: ОТИ НИЯУ МИФИ, 2019.

12.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М., Высшая школа, 2001.

13.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 2005.

14.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, т.1, Москва, Высшая школа, 1986.

2