- •Модели многокритериального оценивания и анализа качества программного обеспечения и методы его оценивания
- •Содержание
- •4.1. Структура выбора со многими отношениями предпочтения
- •4.1.1. Характерные особенности задач многокритериального выбора
- •4.1.1. Характерные особенности задач многокритериального выбора
- •4.1.1. Характерные особенности задач многокритериального выбора
- •4.1.1. Характерные особенности задач многокритериального выбора
- •4.1.1. Характерные особенности задач многокритериального выбора
- •4.1.1. Характерные особенности задач многокритериального выбора
- •4.1.1. Характерные особенности задач многокритериального выбора
- •4.1.2. Уточненное описание структуры выбора с многими отношениями предпочтения. Общая постановка задач векторной
- •4.1.2. Уточненное описание структуры выбора с многими отношениями предпочтения. Общая постановка задач векторной
- •4.1.2. Уточненное описание структуры выбора с многими отношениями предпочтения. Общая постановка задач векторной
- •4.2. Множество эффективных альтернатив и его основные свойства
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.2. Основные свойства множества Парето
- •4.2.3. Методы построения множества Парето
- •4.2.3. Методы построения множества Парето
- •4.2.3. Методы построения множества Парето
- •4.2.3. Методы построения множества Парето
- •4.2.3. Методы построения множества Парето
- •4.2.3. Методы построения множества Парето
- •4.2.3. Методы построения множества Парето
- •4.3. Классификация современных методов решения задач многокритериального выбора
- •4.3. Классификация современных методов решения задач многокритериального выбора
- •4.3. Классификация современных методов решения задач многокритериального выбора
- •4.3. Классификация современных методов решения задач многокритериального выбора
- •4.3. Классификация современных методов решения задач многокритериального выбора
- •4.3. Классификация современных методов решения задач многокритериального выбора
- •Требования к выбору методов многокритериального
- •Технология разрешения критериальной неопределенности
- •4.3. Классификация современных методов решения задач многокритериального выбора
- •4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения
- •4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения
- •4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения
- •4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения
- •4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения
- •4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •Методы скаляризации (свертки показателей)
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей
- •Основные недостатки скаляризации
- •Метод анализа иерархий (метод Томаса Саати)
- •Обобщенная иерархия
- •Этапы МАИ
- •Этапы МАИ
- •шкала словесных определений уровня важности
- •общее удовлетворение школой
- •матрицы локальных приоритетов
- •Этапы МАИ
- •Этапы МАИ
- •Постановка задачи
- •Модель модернизации ИС кафедры
- •Графическое представление путей модернизации
- •Характерные сценарии модернизации ИС кафедры
- •Алгоритм решения задачи
- •Результаты решения машинного
- •Результаты решения машинного
- •Результаты решения машинного
- •Результаты решения машинного
- •Результаты решения машинного
- •Результаты решения машинного
- •Результаты решения машинного
- •Методика сопоставления пакетов математических подпрограмм
- •Алгоритм построения интегрального показателя
- •Технология разрешения критериальной неопределенности. Ортогональный план экспертного опроса
- •Построение ортогонального плана экспертного опроса
- •Иллюстративные примеры. Пример 2
- •Результаты вычисления
- •Программные комплексы для управления проектами
- •Сложность сравнения
- •Требования к методике сопоставления
- •Показатели
- •Методика многокритериального выбора
- •Шкалы и ортогональный план
- •Результирующий показатель
- •Алгоритм методики
- •Результат сравнительного анализа
- •Публикации
- •Публикации
- •Публикации
- •Публикации
- •Проведение экспертного опроса
- •Построение ортогонального плана экспертного опроса
- •Построение результирующего показателя
- •выбор школы
- •оценки
- •общее удовлетворение школой
- •матрицы локальных приоритетов
- •оценки школ
4.1.2. Уточненное описание структуры выбора с многими отношениями предпочтения. Общая постановка задач векторной оптимизации
Обобщенная структура выбора с мультипредпочтением, описывающая задачи векторной оптимизации, имеет следующий вид:
s ,{ri }i ,{Fk }k 1
где s — множество допустимых альтернатив;
{ri }i — множество исходных отношений предпочтения;
{Fk }k 1 — множество правил согласований отношений предпочтения.
SPIIRAS
11
4.1.2. Уточненное описание структуры выбора с многими отношениями предпочтения. Общая постановка задач векторной оптимизации
В задачах векторной оптимизации исходные (входные) отношения |
||
предпочтения |
ri задаются посредством |
функций (функционалов) |
fi : Hi , Hi 1(i ) , отображающих Hi |
множество альтернатив на |
|
подмножество |
действительной оси и дающих каждой альтернативе |
|
кардинальную |
(количественную) оценку. |
Подмножество Hi(i Г) |
называется шкалой оценок по критериальной функции fi. В дальнейшем в данной главе ограничения общности будем предполагать, что каждую критериальную функцию fi необходимо максимизировать (т.е. большие значения критериальных функций предпочтительнее меньших), а предпочтения ЛПР не меняются скачком. Кроме того, для
удобства в дальнейшем вектор |
x |
будем обозначать просто символом |
|
x. |
|
Если множество Г состоит из «m» элементов (Г={1,2,…,m}), то функции |
|||||||||||
образуют «m» мерный вектор |
|
|
|
|
сопоставляющий,f , f ,... f |
|
|
|
T |
каждой |
|
|
|
|
|
||||||||
, f |
|
|
|
|
|
|
|
||||
«точке» принадлежащей пространству |
|
|
|
|
1 2 |
m |
|
|
|
|
|
(области) |
допустимых |
альтернатив x s соответствующую «точку» в m мерном пространстве |
||
SPIIRASцелевых (критериальных) функций |
. |
f (x) m |
|
|
12 |
4.1.2. Уточненное описание структуры выбора с многими отношениями предпочтения. Общая постановка задач векторной оптимизации
На рис.4.1 для случая m=n=2 приведена используемая обычно для пояснения сущности проблем многокритериального выбора геометрическая интерпретация
пространства допустимых альтернатив s и пространства целевых (критериальных) функции , f f1, f2 T .
Конечной целью исследования задач векторной оптимизации обычно является отыскание некоторой наилучшей (оптимальной, эффективной) альтернативы,
принадлежащей множеству допустимых альтернатив s . При этом в настоящее
время известно большое разнообразие вариантов задания множества s , каждый из которых соответствует конкретной модели, относящейся, например, к классу математических, логико-лингвистических либо логико-алгебраических моделей.
Рис. 4.1.
SPIIRAS
13
4.2. Множество эффективных альтернатив и его основные свойства
4.2.1.Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
Вп.4.1 было установлено, что для корректного решения задач многокритериального выбора необходимо в исходную постановку задачи (4.1) (4.2) привнести дополнительную информацию, позволяющую провести ее регуляризацию и построить результирующее
отношение предпочтения. Данная информация может задаваться по- разному. Наиболее глубокий подход к построению rðåçk предполагает выяснение возможности подчинения этого построения определенной аксиоматике. Одна из известных систем аксиом была сформулирована
Эрроу. Важное место среди других аксиом принадлежит аксиомам, связанным с принципом Парето. Данный принцип в общем случае может быть сформулирован с использованием двух определений.
SPIIRAS
14
4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
Определение 4.1. Альтернативы удовлетворяют отношению
доминирования по Парето r (x r y), тогда и только тогда, когда хотя бы |
||
по одному входному |
отношению предпочтения |
ri имело место |
доминирование (ri0 i0 |
, где i0 отношение строгого 0порядка), а по |
|
остальным безразличие или доминирование. |
|
Данное определение можно задать в виде единого соотношения вида: xr y (i )(xri y) (i0 )(x i0 y)
Определение 4.2. Альтернативы x,y s удовлетворяют отношению |
|||
сильного доминирования по Парето (x y) тогда и только тогда, когда |
|||
по каждому входному отношению предпочтения |
r (i ) |
||
i имеет место |
|||
доминирование: |
r |
|
|
.i |
i |
|
Данное определение также можно задать с использованием единого
соотношения вида:
x y (i )(x i y)
SPIIRAS
15
4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
Отношение доминирования по Парето в задачах многокритериального
выбора при задании исходных отношений предпочтения |
r |
с |
|||||
i |
|||||||
использованием функций (функционалов) |
fi (i ) |
и с учетом принятых |
|||||
(xr y f |
(x) f |
( y) i ) |
|
|
|||
ранее требований их максимизации |
i |
i |
|
i |
|
|
|
запишется следующим образом:
(x, y s )(xr y (i )( fi (x) fi ( y)) (i0 )( fi0(x) fi0 ( y)) . Перечисленные представления принципа Парето, во-первых, определяют паретовскую аксиоматику, которой в числе прочих должно удовлетворять результирующее отношение предпочтения, и, во-вторых, используя (4.4)–(4.6) можно непосредственно осуществлять построение результирующего отношения предпочтения.
SPIIRAS
16
4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
Замечание. Везде далее при постановке и решении задач многокритериального выбора будем предполагать выполненной (справедливой) аксиому независимости от непричастных альтернатив. Из данной аксиомы следует, что результат сравнения альтернатив x и y зависит только от них и не зависит от наличия или отсутствия некоторой третьей альтернативы z. Данная аксиома независимости должна восполняться и для соответствующих критериальных функций. Поясним это на примере.
SPIIRAS
17
4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
Пример 4.3. Пусть при управлении ПО ЛПР руководствуется тремя показателями (критериальными функциями): f1 — характеризует общий объем выполненных операций, f2 — характеризует время, оставшееся до конца планового периода управления, f3 — оценивает дополнительные затраты, связанные с обеспечением выполнения запланированных операций.
Если объем выполненных операций высок и имеется большой резерв времени до момента времени tf, то дополнительно активизировать деятельности ПО нет необходимости, т.е. ЛПР будет предпочитать меньшие значения f большим. Если выполнение комплекса операций под угрозой (недопустимо низкие значения f1 и f2), то ЛПР скорее всего предпочтет увеличение f3 (увеличение дополнительных затрат), а не срыв выполнение боевой задачи. Таким образом, направление предпочтения по показателю f3 зависит от того, какие значения принимают показатели f1 и f2.
SPIIRAS
18
4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
Показатель f3 называется зависимым по предпочтению от остальных
показателей. Используя приведенные выше правила определения предпочтительности альтернатив, принадлежащих множеств s , можно в указанном множестве выделить множество недоминируемых (по Парето) или,
по-другому, множествоndПарето, |
которое в дальнейшем будем обозначать |
следующим образом: s s . |
Замечательное свойство множества Парето |
состоит в том, что если это множество не пусто, то всякая альтернатива, лежащая вне множества Парето, доминируется альтернативой, принадлежащей последнему множеству. Следовательно, рационально поиск наилучших, в том или ином смысле, альтернатив сосредоточить именно в области Парето. Так как точки множества Парето не доминируют друг с друга, то переход между этими
точками может привести при решении задач векторной оптимизации к |
||
улучшению результатов по одним критериальным функциям fi1 (x) лишь при |
||
ухудшении результатов по другим |
fi2 (x)(i1,i2 ) |
. Таким образом, |
окончательный выбор во множестве Парето связан с достижением определенного компромисса. Поэтому данное множество получило также название множества (области) компромиссов.
Дадим строгое определение понятию эффективной (недоминируемой по Парето) альтернативы.
SPIIRAS
19
4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора
Определение 4.3. Альтернатива называется эффективной (недоминируемой), если во множестве допустимых альтернатив не существуют решения, которое доминирует по Парето альтернативу x.
Определение эффективной альтернативы формально можно записать в следующем виде:
nd |
)( fi0 ( y) fi0 (x))) (4.7) |
x s ( y s )( (i )( fi ( y) fi (x)) (i0 |
Следует отметить, что в отдельных монографиях или статьях эффективную (недоминируемую) альтернативу также называют паретовской, неулучшаемой альтернативой.
Приведем три примера, иллюстрирующих введенные выше понятия.
SPIIRAS
20