Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн

Кроме средней арифметической также вычисляют модуи медиану. Мед и а н о й вариационногоряда называется значениепризнака,приходящегосянасерединуранжированногоряданаблюдений. На медиану невлияют изменения крайних членов вариационногоряда.Медианакакпоказательсреднегопредпочтительнеесреднейарифметическойдляряда,укоторогокрайниевариантыпосравнению с большими оказались чрезмерно большими или малыми. М о д о й вариационного ряда называется варианта, которой

соответствует наибольшая частота (модальный интервал). Особенность моды как показателя среднего заключается в том,

что она не изменяется при изменении крайних членов ряда, т. е. обладает устойчивостью к вариации признака.

109

Кроме средних величин для вариационного ряда рассчитывают ещепоказатели вариации.

Выборочная дисперсия и ее свойства

Дисперсией вариационногоряда называетсявеличина

где у нас по-прежнему xi – i-я варианта, если признак Х – дискретный, и середина i-го интервала, если Х– непрерывный признак.

B(X) DB(X) – среднеквадратичное отклонениевариационногоряда.

Свойства выборочной дисперсии:

1.DB(CX) = C2DB(X).

2.DB(X ± C) = DB(X).

Понятие групповой, межгрупповой, внутригрупповой и общей дисперсии

Допустим, чтовсе значения признака Х разбиты на ряд групп:

где sij – частота появления i-го наблюдения в j-й группе;

110

Dj sij (xi xj)2 –групповаядисперсия, характеризуетрас-

Nj

сеяниепризнака Хвнутри j-й группы;

сий, взвешенных пообъемугруппы– внутригрупповаядисперсия;

Утверждение. Dобщ = DВГ + DМГ.

Длявариационногоряда рассчитываютначальныеи центральные моменты, частными случаями которых являются средняя арифметическая и дисперсия. В число таких показателей входят асимметрия и эксцесс.

111

6.4. Оценивание распределения случайных величин

Пустьимеетсянекотораяслучайнаявеличина (одномернаяили многомерная), распределение которой неизвестно или известно с точностью до некоторого параметра . Имеется некоторая реализация этой случайной величины X1, X2, …, XN (выборка). На основании имеющейся выборки мы должны оценить распределение случайной величины.

Длянахожденияоценкихарактеристикииспользуютдваподхода: 1.Если распределениеслучайнойвеличинынамизвестносточностью до некоторого параметра fX (x, ), то оценив по выборке значение этого параметра, мы получим оценку распределения.fX (x, ) fX (x, ). Такой подход называется параметричеcким.

П р и м е р ы

1) X~N (m; );

1

2)X~exp( ), ... –неизвестен.

p(x = k) = Cknpkqn – k = p. 4) X~ U(a;b);

Таким образом, имеем fx (x, ), где – неизвестный параметр, и мы этот неизвестный параметр оцениваем, т. е. получаем оценку (приближенноезначение)этогопараметра, котороеназываем .Тогда имеем известную fX (x, ).

2. Непараметрический. Вид функции распределениянамнеизвестен. Тогда составималгоритм расчета значенияфункции в каждой точке.

112

Итак, работаем в рамках первого подхода. fX (x, ) знаем, но параметр не знаем.

1

... –векторнеизвестныхпараметров (изkнеизвестных).

k

Как оценить эти k параметров? Существуют различные виды статистического оценивания параметров.

Виды статистического оценивания параметров: 1. Точечное.

= (х1, х2, ..., хn).

Вообще говоря, , но мы надеемся, что . 2. Интервальное.

Строим интервал, который с заданной вероятностью покрывает истинное значение оцениваемого параметра.

Величину называют уровнем надежности (заданная вероятность накрытия интервалом), т. е. р( ( 1; 2)) = .

Точечное статистическое оценивание неизвестного параметра

1. Метод математических ожиданий/метод аналогий.

Выборочная средняя х xi нам известна. n

= Ех – неизвестная нам величина.

xi – оценка математического ожидания (нам известна). n

x2i – известная нам оценка, тогда как = ЕХ2 нам не- n

известна.

2. Метод моментов (метод Пирсона).

113

n = EXm – начальный момент m порядка.

Заметим, что сколько неизвестных параметров, столько моментов мы используем.

2)ПустьX~exp( ), = .

11 1

Тогда Ex ; х х .

3)Пусть X~ N (m; ); m2 .

Ex m, Ex2 m2 2 , таккак var(X)= E(X –EX)2 = EX2 –(EX)2;

2 Ex2 (Ex )2 Ex2 2 (Ex )2 2 m2;

х m, х m;

xi Ci ( ) i 1, n;

114

3. Метод минимальных расстояний. xi сопоставим с Ci( ) – функция цели.

Рассмотрим xi Ci ( ) i 1, n;

n

C( ) | xi Ci ( )| – метод наименьших модулей;

i1 n

C( ) (xi Ci ( )2 )– метод наименьших квадратов (МНК).

i 1

MD argminC( ).

П р и м е р Неизвестныйпараметр –математическое ожидание, т. е. = ЕХ.

Сi( = ЕХ= ;

n

МНК: (xi )2 min.

i 1

Находим необходимое условие существования экстремума:

ˆ .

4. Методмаксимальногоправдоподобия(MaximumLikelihood). Этот метод среди всех возможных параметров выбирает тот, для которого вероятность получить данную выборку максимальна. Основуметода максимальногоправдоподобия(ML)составляет

функцияправдоподобия.

L( ) fX1, X2 , ..., Xn )(x1,x2 ,..., xn , ) fxi (xi , );

115

L( ) max;ML = arg max L( ).

П р и м е р

Необходимонайти .

Выборка х1 = 0;х2 =0 независима.

L( )= p((x1 = 0)(x2 = 1))=p(x1 = 0) p(x2=1)= =(1,2–2 )( –0,2) max.

Необходимые условия экстремума таковы:

L =1,2 –2 2 +0,4 –0,24 =0;

1,6–4 =0 ML =0,4;

Таким образом, получилиоценкуметодом максимальногоправдоподобия, а теперь применим метод моментов (ММ):

EX=– + –0,2=–0,2;

EX2 = + –0,2 =2 –0,2;

Оценки неизвестного параметра методом максимального правдоподобия и методом моментов оказались разные.

Нахождение оценки n упрощается, если максимизировать не саму функцию L, а lnL, поскольку максимум обеих функций достигается при одном и том же значении .

N

L( ) fX1, X2 ,..., XN x1,..., xN , f xi, ;

i 1

116

L( ) max;ML = arg max L( ).

функцию lnL в max, т. е. воспользоваться достаточным условием существования экстремума (матрица Гессе).

П р и м е р Найти оценкуметодом максимального правдоподобия.

117

Проверим знакоопределенность матрицы Гессе:

Значит, действительно, найденная точка является точкой максимума и полученная оценка является оценкой максимального правдоподобия.

6.5. Свойства статистических оценок

Свойства статистических оценок различают на больших и конечных выборках.

118