Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Е. А. Трофимова, Н. В. Кисляк, Д. В. Гилёв

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета

вкачестве учебного пособия для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки

38.03.01«Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2018

УДК 519.2(075.8) ББК 22.171я73-1 Т761

Р е ц е н з е н т ы:

М. Ю. Хачай, доктор физико-математических наук, заведующий отделом математического программирования (Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН);

А. И. Кривоногов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики

(Уральский государственный архитектурно-художественный университет)

П о д о б щ е й р е д а к ц и е й Е. А. Трофимовой

Трофимова, Е. А.

Т761 Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие / Е. А. Трофимова, Н. В. Кисляк, Д. В. Гилёв ; [под общ. ред. Е. А. Трофимовой] ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. – 160 с.

ISBN 978-5-7996-2317-3

В учебном пособии представлен блок теоретического материала и задачи, как подробноразобранные, так и предназначенныедля самостоятельногорешения. Каждому математическому понятию дается экономическая интерпретация.

Для студентов, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика».

УДК 519.2(075.8) ББК 22.171я73-1

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

1.СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1.Предмет теории вероятностей

Можносказать, чтожизньчеловека, да и в целомвсяокружающая среда состоит из череды некоторых событий. Хотелось бы все эти события не только отслеживать, но и пытаться прогнозировать. При этом стоит понимать, чтомногие события или, другими словами, явления – случайные, т. е. они могут наступить, а могут не наступить. Например, выиграть в лотерею автомобиль – событие случайное.

Задача любой науки, в том числе и экономической, состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальныепроцессы. Найденныезакономерности, относящиеся к экономике, имеют не только теоретическую ценность, но и широко применяются на практике.

Выше был приведен пример лотереи. Можно задаться вопросом: зачем нужно изучать степень возможности наступления выигрыша в лотерее автомобиля? Возможно, обычному обывателю и не стоит ничего изучать, а вот организаторам без этого не обойтись. Ведь лотереи проводятся не просто так, а с целью извлечения выгоды (прибыли), а значит, заинтересованность большая. Важно установить, по какой цене нужно продавать билеты лотереи, чтобы получить планируемый доход. Аналогично, страховым компаниямважнопониматьстепеньнаступлениястраховогослучая, чтобы сформировать верное страховоевознаграждение (по сути, прибыль компании). Ведь, если завысить страховое вознаграждение, то можно потерять определенную долю рынка, что крайне нежелательно, а если занизить – можно остаться банкротом. То есть смело можно заявить, что теория вероятностей необходима эконо-

мистам, чтобы обезопасить себя от экономических рисков.

6

Таким образом, очевидно, что необходимо уметь исследовать случайные явления и находить их закономерности. Этим как раз и занимается теория вероятностей.

При этом в названии пособия есть еще «математическая статистика» – что же это такое и где она применяется? Давайте для начала приведемопределения,азатемужепоймемпринципиальнуюразницу между теорией вероятностей и математической статистикой.

Т ео р и я в ер оя т н о с т е й – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

С л у ч а й н ое я в л е н и е – это явлениес неопределенным исходом, происходящее при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Стоит отметить, что в природе, технике и экономике в каждом явлении присутствует случайность: в спросе на товар, в погодных условиях и прочем.

Существует два подхода к изучению явлений: «детерминистский» и «вероятностный». При первом подходе выделяют основные факторы, характеризующие явление, а при втором – учитывают, помимоосновных факторов, второстепенные, которые, если их не учесть, как раз и приводят к случайным возмущениям и искажениям результата.

М а т ем а т и ч ес к а я с т а т и с т и к а – это раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Таким образом, теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений на основе абстрактного описания, а математическая статистика уже на основе этого описания оперирует непосредственно результатами конкретных наблюдений. Можно сказать, что теория вероятностей – это базис, фундаментальная надстройка математической статистики, которая уже применяется в реальной жизни. В связи с этим план изучения таков: сначала понять основные моменты теории вероятностей, а затем на их основе уже рассмотреть инструментарий математической статистики.

7

Как уже стало понятно, теория вероятностей позволяет находитьстепеньобъективной возможности наступления(вероятность) «сложных» событий через «простые», а математическая статистика по наблюдаемым значениям оценивает эту степень либо осуществляет проверку предположений (гипотез) относительно этой степени. Так или иначе, всезавязано на событиях, поэтому сейчас насталовремяперейтикизучениюихсвойствиопераций надними.

1.2.Пространство элементарных исходов

Сл у ч а й н ы м (возможным) называется событие, которое

врезультате опыта (испытания, эксперимента) может произойти илинепроизойти.

П р и м е р ы с о б ы т и й

1.Появление герба при подбрасывании монеты.

2.Выигрышквартиры побилетулотереи.

3.Выход бракованногоизделияс конвейерапредприятия.

При этом стоит понимать, что событие – это не какое-то происшествие, а возможный исход. События, которыми может закончиться опыт, также называют исходами.

Принято обозначать события большими латинскими буквами:

A, B, C.

Буквой обозначается множество всех возможных исходов испытания. Оно бывает конечным или бесконечным (счетным или несчетным). При этом если оно конечное или конечное, но счетное, то множество исходов является дискретным, в случае несчетного – множество исходов непрерывное.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А в л е ч е т з а с о б о й В (т. е. А содержится в В). Обозначается этот факт так: А В.

П р и м е р Если А = {выпало «2» на кубике}; В = {выпало четное число

на кубике}, то А В.

8