4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора

SPIIRAS

21

4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора

Пример 4.5. Пусть имеется три допустимых варианта создания ПОs ={x1,x2,x3}, каждый из которых характеризуется вектором

каждая компонента вектора f (x1 ) доминируется соответствующими

SPIIRAS

22

4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора

Пример 4.6. В двухкритериальных задачах линейного программирования с двумя неизвестными можно достаточно наглядно представить множество Парето (множество компромиссов) как в

по аналогии с рисунком 4.1 зададим в пространстве альтернатив и критериальных функций соответствующие множества, которые в графическом виде представим на рисунке 4.3.

SPIIRAS

23

4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора

Рис. 4.3.

SPIIRAS

24

4.2.1. Принцип В.Парето в задачах многокритериального выбора

На рисунке 4.3 области Парето альтернатив в пространстве и образ области Парето критериальных функций изображены на качественном уровне (без указания конкретных координат характерных точек указанных множеств). При этом в пространстве s множеству Парето принадлежат точки, лежащие на гранях M1M2,M2M3. Точка M5 является неэффективной, так как доминируется,

например, точкой M2. В пространстве критериальных функций образами точек, принадлежащих граням M1M2,M2M3, являются точки, принадлежащие граням N1N2,N2N3, которые, в свою очередь, образуют образ множества Парето в пространстве целевых функций. Конкретный вариант задания указанных множеств для задач линейного программирования будет приведен в конце данной главы.

Важным практическим результатом выделения области компромиссов (множества Парето) является существенное сужение области поиска оптимальных решений. В связи с этим весьма актуально и полезно получать в явном виде решения из области компромиссов и предъявлять их ЛПР. Для этого необходимо изучить свойства множества Парето и методы его построения.

SPIIRAS

25

4.2.2. Основные свойства множества Парето

соответственно nd). При этом, как и ранее будем предполагать, что все целевые функции максимизируются.

Свойство №1. Никакие альтернативы, принадлежащие множеству допустимых альтернатив s , не доминируют (не превосходят) альтернативы, принадлежащие множеству Парето.

Свойство №2. При переходе от одной точки (альтернативы) множества Парето к другой точке множества Парето происходит увеличение значений одних критериальных функций и уменьшение значений других критериальных функций.

Свойство №3. Множеству Парето принадлежат все альтернативы x s , при которых достигается единственные (или глобальные) экстремумы значений хотя бы одной из критериальных функций fi (i ) , как при отсутствии ограничений на значения остальных критериальных функций, так и при вводе (частичном вводе) таких ограничений. Другими словами, множеству Парето принадлежат альтернативы xi* , для которых

xi* argmax fi (x), i 1,2,...,m

x s

SPIIRAS

26

4.2.2. Основные свойства множества Парето

Свойство №4. Множеству Парето принадлежат все точки x s , в которых достигается единственный (или глобальный) экстремум линейных форм вида

Свойство №5. Если множество альтернатив s является выпуклым компактом и соответствующим требованиям вогнутости (выпуклости) удовлетворяют непрерывные функции fi, то решение совокупности указанных выше экстремальных задач вида (4.8) в принципе определяет все точки множества Парето.

Важное свойство множества, не связанное с предположением о выпуклостиnd , было обнаружено Ю.Б. Гермейером.

SPIIRAS

27

4.2.2. Основные свойства множества Парето

Свойство №6. Любая точка множества Парето, расположенного в строго положительном варианте, может быть представлена как решение задачи

при соответствующем подборе коэффициентов, на которые накладывается

Важную роль в задачах векторной оптимизации играет точка в пространстве критериальных функций , в которой все критериальные функции принимают экстремальные значения (в данном случае максимальные значения).

Пусть fi*(i ) — максимальные значения каждой критериальной функции. Эта точка может иметь прообраз в пространстве альтернатив xèä s в том идеальном случае, при котором в этой точке одновременно достигается максимум по всем указанным функциям. На рисунке 4.3 данная точка обозначена вектором fèä* .

SPIIRAS

28

4.2.2. Основные свойства множества Парето

На рисунке 4.4 изображена ситуация, при которой точка fèä* имеет прообраз (точку) в пространстве альтернатив, которая является единственной точкой множества Парето. Данную точку называют идеальной (утопической) точкой множества Парето. Нахождение идеальной точки во многих случаях оказывается весьма полезным при постановке задач определения реальной точки выбора. Кроме того, компоненты утопической точки fèä* часто используют для нормализации соответствующих критериальных функций.

Рис. 4.4.

SPIIRAS

29

4.2.2. Основные свойства множества Парето

В заключение данного подпункта остановимся на особенностях графического

задания множеств nds и . Так, например, в случае решения двух или трех критериальных задач можно непосредственно находить точки множества Парето на основе анализа соответствующих графиков, задающих множество эффективных оценок. Данный подход лежит в основе реализации методов решения задач, в которых осуществляется оптимизация показателей, оценивающих эффективность и стоимость создания и применения, сложных организационно-технических систем. На рисунке 4.5 для примера построен график шести вариантов ПО, каждый из которых характеризуется своей стоимостью

создания и эксплуатации (показатель f1=C) и эффективностью применения (показатель f2=Э).

Рис. 4.5.

SPIIRAS

30