6.2 Коды с проверкой на четность

При построении таких кодов передаваемая последовательность разрядов разбивается на группы. В наиболее простом случае проверка на четность производится в каждой группе, в результате чего число единиц в группе доводится до четного.

В таком коде к кодовым комбинациям безизбыточного первичного двоич­ного -разрядного кода добавляется один дополнительный разряд (символ про­верки на четность, называемый проверочным, или контрольным). Если число символов 1 исходной кодовой комбинации четное, то в дополнительном разряде формируют контрольный символ 0, а если число символов 1 нечетное, то в дополнительном разряде формируют символ 1. В результате общее число сим­волов 1 в любой передаваемой кодовой комбинации всегда будет четным.

Таким образом, правило формирования проверочного символа сводится к следующему:

. (6.12)

где — соответствующий информационный символ (0 или 1), т — общее их число.

Очевидно, что добавление дополнительного разряда увеличивает общее число возможных комбинаций вдвое по сравнению с числом комбинаций исходного первичного кода, а условие четности разделяет все комбинации на разрешенные и неразрешенные. Код с проверкой на четность позволяет обнаруживать одиночную ошибку при приеме кодовой комбинации, поскольку такая ошибка нарушает условие четности, переводя разрешенную комбинацию в запрещенную.

Критерием правильности принятой комбинации является равенство нулю результата суммирования по модулю 2 всех п символов кода, включая прове­рочный символ . При наличии одиночной ошибки принимает значение 1 :

(6.13)

Этот код является -кодом, или -кодом. Минимальное рас­стояние кода равно двум , и, следовательно, никакие ошибки не могут быть исправлены. Простой код с проверкой на четность может использоваться только для обнаружения (но не исправления) однократных ошибок.

Проверочная матрица кода с проверкой на четность имеет вид

. (6.14)

Основным недостатком кода является необнаружение ошибок четной кратности. Поэтому такие коды находят применение в тех звеньях систем передачи, где наиболее вероятны одиночные ошибки.

Ошибки же, возникающие в канале связи, имеют тенденцию к группированию. Для устранения этого недостатка группы разрядов (кодовые комбинации) записываются в виде матрицы. Затем производится проверка на четность столбцов полученной матрицы.

При наличии одной групповой ошибки длиной не более числа элементов в строке матрицы в каждую проверку будет входить не более одного искаженного разряда (произойдет декорреляция ошибок). Ошибки не будут обнаружены, если искажено четное число разрядов в столбце.

Если ошибки независимы, то данный код эквивалентен коду с проверкой на четность по строкам. Если же ошибки коррелированы, то за счет проверки разнесенных разрядов (за счет декорреляции ошибок) данный код будет более помехоустойчивым.

Для повышения обнаруживающей способности проверка на четность может быть проведена одновременно по строкам и столбцам. Последний код называют итеративным (иногда матричным). В данном коде проверочные разряды формируются по следующим правилам:

(6.15)

(6.16)

При таком построении кода будут обнаружены все одиночные, двойные и тройные ошибки, а также все нечетные ошибки, и некоторые четные ошибки большей кратности.

Если пренебречь ошибками кратности более четвёртой, то можно показать, что вероятность необнаруженной ошибки будет равна

. (6.17)

Иногда при построении кода строят квадратную матрицу, т. е. принимают . При этом обеспечивается наименьшая избыточность.

Итеративные коды могут использоваться в сочетании с другими кодами. При этом каждая строка матрицы является разрешенной комбинацией какого-либо кода. В этом случае говорят о произведении двух кодов. Произведение кодов используется и для исправления ошибок.

Данный способ кодирования реализует один из методов так называемого, перемеживания, обеспечивающего эффективную борьбу с групповыми ошибками.

В ряде случаев при построении обнаруживающих кодов элементы кодовой комбинации подвергаются многократной проверке на чётность. Каждая такая проверка охватывает вполне определённые позиции. Часть из этих позиций может входить и в другие проверки. Число проверок и номера позиций, входящих в каждую проверку, выбираются так, чтобы при данной избыточности обеспечить наибольшее расстояние между кодовыми комбинациями.

Известно, что на единицу больше минимального числа проверок, в которые входит символ. Поэтому для увеличения помехоустойчивости стремятся каждую позицию охватить максимальным числом проверок. Такие коды в большинстве случаев строятся методом подбора.

Увеличивая число дополнительных проверочных разрядов и формируя по определенным правилам проверочные символы , равные 0 или 1, можно усилить корректирующие свойства кода так, чтобы он позволял не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. На этом и основано построение кодов Хэмминга.