Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн

свободы. Мы отвергаем нулевую гипотезу, если наблюдаемое значение критерия больше критической точки распределения 2 с двумя степенями свободы для выбранного уровня значимости:

JBнабл > 2( , 2) отвергаем H0.

Критерий Харке – Бера обладает малой мощностью, т. е. он частораспределения, неявляющиесянормальными, относиткнормальному распределению.

6.8. Проверка нормальности из графического анализа гистограмм

1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания нормальнораспределеннойслучайной величинынекоторомучислу.

X ~ N (mx, x).

H0: mx = m0, m0 – некоторое известное число. 1.1. x – известно.

Имеем xi: x1, x2, …, xn Х.

Вспомним факты относительно выборочного среднего Х:

1)х хi , X N; n

2)Ех Ех m0,если верно H0;

х– m0 N(0,1).

x

n

129

Рассмотрим:

z x – m0 n N(0,1).

x

Данную величину называют z-статистикой.

а) Ha: mx m0.

Рассматриваем wкр = {|z| > zкр} при P(|z| > zкр H0) = (рис. 25).

X(x)

Ф(zкр)

0,5 – Ф(zкр)= /2

Рис.25

Вывод: если |zнабл| > zкр H0 отвергаем; если |zнабл| < zкр нет оснований отвергнуть H0.

П р и м е р Проверить, что среднийростравен 170 см.

H0: mx =170; Ha: mx 170;

=0,05 zкр=1,96;

x=6 см, n =100, х =169см;

z (169 –170) 100 –1,67. 6

Вывод:

|zнабл | < zкр нет оснований отвергнуть H0.

130

Здесь можно задать закономерный вопрос: какие m0 не отвергнутся нашей проверкой?

в а л) – интервал, который с заданной надежностью накрывает истинное значение математического ожидания случайной величины Х.

б) Ha: mx m0.

wкр = {z < zкр}; P(z < zкр H0) = ;

0,05; zкр0,05 –1,65.

131

Вывод:

если zнабл > zкр H0 отвергаем;

если zнабл < zкр нет оснований отвергнуть H0.

в) Ha: mx m0.

wкр = {z < zкр}; P(z < zкр H0) = ;

1 zкр: Ф(zкр ) 2 – ;

0,05; zкр0,05 –1,65.

Вывод:

если zнабл < zкр H0 отвергаем;

если zнабл > zкр нет оснований отвергнуть H0. 1.2. x – неизвестно.

xi: x1, x2, …, xn Х, sx.

Отметим: факты справедливы, только если x ~ N:

132

a) Ha: mx m0.

wкр = { t > tкр}.

Критические значение распределения Стьюдента tкрдв ( , n –1) находим из таблиц распределения критических точек распределения Стьюдента для выбранного уровня значимости , числа степеней свободыn–1и двусторонней критической области. Такжеданное значение можно получить посредством программы Microsoft Excel, используя предопределенную функцию СТЬЮДРАСПОБР.

После того, как найдем наблюдаемое и критическое значения критерия, то делаем вывод:

если tнабл > tкр H0 отвергаем;

если tнабл < tкр нет оснований отвергнуть H0.

П р и м е р Рассмотрим веслюдей, больныхгипертонией. Можнолиутверж-

дать, чтосредний вес людей, больных гипертонией, равен 90 кг, если известно: n= 50, х =88 кг, sx =6кг?

Решение:

H0: mx = m0 =90; Ha: mx 90;

t (88 – 90) 50 – 2,36; 6

tкрдв (0,05; 49) 2,01;

tн 2,36 tкр 2,01 отвергаем H0.

Делаем вывод, чтонельзяутверждать, чтосредний ростбольных гипертонией равен 90кг.

Найдем m0, которые не отвергнутся нашей проверкой:

ttкр;

х– m0 n tкр; sx

133

Такимобразом, мыпостроили доверительный интервалдляm0 нормальнораспределенной случайной величиныс уровнемнадежности в случае, когда дисперсия неизвестна.

б) Ha: mx m0.

Тогда рассматриваем wкр = {t>tкр}при P(t> tкр H0)= (рис. 26).

Рис. 26

tкродн ( ; n –1) находим в таблицах критических точек распределе-

ния Стьюдента с уровнем значимости , числом степеней свободы n – 1 и односторонней критической областью или с помощью функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.ПХвпрограммеMicrosoftExcel, используя равенство:

tкродн ( ; n –1) tкрдв (2 ; n –1).

134

После нахождения критического и наблюдаемого значений критерия делаем вывод:

если tнабл > tкр H0 отвергаем;

если tнабл < tкр нет оснований отвергнуть H0.

в) Ha: mx m0.

Рассматриваем wкр = {t < tкр} при P(t < tкр H0) = , тогда

tкр – tкродн ( ; n –1).

Вывод:

если tнабл < tкр H0 отвергаем;

если tнабл > tкр нет оснований отвергнуть H0.

2. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальнораспределенныхслучайных величин.

Пусть X ~ N (mx; 2x); Y ~ N (my; 2y).

Предполагаем, что х = y. Тогда:

wкр = {|t| > tкр};

P(|t| > tкр H0) = ;

tкрдв ( ; nх ny – 2) ищем в таблице критических точек распределе-

ния Стьюдента со степенью свободы nx+ny – 2 и уровнем значимости .

135

И далее делаем вывод:

если tнабл > tкр H0 отвергаем;

если tнабл < tкр нет оснований отвергнуть H0.

3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей.

Пусть X ~ N (mx; x); Y ~ N (my; y);

H0: 2x = 2y;

Hа: 2больш = 2меньш,

где 2больш – это Х или Y в зависимости от того, чья исправленная дисперсия больше.

2

Fнабл sбольш2 F(nбольш –1, nменьш –1); sменьш

nбольш – 1 – степень свободы числителя; nменьш – 1 – cтепень свободы знаменателя;

nбольш – объем выборки, по которой вычислена большая из исправ-

ленныхдисперсий.

Рассмотрим wкр = {F> Fкр} при P(F> Fкр H0) = (рис. 27), тог-

да Fкр(nбольш – 1, nменьш – 1);

Fкр находим в таблицах критических точек распределения Фишера для выбранного уровня значимости и числа степеней сво-

боды числителя: nбольш – 1 и знаменателя: nменьш – 1 или с помощью FРАСПОБР в программе Microsoft Excel.

Вывод:

если Fнабл < Fкр H0 отвергаем;

если Fнабл > Fкр нет оснований отвергнуть H0.

П р и м е р Можно ли достоверно утверждать, что средний рост мужчин и

женщинодинаковый?

136

Fкр F

Н0

Рис.27

х =168см, sx2 =36cм2, nx 100; y =171см, s2y = 40cм2 , ny 50.

Решение.Для начала проверим равенстводисперсий поФишеру, чтобы можно было проверить равенство математических ожиданий поСтьюденту.

нетоснований отвергнутьH0, а значит, можем сделать проверкугипотезыс помощьюкритерия Стьюдента. Если бы отвергли, тотогда использовалибыкритерийСтьюдентадлянеравныхдисперсий, новданном пособии таких критериев мы рассматривать не будем.

H0:mx my;

Hа:mx my.

137

tкрдв (0,05;148) 1,99.

Вывод:

tнабл = 2,84 > tкр = Н0 отвергаем, т. е. нельзя сказать, что среднийрост одинаковый.

6.9.Задачи

6.1.Дан ряд распределения случайной величины:

Имеется независимая выборка X1 = 0, X2 = –1. Найти оценку неизвестного параметра методом максимального правдоподобия, методом моментов, если возможно, проверить состоятельность и несмещенность. Найти дисперсию оценки метода моментов.

6.2.Асимметричная монетка подбрасывается N раз, k раз выпадает орел. Оценить вероятность выпадения орла, если возможно, проверить состоятельность и несмещенность.

6.3.Методом моментов построить оценку параметра следую-

щегораспределения: f (x, ) 2x, x [0, ]. Проверитьсостоятель-

2

ность, несмещенность, найти дисперсию оценки. Можно ли здесь применить неравенство Рао – Фреше – Крамера для проверки эффективности оценки?

6.4. Методом моментов и методом максимального правдоподобия построить оценку параметра следующего распределения: f(x, ) = x –1, x > 0. Проверить состоятельность, несмещенность, найти дисперсию оценки. Можноли здесь применить неравенство Рао – Фреше – Крамера для проверки эффективности оценки?

138