Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
11 (1). Простейшие задачи квантовой
механики.
Прохождение частицы через
потенциальный барьер. Туннельный
эффект.
Рассмотрим одномерное движение частицы в об- ласти, где существует потенциальный барьер: "ступенька" прямоугольной формы. Направим ось x по направлению движения частицы. На границе областей 1 и 2 частица либо пройдет через барь-
ер в область 2, либо отразится и будет двигаться
в область 1 в противоположном направлении. Ес- ли слева направо движется поток частиц, то часть из них пройдет через барьер, а часть отразится.
Задача заключается в оп-
ределении вероятностей
прохождения и отражения частицы при прохождении
через барьер.
Вклассической механике если кинетическая энер-
гия частицы больше высоты барьера: T = E > U0, то частица преодолевает барьер с достовернос- тью. В квантовой механике это не так: частица мо- жет отразиться от барьера с некоторой вероят- ностью R≠0.
Вклассической механике при E < U0 переход части-
цы из области 1 в область 2 невозможен: отраже-
ние с достоверностью происходит на границе об- 
ластей. В квантовой механике имеется вероят- ность найти частицу в области 2.
Доказательства этих отличий основаны на решении
уравнения Шредингера.
Запишем уравнение Шредингера:
2 |
|
2m |
E U 0, где |
0, x 0 |
|||
x |
2 |
|
2 |
U |
, x 0 |
||
|
|
|
|
U0 |
|||
Найдем решения отдельно в области 1 и 2, а за- тем, используя условие непрерывности, согласуем эти решения (“сошьем”) между собой.
В области 1: |
d 2 1 |
|
2m E 1 0 |
(11.1) |
|
|
dx2 |
|
2 |
|
|
В области 2: |
d 2 2 |
|
2m (E U0 ) 2 0 |
(11.2) |
|
|
|||||
|
dx2 |
2 |
|
|
|
Обозначим: |
k1 |
1 |
2mE ; |
k2 |
1 |
2m(E U0 ) (11.3) |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда записанные уравнения принимают вид:
|
d 2 |
1 k12 1 0 ; |
d 2 |
|
2 k22 2 0 |
(11.4) |
|||
|
dx2 |
dx2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
а их общие решения: |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
a eik1x b e ik1x |
(11.5) |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
|
|
2 |
a eik2 x b e ik2 x |
|
|||||
a |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
– амплитуда падающей волны, в области 1, |
|||||||||
1 |
|||||||||
b1 – амплитуда отраженной волны, в области 1, |
|||||||||
a |
– амплитуда прошедшей волны, в области 2, |
||||||||
2 |
|||||||||
b2 – амплитуда отраженной волны, в области 2.
Врассматриваемой задаче частицы, прошедшие в область 2, при движении в этой области никаких
препятствий не встречают, поэтому отраженного
потока в этой области быть не должно, значит амплитуда отраженной волны в области 2 должна равняться нулю: b2 = 0.
Амплитуды b1 и a2 найдем из условий непрерыв-
ности при x = 0:
|
|
1 |
|
x 0 2 |
|
x 0 |
|
a1 b1 a2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
d 1 |
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
a1ik1 b1ik1 a2ik2 |
(11.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a b k2 |
a |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
k |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Это два уравнения относительно двух неиз- вестных коэффициентов b1 и a2. Решая эту
систему находим:
a |
2k1 |
a ; |
b |
k1 k2 |
a . |
(11.7) |
|
k1 k2 |
k1 k2 |
||||||
2 |
1 |
1 |
1 |
Отсюда коэффициент отражения:
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
U0 |
|
2 |
|
|
R b1 |
k1 |
k2 |
|
|
|
E |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
k2 |
|
|
1 |
1 |
U0 |
|
(11.8) |
|||
a1 |
k1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
Более подробно задача рассмотрена в прило-
жении (в следующей презентации).
Рассмотрим теперь прохож-
дение частиц через прямо- угольный потенциальный барьер конечной ширины d:
|
0, |
x 0 |
|
|
0 x d |
U U0 , |
||
|
0, |
x d |
|
||
Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что отражение происходит на двух границах: 1-2 и 2-3.
Поэтому: |
|
|
a |
eik1x |
b e ik1x |
|
|
1 |
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
a |
|
eik2 x b e ik2 x |
|
|
|
2 |
|
2 |
||
|
3 |
a 3 eik1x |
|
|||
Очевидно, что амплитуды прошедших и отраженных волн будут пропорциональны амплитуде падаю- щей волны a1, поэтому для упрощения вычислений
положим a1 = 1. Как и в предыдущей задаче, амп-
литуды b1, a2, b2, a3 найдем из условий непрерыв- ности и d /dx на границах x = 0 и x = d. Условия непрерывности на границах x = 0 и x = d дают:
1 b1 a2 b2 |
(11.11) |
a2eik2d b2e ik2d a3eik1d |
(11.12) |
Из условий непрерывности d /dx на границах x = 0 и
x = d получаем: ik a |
ik b |
|
ik a |
|
ik b |
(11.13) |
||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
||||||||||
ik |
a |
eik2d ik |
b e ik2d |
ik a eik1d |
(11.14) |
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
Мы получили систему из 4-х уравнений относитель-
но 4-х неизвестных b1, a2, b2, a3. Наибольший инте-
рес представляет квадрат модуля отношения a3
(амплитуда прошедшей волны) к амплитуде пада-
ющей волны a1 в случае, когда высота барьера больше, чем энергия частиц. Это отношение назы- вается коэффициентом прозрачности барьера D :
D = a3/a1 2.
Т.к. a1 = 1, достаточно найти a3. Решение дает следу- 
ющий результат: |
|
|
|
E |
|
2 |
2m(U0 E )d |
D 16E |
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||
U0 |
|
|
U0 |
|
|
||
Вывод этой формулы приведен в приложении (сле- дующая презентация). 
Итак, частица с энергией E < U0 может пройти сквозь барьер. Вероятность этого (невозможного с точки зрения классической физики) события (прозрач-
ность барьера D) сильно зависит от ширины барь-
ера d, массы частицы m и разности (U0 - E) между высотой барьера и энергией частицы (все эти ве- личины находятся в показателе экспоненты).
Явление прохождения частицы сквозь потенциаль- ный барьер называется туннельным эффектом.
В этом названии образно подчеркивается тот
факт, что частица не "взбирается" на вершину барьера, а проходит сквозь барьер как бы через
туннель. При этом частица не теряет энергию, она
выходит из барьера с той же энергией, с какой в него попа-дает. 