Лекция 5 помехоустойчивые коды и границы вероятности ошибочного декодирования

5.1 Принципы обнаружения и исправления ошибок

5.2 Классификация помехоустойчивых кодов

5.3 Основные характеристики помехоустойчивых кодов

5.4 Границы вероятности ошибочного декодирования

5.1 Принципы обнаружения и исправления ошибок

В реальных условиях прием двоичных символов всегда происходит с ошиб­ками, когда вместо символа 1 принимается символ 0 и наоборот. Ошибки могут возникать из-за помех, действующих в канале связи (особенно помех импульсно­го характера), изменения за время передачи характеристик канала (например, за­мирания), снижения уровня передачи, нестабильности амплитудно- и фазочастотных характеристик канала и т. п.

Общепринятым критерием оценки качества передачи в дискретных каналах является нормированная на знак или символ допустимая вероятность ошибки для данного вида сообщений. Так, допустимая вероятность ошибки при телеграфной связи может составлять (на знак), а при передаче данных — не более (на символ). Для обеспечения таких значений вероятностей одного улучшения только качественных показателей канала связи может оказаться недостаточным. Поэтому основной мерой является применение специальных методов повышения качества приема передаваемой информации. Эти методы можно разбить на две группы.

К первой группе относятся методы увеличения помехоустойчивости приема единичных элементов (символов) дискретной информации, связанные с выбором уровня сигнала, отношения сигнал/помеха (энергетические характеристики), ши­рины полосы канала, методов приема и т. д.

Ко второй группе относятся методы обнаружения и исправления ошибок, основанные на искусственном введении избыточности в передаваемое сообщение. Наиболее эффективно избыточность используется при применении помехоустой­чивых (корректирующих) кодов.

При передаче данных осуществляется объединение отдельных единичных элементов в кодовые комбинации, по которым определяется принятое сообщение. У обычного (не помехоустойчивого) кода для каждой кодовой комбинации во всей совокупности есть другая комбинация, отличающаяся от первой лишь одним разрядом. При искажении одного из разрядов кодовая комбинация превратится в другую, и поэтому принятое сообщение будет выдано с ошибкой.

Помехоустойчивое, или избыточное, кодирование применяется для обнару­жения и (или) исправления ошибок, возникающих при передаче по дискретно­му каналу. Отличительное свойство помехоустойчивого кодирования состоит в том, что избыточность источника, образованного выходом кодера, больше, чем избыточность источника на входе кодера. Помехоустойчивое кодирование ис­пользуется в различных системах связи, при хранении и передаче данных в сетях ЭВМ, в бытовой и профессиональной аудио- и видеотехнике, основан­ной на цифровой записи.

При использовании помехоустойчивого кода передаются в канал не все кодовые комбинации, которые можно сформировать из имеющегося числа разрядов, а лишь обладающие определенным свойством, и называемые разрешенными. Другие неиспользованные комбинации называются запрещенными. Введение дополнительных отличных признаков в переданные комбинации позволяет существенно повысить правильность приема. Помехоустойчивые коды подразделяются на коды, которые обнаруживают ошибки, и коды, которые исправляют ошибки.

Для двоичного кода все множество кодовых комбинаций равно N=2ⁿ . При использовании кодов, обнаруживающих ошибки, все множество n-разрядных комбинаций разбивается на два непересекающихся подмножества. Одно подмножество называется разрешенной, а другое запрещенной (рис 5.1 а). Эти подмножества известны как на передающей, так и на приемной сторонах. Если в результате искажений передаваемых кодов комбинация перейдет в подмножество запрещенных комбинаций, то ошибка будет обнаружена. Такие коды позволяют только определить наличие ошибок, но не указывающие номер искаженных разрядов.

Передаются только разрешенные кодовые комбинации, которые имеют определенное свойство. Если принятая кодовая комбинация относится к разрешенным, то считается, что ошибки нет.

При необходимости исправления некоторых возникающих искажений поступают следующим образом. Все множество кодовых комбинаций N разбивают на N_m<N непересекающихся подмножеств. Каждое из этих подмножеств, приписывается к одной из N_m разрешенных комбинаций (рис 5.1 б). В каждом подмножестве существует одна разрешенная комбинация. Если принятая комбинация А_j входит в подмножество N_mj (A_jN_oj), то принимается решение, что передана комбинация A_j. То есть, если принятая кодовая комбинация осталась в том же подмножестве, что и передаваемая, то прием будет без ошибки. Если кодовая комбинация в результате искажений переходит в другое подмножество, то прием будет с ошибкой.

Коды, которые не только обнаруживают ошибку, но и указывают номер искаженной позиции, называются кодами с исправлением ошибок.

Как было сказано выше при использовании помехоустойчивого кода в канале связи передаются только разрешенные кодовые комбинации. Если бы не было помех, то для передачи этих кодовых комбинаций потребовалось бы меньшее число разрядов m:

(5.1)

Таким образом, обнаружение и исправление возникающих в каналах связи ошибок достигается за счет введения в передаваемые кодовые комбинации избыточных разрядов.

Рассмотрим возможность обнаружения и исправления ошибок на простейшем примере. Предположим, что информация передается одноразрядным двоичным кодом. То есть передается информация 0 или 1. Число возможных кодовых комбинаций

, где , .

В каждой кодовой комбинации добавим еще один разряд:

.

Число кодовых комбинаций

.

Эти комбинации составляют множество, состоящее из:

00, 01, 10, 11.

Это множество разделим на два подмножества разрешенных и запрещенных комбинаций. К числу разрешенных отнесем те комбинации, у которых сумма единиц или нулей всегда четная – это комбинации:

00 и 11.

При таком выделении разрешенных комбинаций любая одиночная (или нечетная) ошибка будет изменять число единиц на нечетное. Принятая кодовая комбинация в этом случае переходит в подмножество запрещенных и ошибка будет обнаружена (рис. 5.2).

Если в кодовую комбинацию ввести количество дополнительных разрядов, то можно не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. Если разрешенные комбинации определить таким образом, что любые из них отличаются друг от друга не менее чем тремя разрядами, то одиночная ошибка может быть исправлена. Возможность исправления одиночной ошибки в этом случае связана с тем, что ошибочная комбинация будет отличаться от истинной только одним разрядом, и останется в области, относящейся к передаваемой разрешенной комбинации.

Рис. 5.3. Геометрическая модель помехоустойчивого кода

Рассмотрим сказанное на геометрической модели трехразрядного двоичного кода, при помощи которого можно получить 2³=8 комбинаций. А именно: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Каждую новую комбинацию можно представить точкой в трехмерном пространстве (рис. 5.3).

Для исправления одиночной ошибки разобьем все множества комбинаций на две области, и будем передавать только две кодовые комбинации 110 и 001. Эти комбинации отличаются друг от друга тремя разрядами. Любая одиночная ошибка оставляет кодовую комбинацию в области, относящейся к передаваемой комбинации. Так, при искажении одного разряда в комбинации 001 она превратится в 000, или в 100, или в 101. Все эти комбинации находятся в той же области, что и комбинация 001.

Рассмотренные примеры показывают, что для обнаружения одиночных ошибок кодовые комбинации должны различаться не менее чем двумя разрядами. Для исправления одиночной ошибки кодовые комбинации должны различаться не менее чем тремя разрядами.

Э то различие именуют кодовым (Хэминговым) расстоянием. Под кодовым расстоянием понимают минимальное число позиций, на которых символы данной кодовой комбинации отличаются от символов другой кодовой комбинации. Например, для показанных на рисунке 5.4, кодовое расстояние d равно 3.

Рис. 5.4. Кодовое расстояние между двумя кодовыми комбинациями

Поэтому можно сказать, что возможности по обнаружению или исправлению ошибок определяются числом позиций, на которых отличаются разрешенные кодовые комбинации, то есть кодовым расстоянием.

Кодовое расстояние между i-ю и j-ю кодовыми комбинациями определяется по формуле

, (5.2)

где - значение символов -й позиции j-й и i-й кодовых комбинаций, знак  означает суммирование по модулю 2 (правила сложения по модулю 2: (1+1=0; 1+0=0+1=1; 0+0=0).