Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн

Рис.8

Помимо математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения рассматривают еще несколько характеристикслучайныхвеличин.

М о д а р а с п р е д е л е н и я (рис. 9) – значение случайной величины, плотность распределения в которой принимает наибольшее значение:

MoX = arg max f (x).

х Х

Если у распределения две моды, такое распределение называется бимодальным.

М е д и а н а р а с п р е д е л е н и я – значение случайной величины, длякотороговероятностьпопастьслева и справа отнего одинакова (равна 0,5).

Медиану можно определить как по плотности распределения, таки пофункции распределения.

Пофункции распределения: FX(MeX) = 0,5.

Для симметричных распределений, если математическое ожидание существует, то оно совпадает с медианой распределения.

Н а ч а л ь н ы й м о м е н т р а с п р е д е л е н и я k - г о п о р я д к а обозначается vk и определяется следующим образом: vk = EXk, k = 1, 2, …

59

fX(x)

Ц е н т р а л ь н ы й м о м е н т k-г о п о р я д к а обозначается k и определяется следующим образом:

k = E(X – EX)k, k = 1, 2, …

Д и с п е р с и я – центральный моментвторогопорядка. Центральные моменты выражаются через начальные распределения.

Например, 2 = E(X – EX)2 = EX2 – (EX)2 = v2 – v21.

Для симметричных распределений центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Особое значение имеют центральные моменты третьего и чет-

Для симметричных распределений асимметрия равна нулю, для несимметричных отлична от нуля.

Э к с ц е с с р а с п р е д е л е н и я – нормированный центральный момент четвертого порядка:

K4 E(X – EX)4 .

4 4

60

Эксцесс служит для сравнения какого-либо распределения с нормальным распределением. Для нормального распределения эксцесс равен трем. Он больше трех, если пик распределения около математического ожидания острый, и меньше трех, если пик очень гладкий.

К в а н т и л ь р а с п р е д е л е н и я: xq –q 100%квантиль, если вероятность попастьслучайной величиныслева от xqравна q:

Р(X < xq) = q.

Медиана – это 50 %-ный квантиль. В статистике возникают также квартили и децили. Квантиль можно найти при помощи плотности распределения и функции распределения.

xq

Поплотности распределения: f (x)dx q.

По функции распределения: FX(xq) = q.

3.8. Основные распределения непрерывных случайных величин

Теперь познакомимся с некоторыми специальными распределениями, которые пригодятся нам в дальнейшем.

1. Равномерно распределенная случайная величина.

Пусть С – неизвестное число зависит от величины интервала, на котором определена случайная величина. Тогда плотность распределения имеет вид:

0, x (a,b); f (x)

C, x (a,b).

b

Константа С находится из условия: f (x)dx 1. Получим:

a

61

Таким образом, плотность распределения равномернораспределенной случайнойвеличины:

График плотности распределения этой случайной величины представлен на рис. 10.

fX(x)

1

b – a

а b

Рис.10

Функция распределения равномерно распределенной случайнойвеличины:

0, x a;

x a

F(x) , x (a,b);

b a

1, x b.

График функции распределенияизображен на рис. 11.

Математическое ожидание:E(X) a b .

2

Дисперсия: var(X) (b a)2 . 12

62

FX(x)

а b

Рис.11

2. Нормальное распределение.

Случайная величина Хназываетсянормальнораспределенной случайной величиной с параметрами m и , если плотность ее распределения имеет следующий вид:

Математическое ожидание: E(Х) = m. Дисперсия: var(X) = 2.

Среднеквадратичное отклонение: σ(X) var(X) σ. График плотности нормального распределения называет-

ся н о р м а л ь н о й к р и в о й (кривой Гаусса) и изображен на рис. 12.

fX(x)

1

2

m X

Рис.12

63

С уменьшением кривая становится круче, с увеличением кривая выглаживается (рис. 13). При изменении m криваянеменяет формы, сдвигаясь вправо или влево (рис. 14).

1

2 > 13 > 2 > 1

х

Рис.13

Н о р м и р о в а н н о е н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е - н и е – нормальное распределение с параметрами m = 0 и = 1. Оно имеет важное значение в теории вероятностей и, главным образом, в статистике.

64

Плотность распределения имеет следующий вид:

2

Графикплотностинормированногонормальногораспределения представлен на рис. 15.

X(x)

1

2

Рис.15

Функциянормированногонормальногораспределения:

Утверждение. Пусть у нас имеется нормально распределенная случайная величина X с параметрами m и . Тогда случайная

величина X m имеетнормированноенормальноераспределение.

Следующий факт предлагается читателю для самостоятельного доказательства:

x m F(x) F0 .

Ф у н к ц и я Л а п л а с а:

2π 0

Эта функция нечетная, т. е. Ф(–х) = –Ф(х).

65

Таблицы этой функции имеются во всех учебниках по теории вероятностей и математической статистике.

Вероятность того, что нормированная нормальная случайная величина примет значения из интервала (0, х0), где х0 > 0, равна следующему:

x0

P(0 x x0 ) (x)dx (x0 ).

0

Вероятность попадания в заданный интервал нормальнойслучайнойвеличины

Пусть Х – нормальнораспределенная случайнаявеличина с параметрами m и .

П р и м е р Магазинпродает мужскиекостюмы. Поданным статистического

исследованияизвестно, чтораспределениепоразмерам являетсянормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными 48 и 2 соответственно. Определить процент спросана 50-й размерпри условииразброса значенийэтой величины винтервале(49,51).

Решение. P(49 < X < 51) = Ф((51 – 48)/2) – Ф((49 – 48)/2) = =Ф(1,5) – Ф(0,5) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417. Следовательно, спрос на 50-й размеркостюмовсоставит около24%, имагазинунужнопредусмотреть это в общем объеме закупки.

66

Вычисление вероятности заданного отклонения

Пусть Х –нормально распределеннаяслучайная величина с параметрами m и . Посчитаем вероятность того, что отклонение этой величины по абсолютномузначению будет меньше заданного положительного числа .

поскольку функция Лапласа – нечетная функция (здесь мы воспользовалисьпредыдущимрезультатом). Этовыражениенампонадобится для построения доверительных интервалов.

Правило трех сигм

Правило трех сигм можно выразить следующим образом:

t.

P( x m σt) 2 (t);

t=3:P( x m 3σ) 2 (3) 2 0,49865 0,9973;

P( x m 3σ) 0,0027,

т. е. практически невозможное событие.

На практике, если распределение случайной величины неизвестно, но правило трех сигм выполняется, то считают, что распределение нормальное; если не выполняется, то распределение нормальным не является.

3. Распределение 2.

Пусть Х1, ..., Хn – нормированные нормальные случайные ве-

n

личины, тогда 2 Xi2 распределена по закону 2 с n степенями

i 1

свободы. Если выполняется соотношение Xn = X1 + ... + Xn–1, то число степеней свободы равно n–1.

67

Плотность распределения:

где (x) tx 1e tdt – гамма-функция.

0

Графики плотности распределения 2 при k=5, k=15 и k=10 изображены на рис. 16.

Рис.16

4. Распределение Стьюдента.

Пусть Z – нормированная нормальная случайная величина, 2 (k) – независимая с Z случайная величина, распределенная по закону 2 с k степенями свободы. Тогда случайная величина

68