3. Метод замены переменной или метод подстановки

Метод замены переменной или метод подстановки. Этот метод заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть делается подстановка). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или с помощью преобразований его можно свести к табличному.

обратную подстановку t = x.

Общее правило: за t обозначаем саму функцию (а не её производную).

Находим dt следующим образом:

1)записываем формулу подстановки: ϕ(t) = f(x);

2)заключаем функции в скобки со знаком производной и домножаем на dx и dt

соответственно: (ϕ(t))'dt =(f(x))'dx;

3)берем производные и выражаем dx через dt.

Например подстановка: t2 = (2x-1) → ( t2)' dt = (2x-1)'dx → 2tdt = 2dx →

→ dx = tdt Запомните это.

Пример 15.

Найти интеграл Сделаем замену переменной: , далее приведем интеграл к табличному виду и решим

его. В конце решения делаем обратную замену.

Пример 16

Найти интеграл .

Упростим подынтегральную функцию, а потом сделаем замену переменной:

Пример 17

Найти неопределенный интеграл Введем замену

Заменим интеграл суммы на сумму интегралов и вынесем постоянные коэффициенты.

Полученные интегралы находим как интегралы от степенной функции:

Делая обратную замену, окончательно получим

Пример 18

Найти неопределенный интеграл Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:

Сделаем обратную замену

Пример 19

Найти неопределенный интеграл Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от обратной функции:

Выполним обратную замену

Пример 20

Найти неопределенный интеграл Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:

Выполним обратную замену и окончательно получим: