1 курс / 1 семестр / Основы корреляционного анализа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное предприятие высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

___________________________________________________________________________________

В.И.Устимов, В.Г.Фарафонов

ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Учебное пособие

ГУАП

Санкт-Петербург

2014

1

АННОТАЦИЯ

Учебное пособие составлено в соответствии с программой по высшей математике для студентов экономических специальностей.

В пособии рассмотрены разделы курса теории вероятностей и математической статистики: основы корреляционного и регрессионного анализа. Каждый раздел содержит теоретические сведения и формулы, проиллюстрированные подробно разобранными примерами. Завершают пособие 10 вариантов контрольных работ для заочников, каждый из которых содержит 4 задачи.

Настоящее пособие может быть рекомендовано как студентам бакалавриата, так и магистратуры, углублённо изучающим вопросы теории вероятностей и математической статистики.

2

ВВЕДЕНИЕ

Математико-статистические исследования становятся необходимым инструментом для получения более глубоких и полноценных знаний о механизме случайных явлений и процессов. Овладение приемами статистической обработки наблюдений, освоение методов составления уравнений, дающих адекватное описание изучаемого явления, — непременное условие получения корректных выводов.

Внастоящем пособии, на примере двух случайных величин, рассматриваются корреляционный и регрессионный анализ, широко применяемые при построении математических моделей. Данные методы обработки и анализа статистических данных широко распространены в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), контроле качества промышленной продукции, металловедении, агрохимии, гидробиологии, биометрии и т.п., что обусловлено простотой подсчёта коэффициентов корреляции и регрессии и тем, что их применение не требует специальной математической подготовки.

Пособие состоит из двух разделов. В первом разделе (Главе 1), рассматривается построение корреляционного поля, корреляционных таблиц и вычисление выборочного корреляционного коэффициента. Там же достаточно подробно описана процедура построения доверительного интервала для коэффициента корреляции и определения значимости корреляционной связи. Во втором разделе (Главе 2) обсуждается построение кривых регрессии, в том числе и построение линейной регрессии.

Авторы стремились изложить материал , с одной стороны, наиболее просто и понятно,

сдругой стороны - достаточно строго с математической точки зрения. Применяемый математический аппарат основан на программе начального университетского курса высшей математики, в частности теории вероятностей и математической статистики.

Впособии приведены экономические примеры, которые позволяют наглядно продемонстрировать последовательность обработки данных. При этом следует отметить, что примеры будут понятны не только студентам экономических специальностей, но и студентам, обучающимся по техническим направлениям и информатике.

Пособие завершается 10 вариантами контрольных работ, что позволяет использовать его при заочной форме обучения. Каждая контрольная содержит 4 задачи, связанных с обработкой данных методами корреляционного и регрессионного анализа.

3

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

Корреляция (от лат. correlatio — соотношение, взаимосвязь), корреляционная зави-

симость — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин. При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин приводит к систематическому изменению значений другой или других величин.

Зависимость между тремя и бóльшим числом случайных величин изучается методами

многофакторного корреляционного анализа [ 5-6 ], которые сводятся к вычислению ча-

стных и множественных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений.

В настоящем пособии мы ограничимся рассмотрением взаимосвязью двух случайных величин ξ и η, математической мерой корреляции которых является коэффициент кор-

реляции rξη.

Корреляционный анализ – это совокупность основанных на теории математической статистики (теории корреляции) методов обнаружения корреляционной зависимости между случайными величинами.

Для двух случайных величин ξ и η корреляционный анализ состоит из следующих этапов:

-построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;

-вычисление выборочного коэффициента корреляци;

-проверка статической гипотезы о значимости корреляционной связи. Рассмотрим подробнее каждый из указанных этапов.

1.1. Корреляционное поле и корреляционная таблица.

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются исходными данными при корреляционном анализе. Пусть (xi, xj) - значения, которые принимают соответственно случайные величины ξ и η в процессе парных измерений (i = 1, ..., n; j = 1, ..., n). Изображая полученные результаты в виде точек в декартовой системе координат, получим корреляционное поле. По характеру расположения точек поля можно составить предварительное представление о форме зависимости случайных величин, например, о том, что одна из них в среднем возрастает (рис. 1a) или убывает (рис. 1b) с возрастанием другой.

4

Пример 1. По 30 фитнес-центрам были установлены затраты ξ на рекламу и количество реализованных годовых абонементов η. В таблице фирмы ранжированы по величине затрат на рекламу:

Таблица 1. Статистические данные (выборка) для примера 1.

5

вых абонементов. При этом связь имеет положительную тенденцию, то есть с ростом переменной ξ наблюдается увеличение величины η.

В случае наличия большого числа различных значений результативного признака (в нашем случае величины η), соответствующих одному и тому же значению признакафактора (величины ξ), целесообразнее воспользоваться для установления факта наличия связи корреляционной таблицей.

Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений факторного и результативного признаков. Для результативного признака необходимо определить величину интервала группировки ∆l . Это можно сделать с помощью формулы Стержэсса, в которой n=30:

Таблица 2. Корреляционная таблица (выборочный закон распределения) для примера 1.

В корреляционной таблице факторный признак ξ, как правило, располагают в строках, а результативный признак η – в столбцах таблицы. Здесь k = (lk + lk+1 )/2, k = 1, ..., n(k) и l = 1, ..., n(l). Числа nlk, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного значения ξ и η. Для nlk, справедливо соотношение:

n(l)n(k )

nlk =n. (1.2)

l 1 k 1

6

Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между ξ и η: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к 1, тем связь сильнее, чем ближе к 0, тем слабее.

3. Если величины ξ и η независимы, то rξη= 0.

4. На рис.3a, 3b схематично показано, как меняется коэффициент корреляции от +1 до 1 в зависимости от вида корреляционного поля:

Как мы уже отмечали, для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю, обратное неверно и требуются дополнительные исследования.

На рис. 3c, 3d представлены примеры, когда несмотря на то, что rξη= 0, на корреляци-

онном поле можно увидеть зависимость между случайными величинами.

9