Подставим все в формулу интегрирования по частям и приведем интеграл к табличному, тогда будем иметь:

5. Интегралы от тригонометрических функций.

Методы не применяются для интегрирования функций вида

; ; ; ;

; , т.е. от тригонометрических функций,

умноженных на многочлен. Такие интегралы интегрируются по частям.

При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов:

Использование тригонометрических формул Понижение степени подынтегральной функции Метод замены переменной Универсальная тригонометрическая подстановка

При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что:

Косинус – это четная функция, то есть , минус исчезает без всяких последствий.

Синус – функция нечетная: – здесь минус, наоборот – не пропадает, а выносится.

Использование тригонометрических формул

Пример34

Найти интеграл.

Используем формулу: и метод подведения под знак дифференциала

Пример 35

Найти интеграл

Для упрощения подынтегральной функции воспользуемся тригонометрическими функциями. Затем с помощью свойств интеграла приведем данный интеграл к табличному виду.

Пример 36

Найти интеграл.

Используем формулу: и метод подведения под знак дифференциала.

Пример 37

Найти интеграл.

Используем формулу:

Пример 38

Найти неопределенный интеграл

Используем формулы преобразования произведения функций сначала для произведения , а затем для произведения синусов в каждом из интегралов :

В результате искомый интеграл будет равен

Понижение степени подынтегральной функции

Данный приём используют, когда в подынтегральных функциях присутствуют синусы и косинусы в чётных степенях. Для понижения степени используют

тригонометрические формулы , и , причем последняя формула чаще используется в обратном

направлении:

Интеграл вида ʃ sinn (x) cosm (x), где n и m – чётные числа, решается методом

понижения степени подынтегральной функции.

Пример 39

Найти интеграл

Пример 41

Найти интеграл

Выражаем sin4 x как (sin2 x)2 и применяем формулу

Используем формулу

В третьем слагаемом снова понижаем степень с помощью формулы .

Пример 42

Найти интеграл

Метод замены переменной

Данный приём используют, когда в подынтегральных функциях присутствуют синусы и косинусы в нечётных степенях.

Общие рекомендации :

1.за t нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.

2.за t нужно обозначить ту функцию, которая, является более сложной.

3.Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за t – обозначить другую функцию

Интеграл вида ʃ sinn (x) cosm (x), где n или m – нечётные числа, решается методом замены переменной

Пример 43

Найти интеграл

Проведем замену:

Примечание: здесь можно было сделать замену , но гораздо выгоднее обозначить за весь знаменатель.

Пример 44

Найти интеграл Проводим замену

Пример 45

Найти интеграл Проведем замену:

Пример 46

Найти интеграл

Представляем cos3 x dx как cos2 x cos x dx, а cos2x выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

Делаем замену:

Пример 47

Найти интеграл Преобразуем подынтегральное выражение:

Проведем замену:

Пример 48

Найти интеграл Проведем замену:

Пример 49

Найти неопределенный интеграл Для вычисления исходного интеграла введем замену , тогда

Подставляя это в искомый интеграл, получим

Сделаем обратную замену

Пример 50

Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, используя основное тригонометрическое тождество

Введем замену , тогда исходный интеграл примет вид

Сделаем обратную замену и окончательно получим

Пример 51

Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, используя вначале формулу для синуса двойного угла:

а затем, формулу для понижения степени

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка – это частый случай метода замены переменной. Её можно попробовать применить, когда «не знаешь, что делать». Интегралами, где нужно применить универсальную тригонометрическую подстановку, являются интегралы вида:

, , , и т.д.

Указанная замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции.

При этом следует учесть, что из равенства получаем:

;

Обратите внимание, что аргумент под тангенсом должен быть в два раза меньше, чем под синусом и косинусом, т.е., в общем виде, если присутствуют функции вида:

sin(kx), cos(kx), делается подстановка tg(kx/2) = t. Еще раз, при sin2x ‒ tg(2x/2), при sin3x ‒ tg(3x/2) и т.д.

Пример 52

Найти неопределенный интеграл Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

Пример 53

Найти неопределенный интеграл Для решения данного интеграла сделаем упрощенную тригонометрическую замену, положив что

выразим из равенства

то есть Подставим все в искомый интеграл

Сделаем обратную замену

Пример 54

Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

Для нахождения первого интеграла будем использовать универсальную тригонометрическую замену

Тогда первый интеграл преобразуется следующим образом

Разложим подынтегральную функцию полученного интеграла на элементарные дроби:

Приведем к общему знаменателю дроби в правой части равенства и приравниваем числители:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим такую систему для нахождения и

Тогда подынтегральная функция имеет следующее разложение на простые дроби

а соответствующий интеграл равен

Делаем обратную замену

Окончательно искомый интеграл равен:

Пример 55

Найти неопределенный интеграл. Перед применением универсальной тригонометрической подстановки необходимо понизить степени в знаменателе при помощи формул

,

Универсальная тригонометрическая подстановка:

Применение универсальной тригонометрической подстановки часто приводит к длинным и трудоемким вычислениям. Поэтому на практике универсальной тригонометрической подстановки стараются избегать (если возможно).

В ряде случаев целесообразно свести подынтегральное выражение, содержащее sinn(α) и cosm(α), к tg(α) и ее производной 1/cos2(α) т.е. произвести замену:

. Для этого можно воспользоваться формулами

; .

Метод работает, если сумма показателей степеней n+m ‒ целое четное отрицательное число .

Пример56

Найти неопределенный интеграл

Пример57

Найти неопределенный интеграл

Замена tgх =t (чтобы не запутаться)

Пример58

Найти неопределенный интеграл

Пример59

Найти неопределенный интеграл

Пример60

Найти неопределенный интеграл

Решение значительно быстрее и проще.

6.Интегралы от дробей

Суть методов решения интегралов от дроби сводится к преобразованию дроби в сумму элементарных дробей табличного вида:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Для преобразования дроби используется комплекс приемов, основными из которых будут выделение полного квадрата, подстановка, разложение на множители, с дальнейшим преобразованием в сумму элементарных дробей.

Для решения интегралов от дроби можно придерживаться следующего алгоритма:

Примеры:

a и c не равны нулю) также применяется способ подведения функции под знак дифференциала с дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. (Формулы 2 - 6, см. выше).

Примеры:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:

и свести интеграл к виду:

,

или

Пример62

Найти неопределенный интеграл Квадратный трехчлен, который стоит в знаменателе подынтегральной функции, не

раскладывается на множители . Поэтому для нахождения данного интеграла выделим в знаменателе полный квадрат.

Пример63

Найти неопределенный интеграл . Для начала вынесем двойкуиз под знака радикала:

В подкоренном выражении выделяем полный квадрат:

Поэтому

Пример64

4. Для дробей вида

используют метод интегрирования по частям n раз, каждый раз понижая степень знаменателя и применяя предыдущие способы. Вычисления получаются очень длинные и долгие. Или пользуемся рекуррентными формулами.

5. Дроби( ) , у которых многочлены и в числителе и в знаменателе,

( ) , где Pn(x) и Pm(x) многочлены степени n и m соответственно, перед

собственно взятием интеграла необходимо разложить на множители, а затем, преобразовать в сумму элементарных дробей.

Определяем что дробь правильная. Правильной называется дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Если дробь неправильная, то выделяем целую часть, с оставшейся частью работаем как с правильной дробью.

Раскладываем знаменатель правильной дроби на множители и преобразуем дробь в сумму элементарных дробей.

Для преобразования дроби в сумму элементарных дробей в большинстве случаев используют метод неопределенных коэффициентов.

Пример65

Найти неопределенный интеграл Преобразуем подынтегральную функцию, расписав знаменатель согласно формуле сокращенного умножения для суммы кубов:

Тогда интеграл примет вид:

Далее разложим подынтегральную функцию на простые дроби с неопределенными коэффициентами. В нашем случае имеет место следующее разложение:

Найдем неопределенные коэффициенты, для этого приведем к общему знаменателю дроби в правой части равенства, а затем приравняем соответствующие числители

Далее приравняем коэффициенты при соответствующих степенях

Подставим, выраженные через , коэффициенты и во второе уравнение системы:

, тогда , а Таким образом, искомый интеграл будет равен:

Квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе последнего интеграла, не раскладывается на

Пример66

Найти неопределенный интеграл Дробь является правильной

Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Приводим дробь к общему знаменателю:

Составим и решим систему:

Пример67

Найти неопределенный интеграл Данная дробь является неправильной.

Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функцией – это

деление числителя на знаменатель.

Сначала рисуем «заготовку» для деления:

ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами

Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножить , чтобы получить ? Очевидно, что на :

Далее умножаем сначала на , потом – на , потом – на , потом – на 0 и записываем результаты слева:

Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):

Старшая степень остатка равна двум, старшая степень делителя

– больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы

изначально унас был в числителе многочлен пятой степени, то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.

Итак, у нас получилась целая часть плюс остаток:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

6. Неопределенные интегралы иррациональных функций вида находятся методом подстановки.

В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:

Пример68

Найти неопределенный интеграл

То есть, m = -1, n = 1, p = 1/2. Так как - целое число, то вводим новую

переменную (N = 2 – знаменатель числа p). Выражаем х через z:

Выполняем подстановку в исходный интеграл:

Пример 69

Найти неопределенный интеграл Проведем замену: . Навешиваем дифференциалы на обе части:

Вот почему дифференциалы нужно именно НАВЕШИВАТЬ на обе части и добросовестно

раскрывать эти дифференциалы. Немало чайников здесь формально напишет и допустит ошибку.

Пример70

Найти неопределенный интеграл

Проведем замену: Навешиваем дифференциалы на обе части:

С числителем разобрались. Что делать с в знаменателе? Берем нашу замену и выражаем из неё: Если , то

Пример71

Найти неопределенный интеграл Задача состоит в следующем: провести удачную замену, чтобы сразу избавиться от ВСЕХ корней.

Когда даны разные корни удобно придерживаться следующей схемы решения. Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в

виде : . Нас будут интересовать знаменатели степеней. Записываем эти знаменатели: 2, 3, 3.

Теперь нужно найти наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 3 – такое число, чтобы оно делилось и на 2 и на 3 (в данном случае), кроме того, это число должно быть как можно меньше.

Очевидно, что наименьшим общим кратным является число 6. Оно делится и на 2 и на 3, кроме того, меньше шестерки ничего не придумать.

Замена в рассматриваемом интеграле будет следующей: Оформляем решение:

Проведем замену: